高中数学 探究导学课型 第三章 三角恒等变换 3.1.3 二倍角的正弦、余弦、正切公式课后提升作业 新人教版必修4

课后提升作业 二十八 二倍角的正弦、余弦、正切公式(45分钟70分)一、选择题(每小题5分,共40分)1.(2016北京高一检测)等于()A.-B.-C.D.【解析】选D.原式=cos2-sin2=cos=.【补偿训练】sin4-cos4等于()A.-B.-C.D.【解析】选B.原式=-=-cos=-.2.tan6730-的值为()A.1B.C.2D.4【解析】选C.tan6730-=2.【补偿训练】的值是()A.B.C.2D.【解析】选C.原式=2.3.(2016杭州高一检测)化简的结果是()A.B.tan2C.D.tan【解题指南】将4看成2的二倍.并利用公式1-cos4=2sin22,1+cos4=2cos22化简.【解析】选B.原式=tan2.4.已知sin(45+)=,则sin2等于()A.-B.-C.D.【解析】选C.因为sin(45+)=,所以cos+sin=,即sin+cos=.故1+sin2=,即sin2=.5.设a=cos6-sin6,b=2sin13cos13,c=,则有()A.cbaB.abcC.acbD.bca【解析】选C.由题意可知,a=sin24,b=sin26,c=sin25,而y=sinx在0x90上为增函数,所以acb.6.(2016烟台高一检测)若sin=,则cos的值为()A.-B.-C.D.【解析】选B.cos=-cos=-cos=-=2sin2-1=-.7.已知是第三象限角,且sin4+cos4=,那么sin2等于()A.B.-C.D.-【解析】选A.sin4+cos4=(sin2+cos2)2-2sin2cos2=1-sin22,又sin4+cos4=,所以1-sin22=,即sin22=,因为是第三象限角,所以2k+2k+(kZ),所以4k+220,所以sin2=.【补偿训练】若cos2=,试求sin4+cos4.【解析】因为cos2=,所以sin22=.所以sin4+cos4=1-2sin2cos2=1-sin22=.8.化简+2sin2等于()A.2B.3C.D.【解析】选A.原式=1+sin+2=1+sin+1-sin=2.二、填空题(每小题5分,共10分)9.(2016四川高考)cos2-sin2=.【解析】由题可知,cos2-sin2=cos=.答案:10.(2015浙江高考)函数f(x)=sin2x+sinxcosx+1的最小正周期是,单调递减区间是.【解题指南】先利用倍角公式化简f(x),再利用三角函数的性质求解.【解析】f(x)=sin2x+sinxcosx+1=+sin2x+1=sin+,所以最小正周期为T=,由+2k2x-+2k(kZ),解得+kx+k,kZ,所以单调递减区间为,kZ.答案:,kZ三、解答题(每小题10分,共20分)11.化简:.【解题指南】解答此题的难点在于用二倍角公式变形后利用两角和与差的正、余弦公式化简,得到特殊角的三角函数求出值即可.【解析】原式=.12.(2016开封高一检测)已知sin2=-sin,.(1)求tan2.(2)求cos.【解析】(1)因为sin2=-sin,所以2sincos=-sin,所以cos=-,故sin=,所以tan=-,所以tan2=.(2)由(1)知cos=-,所以cos2=2cos2-1=2-1=-,sin2=2sincos=-,所以cos=coscos2+sinsin2=-=-.【能力挑战题】某同学在一次研究性学习中发现,以下五个式子的值都等于同一个常数:sin213+cos217-sin13cos17;sin215+cos215-sin15cos15;sin218+cos212-sin18cos12;sin2(-18)+cos248-sin(-18)cos48;sin2(-25)+cos255-sin(-25)cos55.(1)请根据式求出这个常数.(2)根据(1)的计算结果,将该同学的发现推广为三角恒等式,并证明你的结论.【解析】方法一:(1)计算如下:sin215+cos215-sin15cos15=1-sin30=1-=.(2)三角恒等式为sin2+cos2(30-)-sincos(30-)=.证明如下:sin2+cos2(30-)-sincos(30-)=sin2+(cos30cos+sin30sin)2-sin(cos30cos+sin30sin)=sin2+cos2+sincos+sin2-sincos-sin2=sin2+cos2=.方法二:(1)同方法一.(2)三角恒等式为sin2+cos2(30-)-sincos(30-)=.证明如下:sin2+cos2(30-)-sincos(30-)=+-sin(cos30cos+sin30sin)=-cos2+(cos60cos2+sin60sin2)-sincos-sin2=-cos2+cos2+sin2-sin2-(1-cos2)=1-cos2-+cos2=.