高三数学二轮复习 17_3 概率、随机变量及其分布列课时巩固过关练 理 新人教版

课时巩固过关练 二十 概率、随机变量及其分布列(35分钟55分)一、选择题(每小题5分，共20分)1.(2016承德一模)在区间0，2上随机地取一个数x，则事件“-1lo1”发生的概率为()A.B.C.D.【解析】选A.不等式-1lo1可化为lo2lolo，即x+2，解得0x，故由几何概型的概率公式得P=.2.(2016广州一模)甲、乙两人同时报考某一所大学，甲被录取的概率为0.6，乙被录取的概率为0.7，两人是否被录取互不影响，则其中至少有一人被录取的概率为()A.0.12B.0.42C.0.46D.0.88【解析】选D.因为甲、乙两人是否被录取相互独立，又所求事件的对立事件为“两人均未被录取”，由对立事件和相互独立事件概率公式知，P=1-(1-0.6)(1-0.7)=1-0.12=0.88.3.(2016河南中原名校二模)一袋中有红、黄、蓝三种颜色的小球各一个，每次从中取出一个，记下颜色后放回，当三种颜色的球全部取出时停止取球，则恰好取5次球时停止取球的概率为()A.B.C.D.【解析】选B.分两种情况3，1，1及2，2，1，这两种情况是互斥的，下面计算每一种情况的概率，当取球的个数是3，1，1时，试验发生包含的事件是35，满足条件的事件数是，所以这种结果发生的概率是=，同理求得第二种结果的概率是，根据互斥事件的概率公式得到P=+=.4.(2016郑州一模)1号箱中有2个白球和4个红球，2号箱中有5个白球和3个红球，现随机地从1号箱中取出一球放入2号箱，然后从2号箱中随机取出一球，则从2号箱取出红球的概率是()A.B.C.D.【解析】选A.方法一：记事件A：从2号箱中取出的是红球；事件B：从1号箱中取出的是红球，则根据古典概型和对立事件的概率和为1，可知：P(B)=，P()=1-=；由条件概率公式知P(A|B)=，P(A|)=.从而P(A)=P(AB)+P(A)=P(A|B)P(B)+P(A|)P()=.方法二：根据题意，分两种情况讨论：从1号箱中取出白球，其概率为=，此时2号箱中有6个白球和3个红球，从2号箱中取出红球的概率为，则此种情况下的概率为=.从1号箱中取出红球，其概率为.此时2号箱中有5个白球和4个红球，从2号箱取出红球的概率为，则这种情况下的概率为=.则从2号箱取出红球的概率是+=.二、填空题(每小题5分，共10分)5.(2016张家界一模)袋中有形状、大小都相同的4只球，其中1只白球，1只红球，2只黄球，从中一次随机摸出2只球，则这2只球颜色不同的概率为_.【解析】4只球分别记为白、红、黄1、黄2，则从中一次摸出2只球所有可能的情况有：白红、白黄1、白黄2、红黄1、红黄2、黄1黄2，共6种情况，其中2只球颜色不同的有5种，故P=.答案：6.(2016大同一模)有一底面半径为1，高为2的圆柱，点O为这个圆柱底面圆的圆心，在这个圆柱内随机取一点P，则点P到点O的距离大于1的概率为_.【解析】设点P到点O的距离小于1的概率为P1，由几何概型，则P1=，故点P到点O的距离大于1的概率P=1-=.答案：三、解答题(7题12分，8题13分，共25分)7.(2016天津高考)某小组共10人，利用假期参加义工活动，已知参加义工活动次数为1，2，3的人数分别为3，3，4.现从这10人中随机选出2人作为该组代表参加座谈会.(1)设A为事件“选出的2人参加义工活动次数之和为4”，求事件A发生的概率.(2)设X为选出的2人参加义工活动次数之差的绝对值，求随机变量X的分布列和数学期望.【解析】(1)由已知事件A：选2人参加义工活动，次数之和为4，则P(A)=.(2)随机变量X可能的取值为0，1，2.P(X=0)=，P(X=1)=，P(X=2)=.则X的分布列为：X012PE(X)=+=1.【加固训练】(2016赣州二模)某校学生参加了“铅球”和“立定跳远”两个科目的体能测试，每个科目的成绩分为A，B，C，D，E五个等级，分别对应5分，4分，3分，2分，1分，该校某班学生两科目测试成绩的数据统计如图所示，其中“铅球”科目的成绩为E的学生有8人.(1)求该班学生中“立定跳远”科目中成绩为A的人数.(2)若该班共有10人的两科成绩得分之和大于7分，其中有2人10分，2人9分，6人8分.从这10人中随机抽取两人，求两人成绩之和的分布列和数学期望.【解析】(1)因为“铅球”科目中成绩等级为E的学生有8人，所以该班有80.2=40人，所以该班学生中“立定跳远”科目中成绩等级为A的人数为40(1-0.375-0.375-0.15-0.025)=400.075=3.(2)的值可以为16，17，18，19，20.P(=16)=，P(=17)=，P(=18)=+=.P(=19)=，P(=20)=.