资源描述
函数与导数第四节 二次函数与幂函数考点：1二次函数掌握二次函数的图象与性质，会求二次函数的最值(值域)、单调区间2幂函数(1)了解幂函数的概念(2)结合函数yx，yx2，yx3，y，yx的图象，了解它们的变化情况主干知识：知识点一五种常见幂函数的图象与性质五种常见幂函数的图象与性质函数特征性质yxyx2yx3yxyx1图象定义域RRRx|x0x|x0值域Ry|y0Ry|y0y|y0奇偶性奇偶奇非奇非偶奇单调性增(，0减，(0，)增增增(，0)和(0，)减公共点(1,1)易误提醒形如yx(R)才是幂函数，如y3x不是幂函数自测练习1已知幂函数f(x)kx的图象过点，则k()A. B1 C. D2解析：因为函数f(x)kx是幂函数，所以k1，又函数f(x)的图象过点，所以，解得，则k.答案：C知识点二二次函数1二次函数解析式的三种形式(1)一般式：f(x)ax2bxc(a0)(2)顶点式：f(x)a(xm)2n(a0)(3)零点式：f(x)a(xx1)(xx2)(a0)2二次函数的图象和性质a0a0，a0恒成立的充要条件是(2)ax2bxc0，a0恒成立的充要条件是自测练习2.已知二次函数的图象如图所示，那么此函数的解析式可能是()Ayx22x1Byx22x1Cyx22x1Dyx22x1解析：设二次函数的解析式为f(x)ax2bxc(a0)，由题图得：a0，b0.选C.答案：C3若二次函数f(x)ax24xc的值域为0，)，则a，c满足的条件是_解析：由已知得答案：a0，ac44已知f(x)4x2mx5在2，)上是增函数，则实数m的取值范围是_解：因为函数f(x)4x2mx5的单调递增区间为，所以2，即m16.答案：(，16考点练习：考点一幂函数的图象与性质|1(2015济南二模)若函数f(x)是幂函数，且满足f(4)3f(2)，则f的值为()A. B. C. D.解析：设f(x)xa，又f(4)3f(2)，4a32a，解得alog23，flog23.答案：A2.若四个幂函数yxa，yxb，yxc，yxd在同一坐标系中的图象如图所示，则a，b，c，d的大小关系是()AdcbaBabcdCdcabDabdc解析：幂函数a2，b，c，d1的图象，正好和题目所给的形式相符合，在第一象限内，x1的右侧部分的图象，图象由下至上，幂指数增大，所以abcd.故选B.答案：B3(2015安庆三模)若(a1)(32a)，则实数a的取值范围是_解析：不等式(a1)32a0或32aa10或a1032a.解得a1或a0，若在(0，)上单调递减，则0)，将点D(1,1)代入得，a，即y(x3)2，故选D.答案D(2)函数f(x)4x2mx5在区间2，)上是增函数，则f(1)的取值范围是()Af(1)25 Bf(1)25Cf(1)25 Df(1)25解析函数f(x)4x2mx5的增区间为，由已知可得2m16，所以f(1)412m159m25.答案A解决二次函数图象与性质问题时两个注意点(1)抛物线的开口、对称轴位置、定义区间三者相互制约常见的题型中这三者有两定一不定，要注意分类讨论；(2)要注意数形结合思想的应用，尤其是给定区间上二次函数最值问题，先“定性”(作草图)，再“定量”(看图求解)，事半功倍1已知函数f(x)ax22ax2b(a0)，若f(x)在区间2,3上有最大值5，最小值2.(1)求a，b的值；(2)若b0，则f(x)在区间2,3上是增函数则有解得若a0，则f(x)在区间2,3上是减函数，则有解得综上可知，a1，b0或a1，b3.(2)由b2tx在t2,2时恒成立，求实数x的取值范围解(1)由知f(x)ax2bx(a0)的对称轴是直线x1，b2a.函数f(x)的图象与直线yx只有一个公共点，方程组有且只有一个解，即ax2(b1)x0有两个相同的实根，(b1)20，即b1，a.f(x)x2x.(2)1，f(x)2tx等价于f(x)tx2，即x2xtx2在t2,2时恒成立函数g(t)xt0在t2,2时恒成立，即解得x3，故实数x的取值范围是(，3)(3，)不等式恒成立的求解方法由不等式恒成立求参数取值范围，常用分离参数法，转化为求函数最值问题，其依据是af(x)af(x)max，af(x)af(x)min.2设函数f(x)ax22x2，对于满足1x0，求实数a的取值范围解：由f(x)0，即ax22x20，x(1,4)，得a在(1,4)上恒成立令g(x)22，g(x)maxg(2)，所以要使f(x)0在(1,4)上恒成立，只要a即可.3.