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分层限时跟踪练(十五)(限时40分钟)一、选择题1函数f(x)x(1x)n的部分图象如图2123所示，f(x)在x处取极值，则n的值为()图2123A1B1C2D2【解析】f(x)(1x)nnx(1x)n1(1xnx)(1x)n1，x为f(x)的极值点，f0，得n10，n2.故选C.【答案】C2若函数f(x)x36bx3b在(0,1)内有极小值，则实数b的取值范围是()A(0,1)B(，1)C(0，) D.【解析】f(x)3x26b，f(x)在(0,1)内有极小值，b0，令3x26b0得x，从而只要01，得0b.故选D.【答案】D3若函数f(x)ax3bx2cxd有极值，则导函数f(x)的图象不可能是()【解析】若函数f(x)ax3bx2cxd有极值，则此函数在某点两侧的单调性相反，也就是说导函数f(x)在此点两侧的导函数值的符号相反，所以导函数的图象要穿过x轴，观察四个选项中的图象只有D项是不符合要求的，即f(x)的图象不可能是D.【答案】D4已知函数f(x)x3ax24在x2处取得极值，若m、n1,1，则f(m)f(n)的最小值是()A13B15 C10D15【解析】对函数f(x)求导得f(x)3x22ax，由函数f(x)在x2处取得极值知f(2)0，即342a20，a3.由此可得f(x)x33x24，f(x)3x26x，易知f(x)在1,0)上单调递减，在(0,1上单调递增，当m1,1时，f(m)minf(0)4.又f(x)3x26x的图象开口向下，且对称轴为x1，当n1,1时，f(n)minf(1)9.故f(m)f(n)的最小值为13.【答案】A5(2013全国卷)已知函数f(x)x3ax2bxc，下列结论中错误的是()Ax0R，f(x0)0B函数yf(x)的图象是中心对称图形C若x0是f(x)的极小值点，则f(x)在区间(，x0)单调递减D若x0是f(x)的极值点，则f(x0)0【解析】A项，因为函数f(x)的值域为R，所以一定存在x0R，使f(x0)0.A正确B项，假设函数f(x)x3ax2bxc的对称中心为(m，n)，按向量a(m，n)将函数的图象平移，则所得函数yf(xm)n是奇函数所以f(xm)f(xm)2n0，化简得(3ma)x2m3am2bmcn0.上式对xR恒成立，故3ma0，得m，nm3am2bmcf，所以函数f(x)x3ax2bxc的对称中心为，故yf(x)的图象是中心对称图形B正确C项，由于f(x)3x22axb是二次函数，f(x)有极小值点x0，必定有一个极大值点x1，若x1x0，则f(x)在区间(，x0)上不单调递减C错误D项，若x0是极值点，则一定有f(x0)0.故选C.【答案】C二、填空题6已知函数f(x)x33ax23bxc在x2处有极值，其图象在x1处的切线平行于直线6x2y50，则f(x)的极大值与极小值之差为 【解析】f(x)3x26ax3b，a1，b0，f(x)3x26x，令3x26x0，x0或x2，f(x)极大f(x)极小f(0)f(2)4.【答案】47(2015陕西高考)函数yxex在其极值点处的切线方程为 【解析】由题知yexxex，令y0，解得x1，代入函数解析式可得极值点的坐标为，又极值点处的切线为平行于x轴的直线，故方程为y.【答案】y8如图2124是函数yf(x)的导函数的图象，给出下面四个判断图2124f(x)在区间2，1上是增函数；x1是f(x)的极小值点；f(x)在区间1,2上是增函数，在区间2,4上是减函数；x3是f(x)的极小值点其中，所有正确判断的序号是 【解析】由函数yf(x)的导函数的图象可知：(1)f(x)在区间2，1上是减函数，在1,2上为增函数，在2,4上为减函数；(2)f(x)在x1处取得极小值，在x2处取得极大值故正确【答案】三、解答题(文)9.已知函数f(x)ax3bxc在点x2处取得极值c16.(1)求a，b的值；(2)若f(x)有极大值28，求f(x)在区间3,3上的最小值【解】(1)因为f(x)ax3bxc，所以f(x)3ax2b.由于f(x)在点x2处取得极值c16，所以有即化简得解得(2)由(1)知f(x)x312xc，所以f(x)3x2123(x2)(x2)，令f(x)0，得x12，x22.当x(，2)时，f(x)0，故f(x)在区间(，2)上为增函数；当x(2,2)时，f(x)0，故f(x)在区间(2,2)上为减函数；当x(2，)时，f(x)0，故f(x)在区间(2，)上为增函数由此可知f(x)在x2处取得极大值f(2)16c，f(x)在x2处取得极小值f(2)c16.由题设条件知16c28，解得c12.此时f(3)9c21，f(3)9c3，f(2)16c4，因此f(x)在区间3,3上的最小值为4.