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,解题技巧,1.如图，ABC中，AB=BC，BEAC于点E，ADBC于点D，BAD=45，AD与BE交于点F，连接CF。(1)求证：BF=2AE；(2)若CD=，求AD的长。,解题技巧,三解,解：,(1)证明:ADBC，BAD=45ABD=BAD=45AD=BD,ADBC，BEAC，CAD+ACD=90CBE+ACD=90CAD=CBE,又CDA=BDF=90，ADCBDFAC=BF,AB=BC，BEAC，AE=EC，即AC=2AE，BF=2AE,(2)ADCBDF,DF=CD=所以在RtCDF中，CF=2,BEAC，AE=ECAF=FC=2，AD=AF+DF=2+,四悟,在求一个三角形的问题时，应利用三角形的全等，将未知量转为已知量，从而解决问题,解题技巧,2.如图，已知点D为等腰直角ABC内一点，CAD=CBD=15，E为AD延长线上的一点，且CE=CA。(1)求证：DE平分BDC；(2)若点M在DE上，且DC=DM，求证：ME=BD.,解题技巧,三解,解：,(1)在等腰直角ABC中，AC=BC，ACB=90,CAD=CBD=15BAD=ABD=45-15=30BD=AD，BDCADCDCA=DCB=45,由BDM=ABD+BAD=30+30=60，EDC=DAC+DCA=15+45=60,BDM=EDC，DE平分BDC,(2)如图，连接MCDC=DM，且MDC=60MDC是等边三角形，即CM=CD,又EMC=180-DMC=180-60=120ADC=180-MDC=180-60=120EMC=ADC,又CE=CA,DAC=CEM=15,ADCEMC，ME=AD=DB.,四悟,在求一个三角形的问题时，应将所求的量转化至一个三角形中解决，如不能转化，应考虑辅助线,解题技巧,3.如图，在正方形ABCD中，点E、F分别在BC，CD上移动，但A到EF的距离AH始终保持与AB长相等，问在E、F移动过程中：(1)EAF的大小是否有变化?请说明理由.(2)ECF的周长是否有变化?请说明理由.,解题技巧,三解,解：,(1)EAF的大小不会发生变化，理由如下:,在正方形ABCD中，AHEF，AHF=D=90,AF=AF,AH=AB=AD，RtAHFRtADF(HL)HAF=DAF，,同理RtAHERtABE，HAE=BAE,HAF+DAF+HAE+BAE=90EAF=HAF+HAE=45,EAF的大小不会发生变化,(2)AECF的周长不会发生变化,理由如下:,由(1)知:RtAHERtADF,RtAHERtABEFH=FD，EH=EB，,EF=EH+FH=EB+FD,CE+CF+EF=CE+CF+EB+FD=BC+CD,OECF的周长总等于正方形ABCD边长的2倍，不会发生变化.,四悟,在求一多边形的问题的时候，应将其转化为已学过的三角形问题，并应用三角形全等的知识，构造相等关系，从而求解,解题技巧,4.如图,梯形ABCD中,AD平行BC，DCB=45，CD=2，BDCD.过点C作CEAB于E，交对角线BD于F，点G为BC中点，连EG,AF.(1)求EG的长;(2)求证:CF=AB+AF.,解题技巧,三解,解：,(1)解BDCD，DCB=45,DBC=DCB=45CD=DB=2，CB=,因为CEAB于E，点G为BC中点，EG=,(2)证明:延长BA,CD交于点H.BDCDCDF=BDH=90DBH+H=90CEAB于EDCF+H=90,DBH=DCF,又CD=BD,CDF=BDHCDFBDH(ASA),DF=DH，CF=BH=BA+AH，ADBC，DBC=ADF=45HDA=DCB=45,ADF=HAD，又DF=DH，DA=DAADFADH(SAS)AF=AH,又CF=BH=BA+AHCF=AB+AF,四悟,在求一个多边形的问题时应利用辅助线将其转化为三角形的问题，进而解决问题,解题技巧,5.已知等腰三角形ABC中,ACB=90,点E在AC边的延长线上,且DEC=45,点M,N分别是DE,AE的中点,连接MN交直线BE于点F.当点D在CB边的延长线上时,如图1所示,易证MF+FN=BE.(1)当点D在CB边上时,如图2所示,上述结论是否成立?若成立,请给予证明;若不成立,请写出你的猜想,并说明理由.(2)当点D在BC边的延长线上时,如图3所示,请直接写出你的论.(不需要证明),解题技巧,三解,解：,(1)不成立,猜想:FN-MF=BE,理由如下:证明:如图2.连接AD.M,N分别是DE,AE的中点MN=AD,又在ACD与BCE中,AC=BCACB=BCE=90DC=CEACDBCE(SAS),AD=BEMN=FN-MFFN-MF=BE,结论:MF-FN=BE.证明:如图3,连接AD.,M,N分别是DE,AE的中点,MN=AD.,在ACD与BCE中AC=BCACD=BCE=90CD=CEACDBCE(SAS),AD=BEMN=BEMN=MF-FNMF-FN=BE.,四悟,在求一个三角形的问题的时候，应利用三角形全等的知识将所求量转化至同一个三角形中，从而求解,
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