高中数学 3_4 曲线与方程第2课时同步精练 北师大版选修2-11

高中数学 3.4 曲线与方程第2课时同步精练 北师大版选修2-11给出下列曲线，其中与直线y2x3有交点的所有曲线是()4x2y10；x2y23；y21；y21.A B C D2我们把离心率等于“黄金分割比”的双曲线称为“优美双曲线”设双曲线1是优美双曲线，F是其左焦点，A是它的右顶点，B(0，b)是其虚轴上一点，则ABF等于()A120 B90 C75 D603已知抛物线y24x与直线xy2交于A，B两点，那么线段AB的中点坐标是()A(4,2) B(2,4) C(4，2) D(2，4)4已知抛物线yx23上存在关于直线xy0对称的相异两点A，B，则|AB|等于()A3 B4 C D5直线ykx10(kR)与椭圆(或圆)1恒有公共点，则m的取值范围是()A1，) B(0,5) C(0，k) D(1,5)6若AB为过椭圆1中心的弦，F1为椭圆的焦点，则F1AB面积的最大值为()A6 B12 C24 D487已知动点P的坐标(x，y)满足，则动点P的轨迹是_8设F1，F2分别是椭圆E：x21(0b1)的左、右焦点，过点F1的直线交椭圆E于A，B两点，若|AF1|3|F1B|，AF2x轴，则椭圆E的方程为_9直线l：axby3a0与双曲线1只有一个公共点，则l共有_条，它们的方程是_10在抛物线y24x上恒有两点关于直线ykx3对称，求k的取值范围11(2014重庆高考)如图，设椭圆1(ab0)的左、右焦点分别为F1，F2，点D在椭圆上，DF1F1F2，DF1F2的面积为.(1)求椭圆的标准方程；(2)设圆心在y轴上的圆与椭圆在x轴的上方有两个交点，且圆在这两个交点处的两条切线相互垂直并分别过不同的焦点，求圆的半径12已知焦点在x轴上的双曲线C的两条渐近线过坐标原点且互相垂直，又知C的一个焦点与A(1，1)关于直线yx1对称(1)求双曲线C的方程；(2)是否存在直线ykxn与双曲线C交于P，Q两点，使PQ恰被点平分？(3)设直线ymx1与双曲线C的右支交于B，D两点，另一直线l经过M(2,0)及BD的中点，求直线l在y轴上的截距t的取值范围参考答案1. 解析：如果不深入思考，采用直线方程y2x3与四个曲线方程分别联立求交点，比较复杂，且易出现差错，作为选择题，可考虑采用排除法y2x3可变形为4x2y60，显然与直线4x2y10平行，故排除选项A，C；将y2x3代入y21，并整理，得9x224x160，即(3x4)20，解得x，y.故已知直线与曲线有交点，可排除选项B.故选D.答案：D2. 解析：由e和点F(c,0)，A(a,0)，B(0，b)，可计算得0，故ABF90.答案：B3. 解析：设A，B两点的坐标分别为(x1，y1)，(x2，y2)，把直线yx2代入抛物线方程y24x中，得x28x40，x1x28，4，22.AB的中点坐标为(4,2)答案：A4. 解析：设直线AB的方程为yxb，由x2xb30x1x21，得AB的中点M，又M在直线xy0上，b1，x2x20，|AB|.答案：C5. 解析：直线ykx1过定点(0,1)依题意，点(0,1)在椭圆(或圆)上或其内部，1，且m0.m1.答案：A6解析：不妨设F1为左焦点，即F1(3,0)当直线AB斜率不存在时，F1AB的面积为S3812；当直线AB斜率存在时，设AB的方程为ykx.与椭圆方程联立，消去y得，(1625k2)x2400.令A(x1，y1)，B(x2，y2)，x1x20，x1x2.|AB|x1x2|.又点F1到直线AB的距离为d，F1AB的面积为Sd|AB|606012.答案：B7. 