所以的分布列为1617181920P所以E()=16+17+18+19+20=，所以的数学期望为.8.(2016黄山二模)甲、乙两人参加某种选拔测试.在备选的10道题中，甲答对其中每道题的概率都是，乙只能答对其中的5道题，规定每次考试都从备选的10道题中随机抽出3道题进行测试，答对一题加10分，答错一题(不答视为答错)减5分，得分低于0分时记为0分(即最低为0分)，至少得15分才能入选.(1)求乙得分的分布列和数学期望.(2)求甲、乙两人中至少有一人入选的概率.【解析】(1)设乙的得分为，则的所有可能取值为：0，15，30.P(=0)=+=，P(=15)=，P(=30)=.的分布列为01530PE()=0+15+30=.(2)设“甲入选”为事件A，“乙入选”为事件B，则P(A)=+=，P()=1-=，由(1)知，P(B)=P(=15)+P(=30)=+=，P()=1-=.所求概率为P=1-P()=1-P()P()=1-=.(30分钟55分)一、选择题(每小题5分，共20分)1.甲、乙两人各抛掷一次正方体骰子(六个面分别标有数字1，2，3，4，5，6).设甲、乙所抛掷骰子朝上的面的点数分别为x，y，则满足复数x+yi的实部大于虚部的概率是()A.B.C.D.【解析】选B.总共有36种情况.当x=6时，y有5种情况；当x=5时，y有4种情况；当x=4时，y有3种情况；当x=3时，y有2种情况；当x=2时，y有1种情况.所以P=.2.在4次独立重复试验中，事件A发生的概率相同，若事件A至少发生1次的概率为，则事件A在1次试验中发生的概率为()A.B.C.D.【解析】选A.设事件A在1次试验中发生的概率为p，由题意得1-p0(1-p)4=，所以1-p=，p=.3.在圆的一条直径上，任取一点作与该直径垂直的弦，则其弦长超过该圆的内接等边三角形的边长的概率为()A.B.C.D.【解析】选C.如图所示，BCD是圆内接等边三角形，过直径BE上任一点作垂直于直径的弦，设大圆的半径为2，则等边三角形BCD的内切圆的半径为1，要使弦长大于CD的长，就必须使圆心O到弦的距离小于|OF|，记事件A=弦长超过圆内接等边三角形的边长=弦中点在内切圆内，由几何概型概率公式得P(A)=.【加固训练】设p在0，5上随机地取值，则关于x的方程x2+px+1=0有实数根的概率为()A.B.C.D.【解析】选C.方程有实根，则=p2-40，解得p2或p-2(舍去).故所求概率为=.4.某班举行了一次“心有灵犀”的活动，教师把一张写有成语的纸条出示给A组的某个同学，这个同学再用身体语言把成语的意思传递给本组其他同学.若小组内同学甲猜对成语的概率是0.4，同学乙猜对成语的概率是0.5，且规定猜对得1分，猜不对得0分，则这两个同学各猜1次，得分之和X(单位：分)的数学期望为()A.0.9B.0.8C.1.2D.1.1【解析】选A.由题意得X=0，1，2，则P(X=0)=0.60.5=0.3，P(X=1)=0.40.5+0.60.5=0.5，P(X=2)=0.40.5=0.2，所以E(X)=10.5+20.2=0.9.二、填空题(每小题5分，共10分)5.在1，2，3，4，5，6，7，8这组数据中，随机取出五个不同的数，则数字5是取出的五个不同数的中位数的概率为_.【解析】分析题意可知，抽取的除5以外的四个数字中，有两个比5小，有两个比5大，故所求概率P=.答案：6.设整数m是从不等式x2-2x-80的整数解的集合S中随机抽取的一个元素，记随机变量=m2，则的数学期望E()=_.【解析】S=-2，-1，0，1，2，3，4，的分布列为014916P所以E()=0+1+4+9+16=5.答案：5【加固训练】(2016山西大同一模)从集合2，3，4，5中随机抽取一个数a，从集合1，3，5中随机抽取一个数b，则向量m=(a，b)与向量n=(1，-1)垂直的概率为()A.B.C.D.【解析】选A.由题意可知m=(a，b)有：(2，1)，(2，3)，(2，5)，(3，1)，(3，3)，(3，5)，(4，1)，(4，3)，(4，5)，(5，1)，(5，3)，(5，5)，共12种情况.mn即mn=0，所以a1+b(-1)=0，即a=b，满足条件的有(3，3)，(5，5)，共2种情况，所以所求概率为.三、解答题(7题12分，8题13分，共25分)7.为丰富中学生的课余生活，增进中学生之间的交往与学习，某市甲乙两所中学举办一次中学生围棋擂台赛.比赛规则如下，双方各出3名队员并预先排好出场顺序，双方的第一号选手首先对垒，双方的胜者留下进行下一局比赛，负者被淘汰出局，由第二号选手挑战上一局获胜的选手，以此类推，直到一方的队员全部被淘汰，另一方算获胜.假若双方队员的实力旗鼓相当(即取胜对手的概率彼此相等).(1)在已知乙队先胜一局的情况下，求甲队获胜的概率.