遵义专版2017届中考数学总复习第二编中档专项训练篇中档题型训练五圆的有关计算证明与探究试题

中档题型训练(五)圆的有关计算、证明与探究圆的有关计算与证明是遵义中考的必考内容之一，占有较大的比重，通常结合三角形、四边形等知识综合考查，以计算题、证明题的形式出现，解答此类问题要熟练掌握圆的基本性质，特别是切线的性质和判定，同时要注意已知条件之间的相互联系与圆的有关性质【例1】(2016黔西南模拟)如图，AB是O的直径，弦CDAB于点E，点P在O上，1C.(1)求证：CBPD；(2)若BC3，sinP，求O的直径【解析】(1)通过圆周角转换找出一组内错角相等；(2)通过连接直径所对圆周角构造直角三角形，利用三角函数解决直径问题【学生解答】解：(1)CP，1C，1P，CBPD；(2)连接AC，AB为O的直径，ACB90.又CDAB，.PCAB.sinCABsinP，即.又BC3，AB5.O的直径为5.1(2016遵义六中一模)如图，A，B是O上的两点，AOB120，C是的中点(1)求证：AB平分OAC；(2)延长OA至P使得OAAP，连接PC，若O的半径R1，求PC的长解：(1)连接OC，AOB120，C是的中点，AOCBOC60.OAOC，ACO是等边三角形，OAAC.同理OBBC.OAACBCOB.四边形AOBC是菱形AB平分OAC；(2)C为中点，AOB120，AOC60.OAOC，OAC是等边三角形OAAC，OAAP，APAC.APC30.OPC是直角三角形，PCOC.圆的切线的性质与判定【例2】(2016遵义二中一模)如图，AB是O的直径，BC为O的切线，D为O上的一点，CDCB，延长CD交BA的延长线于点E.(1)求证：CD为O的切线；(2)若BD的弦心距OF1，ABD30，求图中阴影部分的面积(结果保留)【解析】(1)证ODCABC90；(2)在RtOBF中，ABD30，OF1，可求得BD的长，BOD的度数，又由S阴影S扇形OBDSBOD，即可求解【学生解答】解：(1)连接OD，BC是O的切线，ABC90.CDCB，CBDCDB.OBOD，OBDODB.ODCABC90，即ODCD.点D在O上，CD为O的切线；(2)在RtOBF中，ABD30，OF1，BOF60，OB2，BF.OFBD，BD2BF2，BOD2BOF120.S阴影S扇形OBDSBOD21.2(2016南充中考)如图，在RtABC中，ACB90，BAC的平分线交BC于点O，OC1，以点O为圆心OC为半径作半圆(1)求证：AB为O的切线；(2)如果tanCAO，求cosB的值解：(1)如图，作OMAB于M，OA平分CAB，OCAC，OMAB，OCOM，AB是O的切线；(2)设BMx，OBy，则y2x21，cosB，x23xy2y，由可以得到：y3x1，(3x1)2x21，x，y，cosB.3(2016常德中考)如图，已知O是ABC的外接圆，AD是O的直径，且BDBC，延长AD到E，且有EBDCAB.(1)求证：BE是O的切线；(2)若BC，AC5，求圆的直径AD及切线BE的长解：(1)如图， 连接OB，BDBC，CABBAD，EBDCAB，BADEBD，AD是O的直径，ABD90，OABO，BADABO，EBDABO，OBEEBDOBDABOOBDABD90，点B在O上，BE是O的切线；(2)如图，设圆的半径为R，连接CD，AD为O的直径，ACD90，BCBD，OBCD，OBAC，OAOD，OFAC，四边形ACBD是圆内接四边形，BDEACB，DBECAB，DBECAB，DE，OBEOFD90，DFBE，R0，R3，BE是O的切线，BE.4(2016遵义航中二模)如图，点O为RtABC斜边AB上一点，以OA为半径的O与BC切于点D，与AC交于点E，连接AD.(1)求证：AD平分BAC；(2)若BAC60，OA2，求阴影部分的面积(结果保留)解：(1)O切BC于点D，ODBC，ACBC，ACOD，CADADO，OAOD，OADADO，OADCAD，即AD平分BAC；(2)设EO与AD交于点M，连接ED.BAC60，OAOE，AEO是等边三角形，AEOA，AOE60，AEAOOD，又由(1)知，ACOD即AEOD，四边形AEDO是菱形，则AEMDOM，EOD60，SAEMSDMO，S阴影S扇形EOD.圆与相似及三角函数综合【例3】(2016遵义十一中一模)如图，AB是O的直径，过点A作O的切线并在其上取一点C，连接OC交O于点D，BD的延长线交AC于点E，连接AD.(1)求证：CDECAD；(2)若AB2，AC2，求AE的长【解析】(1)利用圆的知识证角相等得出相似；(2)利用勾股定理及相似知识解决线段长度的计算【学生解答】解：(1)AB是O的直径，ADB90，ABDBAD90.又AC是O的切线，ABAC，即BAC90，CADBAD90，ABDCAD.ABDBDOCDE，CADCDE.又CC，CDECAD；(2)在RtOAC中，OAC90，OA2AC2OC2，即12(2)2OC2，OC3，CD2.又由CDECAD，得，即，CE.AEACCE2.5(2016遵义航中一模)如图，AB是O的直径，CDAB于点G，点F是CD上一点，且满足，连接AF并延长交O于点E，连接AD，DE，若CF2，AF3.(1)求证：ADFAED；(2)求FG的长；(3)求证：tanE.解：(1)AB是O的直径，弦CDAB，DGCG，ADFAED，FADDAE(公共角)，ADFAED；(2)，CF2，FD6，CDDFCF8，CGDG4，FGCGCF2；(3)AF3，FG2，AG，tanEtanADG.3