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课后提升作业 十九 平面向量基本定理(30分钟60分)一、选择题(每小题5分,共40分)1.若e1,e2是平面内的一组基底,则下列四组向量能作为平面向量的基底的是 ()A.e1-e2,e2-e1B.2e1+e2,e1+e2C.2e2-3e1,6e1-4e2D.e1+e2,e1-e2【解析】选D.因为e1-e2=-(e2-e1),所以e1-e2与e2-e1共线,又因为2e1+e2=2,2e2-3e1=-(6e1-4e2),所以2e1+e2与e1+e2共线,2e2-3e1与6e1-4e2共线,故A,B,C中的两个向量均不能作为基底.2.在ABC中,C=90,BC=AB,则与的夹角是()A.30B.60C.120D.150【解析】选C.如图,作向量=,则BAD是与的夹角,在ABC中,因为C=90,BC=AB,所以BAC=30,所以BAD=120.【误区警示】解答本题容易忽视向量夹角的定义要求两个向量共起点,导致认为ABC是与的夹角的错误.3.(2016长沙高一检测)如图,已知AB是圆O的直径,点C,D是半圆弧的两个三等分点,=a,=b,若以a,b为基底,则=()A.a-bB.a-bC.a+bD.a+b【解析】选D.连接OD,CD,显然BOD=CAO=60,则ACOD,且AC=OD,即四边形CAOD为菱形,故=+=a+b.4.(2016平顶山高一检测)如图所示,在平行四边形ABCD中,E是BC的中点,F是AE的中点,若=a,=b,则等于()A.a+b B.a+bC.a-b D.a-b【解析】选A.=(+)=+=a+b.5.(2016北京高一检测)向量a,b,c在正方形网格中的位置如图所示.若c=a+b(,R),则=()A.4B.2C.1D.-2【解析】选A.设i,j分别为水平方向和竖直方向上的正向单位向量,则a=-i+j,b=6i+2j,c=-i-3j,所以-i-3j=(-i+j)+(6i+2j),根据平面向量基本定理得=-2,=-,所以=4.6.如图,在ABC中,=,P是BN上的一点,若=m+,则实数m的值为()A.1B. C.D.3【解析】选C.因为B,P,N三点共线,所以,设=,即-=(-),所以=+,又因为=,所以=4,所以=m+=m+,对比,由平面向量基本定理可得:m=.7.(2016衡阳高一检测)如图,在ABC中,|BA|=|BC|,延长CB到D,使,若=+,则-的值是()A.1B.3C.-1D.2【解析】选B.因为在ABC中,|=|,所以B是CD的中点,所以=,所以=2,=-1,所以-=3.8.如图,在平面直角坐标系xOy中,两个非零向量,与x轴正半轴的夹角分别为和,向量满足+=0,则与x轴正半轴夹角取值范围是 ()A.B.C.D.【解题指南】先由+=0推知向量+与反向,然后通过分析向量+与x轴正半轴的夹角推知向量与x轴正半轴的夹角.【解析】选B.因为+=0,所以+=-,如图1所示,以OA,OB为邻边作平行四边形OAC1B,则+=,=-,固定的长度,的长度缩小,点C1向B靠近(图2),固定的长度,的长度缩小,点C1向A靠近(图3).因为向量,与x轴正半轴的夹角分别为和,所以与x轴正半轴夹角取值范围为,由与的方向相反知与x轴正半轴夹角取值范围为.二、填空题(每小题5分,共10分)9.(2016大连高一检测)设e1,e2是平面内一组基向量,a=e1+2e2,b=-e1+e2,且向量e1+e2可以表示为另一组基向量a,b的线性组合,则e1+e2=a+b.【解析】由题意,设e1+e2=ma+nb.因为a=e1+2e2,b=-e1+e2,所以e1+e2=m(e1+2e2)+n(-e1+e2)=(m-n)e1+(2m+n)e2.由平面向量基本定理,得所以答案:-10.已知向量a与b的夹角是45,则向量-2a与-3b的夹角是.【解析】a与-2a,b与-3b的方向相反,而向量a与b的夹角是45,所以向量-2a与-3b的夹角也是45.答案:45【补偿训练】若|a|=|b|=|a-b|,则a与b的夹角为.【解析】如图作=a,=b,=a-b,因为|a|=|b|=|a-b|,所以OA=OB=AB,所以a与b的夹角为AOB=60.答案:60三、解答题11.(10分)(2016郑州高一检测)在ABC中,E,F分别为AC,AB的中点,BE与CF相交于G点,设=a,=b,试用a,b表示.【解析】因为E,F分别是AC,AB的中点,所以G是ABC的重心,所以=.=+=+=+(+)=-+=+=a+b.【能力挑战题】如图,平面内有三个向量,.其中与的夹角为120,与的夹角为30,且|=|=1,|=2,若=+(,R),求+的值.【解题指南】根据向量加法的平行四边形法则,以OA,OB所在射线为邻边,OC为对角线作平行四边形,将问题转化在平行四边形中求解.【解析】如图,以OA,OB所在射线为邻边,OC为对角线作平行四边形ODCE,则=+.在RtOCD中,因为|=2,COD=30,OCD=90,所以|=4,|=2,故=4,=2,即=4,=2,所以+=6.
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