分类讨论思想在二次函数最值中的应用【典例】已知f(x)ax22x(0x1)，求f(x)的最小值思路分析参数a的值确定f(x)图象的形状；a0时，函数f(x)的图象为抛物线，还要考虑开口方向和对称轴位置解(1)当a0时，f(x)2x在0,1上递减，f(x)minf(1)2.(2)当a0时，f(x)ax22x图象的开口方向向上，且对称轴为x.当1，即a1时，f(x)ax22x图象的对称轴在0,1内，f(x)在上递减，在上递增f(x)minf.当1，即0a1时，f(x)ax22x图象的对称轴在0,1的右侧，f(x)在0,1上递减f(x)minf(1)a2.(3)当a0时，f(x)ax22x的图象的开口方向向下，且对称轴x0，在y轴的左侧，f(x)ax22x在0,1上递减f(x)minf(1)a2.综上所述，f(x)min思想点评(1)本题在求二次函数最值时，用到了分类讨论思想，求解中既对系数a的符号进行了讨论，又对对称轴进行讨论在分类讨论时要遵循分类的原则：一是分类的标准要一致，二是分类时要做到不重不漏，三是能不分类的要尽量避免分类，绝不无原则的分类讨论(2)在有关二次函数最值的求解中，若轴定区间动，仍应对区间进行分类讨论跟踪练习设函数yx22x，x2，a，若函数的最小值为g(x)，求g(x)解：函数yx22x(x1)21，对称轴为直线x1，x1不一定在区间2，a内，应进行讨论当21时，函数在2,1上单调递减，在1，a上单调递增，则当x1时，y取得最小值，即ymin1.综上，g(x)练习A组考点能力演练1当ab0时，函数yax2与f(x)axb在同一坐标系中的图象可能是下列图象中的()解析：因为ab0，所以，当a0，b0，b0时，函数yax2的图象开口向上，函数f(x)axb的图象在x轴上的截距为负值，在y轴上的截距为正值，没有符合条件的选项，故选D.答案：D2已知函数f(x)x2xc.若f(0)0，f(p)0Bf(p1)0，f(p)0，1p0，f(p1)0.答案：A3若幂函数y(m23m3)xm2m2的图象不过原点，则m的取值是()A1m2 Bm1或m2Cm2 Dm1解析：由幂函数性质可知m23m31，m2或m1.又幂函数图象不过原点，m2m20，即1m2，m2或m1.答案：B4若函数yx23x4的定义域为0，m，值域为，则m的取值范围是()A0,4 B.C. D.解析：二次函数图象的对称轴为x，且f，f(3)f(0)4，由图得m.答案：D5(2015沧州质检)如果函数f(x)x2bxc对任意的x都有f(x1)f(x)，那么()Af(2)f(0)f(2)Bf(0)f(2)f(2)Cf(2)f(0)f(2)Df(0)f(2)f(2)解析：由f(1x)f(x)知f(x)的图象关于直线x对称，又抛物线f(x)开口向上，f(0)f(2)f(2)答案：D6二次函数f(x)x2(2log2m)xm是偶函数，则实数m_.解析：利用偶函数性质求解因为偶函数的图象关于y轴对称，所以0，解得m4.答案：47已知幂函数f(x)x，若f(a1)0)，易知x(0，)时为减函数，又f(a1)f(102a)，解得3a1)(1)若f(x)的定义域和值域均是1，a，求实数a的值；(2)若f(x)在区间(，2上是减函数，且对任意的x1，x21，a1，总有|f(x1)f(x2)|4，求实数a的取值范围解：(1)f(x)(xa)25a2(a1)，f(x)在1，a上是减函数又定义域和值域均为1，a即解得a2.(2)f(x)在区间(，2上是减函数，a2.又xa1，a1，且(a1)aa1，f(x)maxf(1)62a，f(x)minf(a)5a2.对任意的x1，x21，a1，总有|f(x1)f(x2)|4，f(x)maxf(x)min4，得1a3.又a2，2a3.故实数a的取值范围是2,3B组高考题型专练1(2014高考浙江卷)在同一直角坐标系中，函数f(x)xa(x0)，g(x)logax的图象可能是()解析：函数yxa(x0)与ylogax(x0)，选项A中没有幂函数图象，不符合；对于选项B，yxa(x0)中a1，ylogax(x0)中0a1，不符合；对于选项C，yxa(x0)中，0a0)中a1，不符合，对于选项D，yxa(x0)中0a0)中，0a0，q0)的两个不同的零点，且a，b，2这三个数可适当排序后成等差数列，也可适当排序后成等比数列，则pq的值等于_解析：依题意有a，b是方程x2pxq0的两根，则abp，abq，由p0，q0可知a0，b0.由题意可知ab(2)24q，a22b或b22a，将a22b代入ab4可解得a4，b1，此时ab5，将b22a代入ab4可解得a1，b4，此时ab5，则p5，故pq9.答案：9
展开阅读全文