(文)10.已知函数f(x)ex(axb)x24x，曲线yf(x)在点(0，f(0)处的切线方程为y4x4.(1)求a，b的值；(2)讨论f(x)的单调性，并求f(x)的极大值【解】(1)f(x)ex(axab)2x4.由已知得f(0)4，f(0)4.故b4，ab8.从而a4，b4.(2)由(1)知，f(x)4ex(x1)x24x，f(x)4ex(x2)2x44(x2).令f(x)0得xln 2或x2.从而当x(，2)(ln 2，)时，f(x)0；当x(2，ln 2)时，f(x)0.故f(x)在(，2)，(ln 2，)单调递增，在(2，ln 2)单调递减当x2时，函数f(x)取得极大值，极大值为f(2)4(1e2)1设函数f(x)ax2bxc(a，b，cR)若x1为函数f(x)ex的一个极值点，则下列图象不可能为yf(x)图象的是()【解析】因为f(x)exf(x)exf(x)exexf(x)f(x)，且x1是函数f(x)ex的一个极值点，所以f(1)f(1)0.在选项D中，f(1)0，f(1)0，不满足f(1)f(1)0.【答案】D2已知函数f(x)x(ln xax)有两个极值点，则实数a的取值范围是()A(，0)B.C(0,1)D(0，)【解析】由题知，x0，f(x)ln x12ax，由于函数f(x)有两个极值点，则f(x)0有两个不等的正根，即函数yln x1与y2ax的图象有两个不同的交点(x0)，则a0；设函数yln x1上任一点(x0,1ln x0)处的切线为l，则kty，当l过坐标原点时，x01，令2a1a，结合图象知0a，故选B.【答案】B3已知函数f(x)x33mx2nxm2在x1时有极值0，则mn .【解析】f(x)3x26mxn，由已知可得或当时，f(x)3x26x33(x1)20恒成立与x1是极值点矛盾，当时，f(x)3x212x93(x1)(x3)，显然x1是极值点，符合题意，mn11.【答案】114已知函数f(x)的导数f(x)a(x1)(xa)，若f(x)在xa处取得极大值，则a的取值范围是 【解析】当a0时，则f(x)0，函数f(x)不存在极值当a0时，令f(x)0，则x11，x2a.若a1，则f(x)(x1)20，函数f(x)不存在极值；若a0，当x(1，a)时，f(x)0，当x(a，)时，f(x)0，所以函数f(x)在xa处取得极小值，不符合题意；若1a0，当x(1，a)时，f(x)0，当x(a，)时，f(x)0，所以函数f(x)在xa处取得极大值；若a1，当x(，a)时，f(x)0；当x(a，1)时，f(x)0，所以函数f(x)在xa处取得极小值，不符合题意所以a(1,0)【答案】(1,0)5已知函数f(x)(1)求f(x)在区间(，1)上的极小值和极大值点；(2)求f(x)在1，e(e为自然对数的底数)上的最大值【解】(1)当x1时，f(x)3x22xx(3x2)，令f(x)0，解得x0或x.当x变化时，f(x)，f(x)的变化情况如下表：x(，0)0f(x)00f(x)极小值极大值故当x0时，函数f(x)取得极小值为f(0)0，函数f(x)的极大值点为x.(2)当1x1时，由(1)知，函数f(x)在1,0和上单调递减，在上单调递增因为f(1)2，f，f(0)0，所以f(x)在1,1)上的最大值为2.当1xe时，f(x)aln x，当a0时，f(x)0；当a0时，f(x)在1，e上单调递增，则f(x)在1，e上的最大值为f(e)a.故当a2时，f(x)在1，e上的最大值为a；当a2时，f(x)在1，e上的最大值为2.6(2014山东高考)设函数f(x)k(k为常数，e2.718 28是自然对数的底数)(1)当k0时，求函数f(x)的单调区间；(2)若函数f(x)在(0,2)内存在两个极值点，求k的取值范围【解】(1)函数yf(x)的定义域为(0，)f(x)k.由k0可得exkx0，所以当x(0,2)时，f(x)0，函数yf(x)单调递增所以f(x)的单调递减区间为(0,2)，单调递增区间为(2，)(2)由(1)知，k0时，函数f(x)在(0,2)内单调递减，故f(x)在(0,2)内不存在极值点；当k0时，设函数g(x)exkx，x0，)因为g(x)exkexeln k，当00，yg(x)单调递增，故f(x)在(0,2)内不存在两个极值点；当k1时，得x(0，ln k)时，g(x)0，函数yg(x)单调递增所以函数yg(x)的最小值为g(ln k)k(1ln k)函数f(x)在(0,2)内存在两个极值点，当且仅当解得ek.综上所述，函数f(x)在(0,2)内存在两个极值点时k的取值范围为.7
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