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专题限时集训(十五)圆锥曲线中的综合问题建议用时：45分钟 1(2016中原名校联盟二模)已知椭圆C：1(ab0)的左、右焦点分别为F1，F2，点B(0，)为短轴的一个端点，OF2B60.图153(1)求椭圆C的方程；(2)如图153，过右焦点F2，且斜率为k(k0)的直线l与椭圆C相交于D，E两点，A为椭圆的右顶点，直线AE，AD分别交直线x3于点M，N，线段MN的中点为P，记直线PF2的斜率为k.试问kk是否为定值？若为定值，求出该定值；若不为定值，请说明理由解(1)由条件可知a2，b，故所求椭圆方程为1.4分(2)设过点F2(1,0)的直线l的方程为yk(x1)由可得(4k23)x28k2x4k2120.5分因为点F2(1,0)在椭圆内，所以直线l和椭圆都相交，即0恒成立设点E(x1，y1)，D(x2，y2)，则x1x2，x1x2.6分因为直线AE的方程为y(x2)，直线AD的方程为y(x2)，令x3，可得M，N，所以点P的坐标.8分直线PF2的斜率为k，所以kk为定值.12分2(2016衡水二模)已知椭圆C：1(ab0)的离心率为，以原点为圆心，椭圆的短半轴长为半径的圆与直线xy120相切(1)求椭圆C的方程；(2)设A(4,0)，过点R(3,0)作与x轴不重合的直线l交椭圆C于P，Q两点，连接AP，AQ分别交直线x于M，N两点，若直线MR，NR的斜率分别为k1，k2，试问：k1k2是否为定值？若是，求出该定值，若不是，请说明理由. 【导学号：85952057】解(1)由题意得故椭圆C的方程为1.4分(2)设P(x1，y1)，Q(x2，y2)，直线PQ的方程为xmy3，由(3m24)y218my210，y1y2，y1y2.6分由A，P，M三点共线可知，yM.8分同理可得yN，k1k2.10分(x14)(x24)(my17)(my27)m2y1y27m(y1y2)49，k1k2.12分k1k2为定值.3(2016太原一模)已知椭圆M：1(a0)的一个焦点为F(1,0)，左、右顶点分别为A，B.经过点F的直线l与椭圆M交于C，D两点(1)求椭圆方程；(2)当直线l的倾斜角为45时，求线段CD的长；(3)记ABD与ABC的面积分别为S1和S2，求|S1S2|的最大值解(1)因为F(1,0)为椭圆的焦点，所以c1，又b23，所以a24，所以椭圆方程为1.3分(2)因为直线的倾斜角为45，所以直线的斜率为1，所以直线方程为yx1，和椭圆方程联立得到消掉y，得到7x28x80，4分所以288，x1x2，x1x2，5分所以|CD|x1x2|.6分(3)当直线l斜率不存在时，直线方程为x1，此时D，C，ABD，ABC面积相等，|S1S2|0，7分当直线l斜率存在(显然k0)时，设直线方程为yk(x1)(k0)设C(x1，y1)，D(x2，y2)，和椭圆方程联立得到消掉y得(34k2)x28k2x4k2120，8分显然0，方程有根，且x1x2，x1x2，9分此时|S1S2|2|y1|y2|2|y1y2|2|k(x21)k(x11)|2|k(x2x1)2k|(k时等号成立)，所以|S1S2|的最大值为.12分4(2016开封二模)已知中心在原点O，焦点在x轴上，离心率为的椭圆过点.图154(1)求椭圆的方程；(2)设不过原点O的直线l与该椭圆交于P，Q两点，满足直线OP，PQ，OQ的斜率依次成等比数列，求OPQ面积的取值范围解(1)由题意可设椭圆方程为1(ab0)，则(其中c2a2b2，c0)，且1，故a2，b1.所以椭圆的方程为y21.4分(2)由题意可知，直线l的斜率存在且不为0.故可设直线l：ykxm(m0)，设P(x1，y1)，Q(x2，y2)，由消去y得(14k2)x28kmx4(m21)0，5分则64k2m216(14k2)(m21)16(4k2m21)0，且x1x2，x1x2.6分故y1y2(kx1m)(kx2m)k2x1x2km(x1x2)m2，7分因为直线OP，PQ，OQ的斜率依次成等比数列，所以k2，即m20.8分又m0，所以k2，即k.9分由于直线OP，OQ的斜率存在，且0，得0m22，且m21.设d为点O到直线l的距离，则d，10分|PQ|，11分所以S|PQ|d1(m21)，故OPQ面积的取值范围为(0,1).12分
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