(2)记双方结束比赛的局数为，求的分布列并求其数学期望E().【解析】(1)在已知乙队先胜一局的情况下，相当于乙校还有3名选手，而甲校还剩2名选手，甲校要想取胜，需要连胜3场，或者比赛四场要胜三场，且最后一场获胜，所以甲校获胜的概率是+=.(2)记双方结束比赛的局数为，则=3，4，5，P(=3)=，P(=4)=，P(=5)=.所以的分布列为345P数学期望E()=3+4+5=.8.某技术公司新开发了A，B两种新产品，其质量按测试指标划分为：指标大于或等于82为正品，小于82为次品，现随机抽取这两种产品各100件进行检测，检测结果统计如下：测试指标70，76)76，82)82，88)88，94)94，100产品A81240328产品B71840296(1)试分别估计产品A，产品B为正品的概率.(2)生产一件产品A，若是正品可盈利80元，次品则亏损10元；生产一件产品B，若是正品可盈利100元，次品则亏损20元.在(1)的前提下，记X为生产一件产品A和一件产品B所得的总利润，求随机变量X的分布列和数学期望.【解析】(1)由检测结果统计表，得产品A为正品的概率为：=，产品B为正品的概率为：=.(2)随机变量X的所有取值为180，90，60，-30，P(X=180)=，P(X=90)=，P(X=60)=，P(X=-30)=.所以X的分布列为：X1809060-30PE(X)=180+90+60+(-30)=132.1.(2016安阳二模)某媒体对“男女延迟退休”这一公众关注的问题进行了民意调查，下表是在某单位得到的数据(人数)：赞同反对总计男5611女11314总计16925(1)能否在犯错误的概率不超过0.1的前提下(有90%以上的把握)认为对这一问题的看法与性别有关？(2)进一步调查：从赞同“男女延迟退休”16人中选出3人进行陈述发言，求事件“男士和女士各至少有1人发言”的概率；从反对“男女延迟退休”的9人中选出3人进行座谈，设参加调查的女士人数为X，求X的分布列和数学期望.附：P(K2k0)0.150.100.050.0250.0100.0050.001k02.0722.7063.8415.0246.6357.87910.828K2=【解析】(1)K2的观测值k=2.9322.706.由此可知，在犯错误的概率不超过0.1的前提下(有90%以上的把握)认为对这一问题的看法与性别有关.(2)记题设事件为A，则所求概率为P(A)=；根据题意，X服从超几何分布，P(X=k)=，k=0，1，2，3.X的分布列为：X0123PX的数学期望为E=0+1+2+3=1.2.(2016武汉一模)在2016年全国高校自主招生考试中，某高校设计了一个面试考查方案：考生从6道备选题中一次性随机抽取3题，按照题目要求独立回答全部问题.规定：至少正确回答其中2题的便可通过.已知6道备选题中考生甲有4题能正确回答，2题不能回答；考生乙每题正确回答的概率都为，且每题回答正确与否互不影响.(1)分别写出甲、乙两考生正确回答题数的分布列，并计算其数学期望.(2)试用统计知识分析比较两考生的通过能力.【解析】(1)设考生甲、乙正确回答的题目个数分别为，则的可能取值为1，2，3，P(=1)=，P(=2)=，P(=3)=，所以考生甲正确回答题数的分布列为：123PE()=1+2+3=2.又B，其分布列为：0123P所以E()=np=3=2.(2)因为D()=(2-1)2+(2-2)2+(2-3)2=，D()=npq=3=，所以D()P(2).从回答对题数的数学期望考查，两人水平相当；从回答对题数的方差考查，甲较稳定；从至少完成2题的概率考查，甲获得通过的可能性大.因此可以判断甲的通过能力较强.3.(2016锦州一模)甲、乙、丙三位同学彼此独立地从A，B，C，D，E五所高校中，任选2所高校参加自主招生考试(并且只能选2所高校)，但同学甲特别喜欢A高校，他除选A校外，在B，C，D，E中再随机选1所；同学乙和丙对5所高校没有偏爱，都在5所高校中随机选2所即可.(1)求甲同学未选中E高校且乙、丙都选中E高校的概率.(2)记X为甲、乙、丙三名同学中未参加E校自主招生考试的人数，求X的分布列及数学期望.【解析】(1)由题意知：甲同学选中E高校的概率为p甲=，乙、丙两同学选中E高校的概率为p乙=p丙=，所以甲同学未选中E高校且乙、丙都选中E高校的概率为：P=(1-p甲)p乙p丙=.(2)由题意知：X所有可能的取值为0，1，2，3，P(X=0)=p甲p乙p丙=，P(X=1)=(1-p甲)p乙p丙+p甲(1-p乙)p丙+p甲p乙(1-p丙)=+=，P(X=2)=(1-p甲)(1-p乙)p丙+(1-p甲)p乙(1-p丙)+p甲(1-p乙)(1-p丙)=+=，P(X=3)=(1-p甲)(1-p乙)(1-p丙)=，所以X的分布列为：X0123P所以E(X)=0+1+2+3=.