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分层限时跟踪练(二十六)(限时40分钟)一、选择题1(2015山东高考)已知菱形ABCD的边长为a，ABC60，则()Aa2Ba2C.a2 D.a2【解析】由已知条件得aacos 30a2，故选D.【答案】D2(2015贵阳模拟)设x，yR，向量a(x,1)，b(1，y)，c(2，4)，且ac，bc，则|ab|()A. B. C2 D10【解析】a(x,1)，b(1，y)，c(2，4)由ac，bc可知解得x2，y2.a(2,1)，b(1，2)|ab|(3，1)|.【答案】B3(2015重庆高考)若非零向量a，b满足|a|b|，且(ab)(3a2b)，则a与b的夹角为()A. B.C.D【解析】由(ab)(3a2b)得(ab)(3a2b)0，即3a2ab2b20.又|a|b|，设a，b，即3|a|2|a|b|cos 2|b|20，|b|2|b|2cos 2|b|20.cos .又0，.【答案】A4设a，b，c为同一平面内具有相同起点的任意三个非零向量，且a与b不共线，ac，|a|c|，则|bc|的值一定等于()A以a，b为邻边的平行四边形的面积B以b，c为两边的三角形面积C以a，b为两边的三角形面积D以b，c为邻边的平行四边形的面积【解析】依题意可得|bc|b|c|cosb，c|b|a|sina，b|S平行四边形|bc|表示以a，b为邻边的平行四边形的面积【答案】A5(2015福建高考)已知，|，|t.若点P是ABC所在平面内的一点，且，则的最大值等于()A13B15C19D21【解析】，故可以A为原点，AB，AC所在直线为坐标轴建立平面直角坐标系，不妨设B，C(t,0)，则(4,1)，故点P的坐标为(4,1).(t4，1)4t171721713.当且仅当4t，即t时(负值舍去)取得最大值13.【答案】A二、填空题6(2015云南模拟)已知平面向量a与b的夹角等于，如果|a|2，|b|3，那么|2a3b|等于 【解析】|2a3b|2(2a3b)24a212ab9b24221223cos93261，|2a3b|.【答案】7已知a(，2)，b(3，2)，如果a与b的夹角为锐角，则的取值范围是 【解析】a与b的夹角为锐角，则ab0且a与b不共线，则解得或0或，所以的取值范围是0，.【答案】8如图433，正三角形ABC中，D是边BC上的点，AB3，BD1，则AA . 图433【解析】法一：AA33cos 60，AABABA(AA)AA，AAAA2AA.法二：以B为原点，BC所在的直线为x轴，建立坐标系，则B(0,0)，A，D(1,0)所以A，A，所以AA2.【答案】三、解答题9(2016潍坊模拟)如图434，D，E分别是ABC的边BC的三等分点，设m，n，BAC，图434(1)用m，n分别表示，；(2)若15，|3，求ABC的面积【解】(1)()mn.()mn.(2)由(1)可知(m2n2)mn(m2n2)|m|n|cos15.即4(m2n2)5|m|n|270，又由余弦定理：|2|2|22|cos，(3)2m2n22|m|n|，m2n2|m|n|27.由得|m|n|18.SABC|sinBAC|m|n|sin18.10(2015成都模拟)已知向量m(2sin x，cos2xsin2x)，n(cos x,1)，其中0，xR.若函数f(x)mn的最小正周期为.(1)求的值；(2)在ABC中，若f(B)2，BC，sin Bsin A，求BB的值【解】(1)f(x)mn2sin xcos xcos2xsin2xsin 2xcos 2x2sin.f(x)的最小正周期为，T.0，1，(2)设ABC中角A，B，C所对的边分别是a，b，c.f(B)2，2sin2，即sin1，解得B(B(0，)BC，a，sin Bsin A，ba，b3.由正弦定理，有，解得sin A.0A，A.C，ca.BBcacos Bcos.1(2015东北三省四市联考)若G是ABC的重心，a，b，c分别是角A，B，C的对边，若abc0，则角A()A90B60C45D30【解析】G是ABC的重心，GGG0，G，代入得ab0，整理得GG0，ab.cos A，因此A30，故选D.【答案】D2(2015贵州七校联考)在ABC中，AB4，ABC30，D是边BC上的一点，且AAAA，则AA的值为()A. 0B4C8D4【解析】由AAAA，得A(AA)0，即AC0，所以AC，即ADCB.又AB4，ABC30，所以ADABsin 302，BAD60，所以AAADABcosBAD244，故选D.【答案】D3(2015泉州模拟)定义一种向量运算“”：ab(a，b是任意的两个向量)若p(1，2)，q(2,4)，r(3,4)，则(pq)r .【解析】p(1，2)，q(2,4)2p，p，q共线，pqpq(1,2)，r(3,4)，(1)432，pq与r不共线，(pq)r(pq)r(1)3245.【答案】54已知直角梯形ABCD中，ADBC，ADC90，AD2，BC1，P是腰DC上的动点，则|P3P|的最小值为 【解析】建立如图所示的平面直角坐标系，设DCm，P(0，t)(t0，m)，由题意可知，A(2,0)，B(1，m)，所以P(2，t)，P(1，mt)，P3(5,3m4t)，所以|P3|5，当且仅当tm时取等号，故|P3|的最小值为5.【答案】55(2015东北三校一模)已知ABC的面积为2，且满足0AA4，A和A的夹角为.(1)求的取值范围；(2)求函数f()2sin2cos 2的取值范围【解】(1)设ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，则由题意得bcsin 2,0bccos 4，可得tan 1，又0，.(2)f()2sin2cos 2cos 2(1sin 2)cos 2sin 2cos 212sin1，2，22sin13，函数f()的取值范围是2,36在四边形ABCD中，AD(1,1)，BBB，求四边形ABCD的面积【解】由AD(1,1)，可知四边形ABCD为平行四边形，且|A|D|，因为BBB，所以可知平行四边形ABCD的角平分线BD平分ABC，四边形ABCD为菱形，其边长为，且对角线BD长等于边长的倍，即BD，所以CE2()22，即CE，所以BCD的面积为，所以四边形ABCD的面积为2.8
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