解析：表示动点P到定点(1,1)的距离，表示动点P到定直线xy20的距离，即原等式表示动点P到定点(1,1)和定直线xy20的距离之比等于常数，且01，因此动点P的轨迹为椭圆答案：椭圆8. 解析：设B在x轴上的射影为B0，由题意得，|B0F1|F1F2|，得B0坐标为，即B点横坐标为.设直线AB的斜率为k，又直线过点F1(c,0)，直线AB的方程为yk(xc)由得(k2b2)x22ck2xk2c2b20，其两根为和c，由根与系数的关系得解之，得c2，b21c2.椭圆方程为x2y21.答案：x2y219. 解析：当b0时，l：x3，1，y0，此时，l与双曲线只有一个公共点；当b0时，消去y，得(4b29a2)x254a2x9(9a24b2)0.(*)若4b29a20，即时，方程(*)为x3，只有一个公共点，此时l：y(3x)，即2x3y60；若4b29a20，即时，二次方程(*)的判别式542a436(4b29a2)(4b29a2)36(81a416b481a4)3616b40，此时直线l与双曲线必有两个交点综上所述，l共有3条，其方程为x30或2x3y60.答案：3x30或2x3y6010. 解：设抛物线y24x上的B，C两点关于直线ykx3对称，则直线BC的方程为xkym(k0)，代入y24x，得y24ky4m0.设点B(x1，y1)，C(x2，y2)，BC的中点M(x0，y0)，则y02k，则x02k2m.点M(x0，y0)在直线ykx3上，2kk(2k2m)3.m.又直线BC与抛物线交于不同的两点，方程中，16k216m0.把式代入化简，得0，即0，解得1k0，即k的取值范围是(1,0)11. 解：(1)设F1(c,0)，F2(c,0)，其中c2a2b2.由得|DF1|c.从而SDF1F2|DF1|F1F2|c2，故c1.从而|DF1|，由DF1F1F2得|DF2|2|DF1|2|F1F2|2，因此|DF2|.所以2a|DF1|DF2|，故a，b2a2c21.因此，所求椭圆的标准方程为y21.(2)如图，设圆心在y轴上的圆C与椭圆y21相交，P1(x1，y1)，P2(x2，y2)是两个交点，y10，y20，F1P1，F2P2是圆C的切线，且F1P1F2P2.由圆和椭圆的对称性，易知，x2x1，y1y2，|P1P2|2|x1|.由(1)知F1(1,0)，F2(1,0)，所以(x11，y1)，(x11，y1)再由F1P1F2P2得(x11)2y210.由椭圆方程得1(x11)2，即3x214x10.解得x1或x10.当x10时，P1，P2重合，此时题设要求的圆不存在当x1时，过P1，P2分别与F1P1，F2P2垂直的直线的交点即为圆心C.由F1P1，F2P2是圆C的切线，且F1P1F2P2，知CP1CP2.又|CP1|CP2|，故圆C的半径|CP1|P1P2|x1|.12. 解：(1)由于双曲线C的两条渐近线过坐标原点且互相垂直，则两条渐近线方程为yx，设双曲线C的方程为x2y2a2，又A(1，1)关于yx1的对称点为(，0)，即双曲线C的一个焦点为(，0)，2a22，a21，得双曲线C的方程为x2y21.(2)假设存在，由(1k2)x22knxn210，由，即.y1kx1n，y2kx2n，y1y2k(x1x2)2n，2k2n.由得k，n.此时直线方程为yx，经检验符合题意故存在直线yx与双曲线C交于P，Q两点，使PQ恰被点平分(3)由(1m2)x22mx20，令f(x)(1m2)x22mx2，直线与双曲线右支交于两点，等价于方程f(x)0在1，)上有两个不等实根 m1，又BD中点为，直线l的方程为y(x2)，令x0，得t，由m1，得22m2m21，t(2，2)