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重点中学与你有约,例1.如图，在ABC中，ACB=90，BC的垂直平分线EF交BC于点D，交AB于点E，且BE=BF，添加一个条件，仍不能证明四边形BECF为正方形的是（）ABC=ACBCFBFCBD=DFDAC=BF,解题技巧,EF垂直平分BC，BE=EC，BF=CF，BF=BE，BE=EC=CF=BF，四边形BECF是菱形；当BC=AC时，ACB=90，则A=ABC=45，EBF=2ABC=245=90，菱形BECF是正方形故选项A能证明四边形BECF为正方形；当CFBF时，即BFC=90，利用正方形的判定得出菱形BECF是正方形；当BD=DF时，即EF=BC，利用正方形的判定得出菱形BECF是正方形；当AC=BF时，无法得出菱形BECF是正方形故选D,举一反三,如图，在ABC中，ACB=90，BC的垂直平分线DE交BC于点D，交AB于点E，点F在DE的延长线上，且AF=CE（1）四边形ACEF是平行四边形吗？说明理由；（2）当B的大小满足什么条件时，四边形ACEF为菱形？请说明你的结论；（3）四边形ACEF有可能是正方形吗？为什么？,举一反三,思路分析:（1）已知AF=EC，只需证明AFEC即可DE垂直平分BC，易知DE是ABC的中位线，则FEAC，BE=EA=CE=AF；因此AFE、AEC都是等腰三角形，可得F=5=1=2，即FAE=AEC，由此可证得AFEC；（2）要使得平行四边形ACEF为菱形，则AC=CE，又CE=0.5AB，使得AB=2AC即可，根据AB、AC即可求得B的值；（3）通过已知在ABC中，ACB=90，推出ACE90，不能为直角，进行说明,答案：（1）四边形ACEF是平行四边形；DE垂直平分BC，D为BC的中点，EDBC，又ACBC，EDAC，E为AB中点，ED是ABC的中位线BE=AE，FDACBD=CD，RtABC中，CE是斜边AB的中线，CE=AE=AFF=5=1=2FAE=AECAFEC又AF=EC，四边形ACEF是平行四边形；（2）当B=30时，四边形ACEF为菱形；理由：ACB=90，B=30，AC=0.5AB，由（1）知CE=0.5AB，AC=CE又四边形ACEF为平行四边形四边形ACEF为菱形；（3）四边形ACEF不可能是正方形，ACB=90，ACEACB，即ACE90，不能为直角，所以四边形ACEF不可能是正方形,失误防范,正方形的判定：有一个角是直角的菱形是正方形；一组邻边相等的矩形是正方形；对角线互相垂直的矩形是正方形.,例2.如图，设（ab0），则有（）Ak2B1k2CD,重点中学与你有约,解题技巧,甲图中阴影部分面积为a2b2，乙图中阴影部分面积为a2ab，则因为0ba，所以则1k2，故选B,举一反三,如图所示，四边形ABCD是一个长方形草坪，长20米，宽14米，中间有一条宽2米的曲折小路，求路的面积,举一反三,思路分析:小路是曲折的，不规则图形，可用采用“移”的思路来解决,答案：把左图下面空白部分往上、往左移，使它与上面空白部分连接在一起，就成了右图中的空白部分，是一个长方形，长是20-2=18米，宽是14-2=12米，这个长方形的面积=1812=216平方米，小路的面积=大长方形的面积-空白长方形的面积=2014-216=64平方米,失误防范,图形的面积计算：,规则图形：利用公式法求解；不规则图形的面积：在图形面积计算时,经常会到一些无法直接求或不规则的图形,这时我们需要转换解题思维，根据图形的基本关系，运用分解、平移、旋转、割补、添辅助线等方法，把不规则图形转化为规则图形。下面说几种常见的面积计算方法：大减小；补形；移图；分割.在计算过程中要熟练掌握图形的性质及面积的计算.,例3.对正方形ABCD进行分割，如图1，其中E,F,分别是BC,CD的中点，M、N、G分别是OB、OD、EF的中点，沿分割线可以剪出一副“七巧板”，用这些部件可以拼出很多图案，图2就是用其中6块拼出的“飞机”若GOM的面积为1，则“飞机”的面积为,重点中学与你有约,解题技巧,由“飞机”的图形可知，“飞机”由2个面积为1的三角形，2个面积为4的三角形，1个面积为2的平行四边形，1个面积为2的正方形组成.故“飞机”的面积为：12+42+2+2=14故答案为：14,举一反三,用边长为8厘米的正方形，做了一套七巧板，拼成如图所示的小天鹅，则其中阴影部分的面积为平方厘米,举一反三,思路分析:看图发现阴影部分面积是正方形的面积减去A，B，C部分的面积，从而分别求得A，B，C的面积即可,答案：如图，阴影部分面积是正方形的面积减去A，B，C部分的面积，A与B的和是正方形的面积的一半，C的面积是正方形的，所以，阴影部分面积=646464=24平方厘米故答案为：24,失误防范,七巧板拼接图形求面积问题：,七巧板是由一个正方形分割成五个等腰直角三角形、一个正方形和一个平行四边形，利用这七块几何图形可以拼出千姿百态的图案.以七巧板为背景，可以编拟一些有关面积计算问题.解这种类型问题关键是要掌握好正方形的性质，利用正方形的性质先求解分割图形的面积，然后在求解拼接图形的面积.,例4.如图，在正方形ABCD中。E为对角线AC上一点，连接EB,ED.（1）求证：BECDEC：（2）延长BE交AD于点F，若DEB=140求AFE的度数,重点中学与你有约,解题技巧,（1）证明：四边形ABCD是正方形，CD=CB，AC是正方形的对角线，DCA=BCA，又CE=CE,BECDEC（2）解：DEB=140，由BECDEC可得DEC=BEC=1402=70，AEF=BEC=70，又AC是正方形的对角线，DAB=90，DAC=45，在AEF中，AFE=1807045=65,举一反三,如图，在正方形ABCD中，点E是边CD上一点，点F是边BC的延长线上一点，连接BE、DF，且BE=DF求证：BEC=DFC,思路分析:直接利用正方形的性质结合HL定理得出RtBCERtDCF，进而得出答案,答案：四边形ABCD是正方形，BD=DC，BCD=90，DCF=90，在RtBCE和RtDCF中，BC=DC,BE=DF,RtBCERtDCF（HL），BEC=DFC,失误防范,正方形利用性质求解问题注意事项：这种类型的题目一般不会单纯的只用正方形的性质来求解，更多的情况是在利用正方形性质的同时还经常会涉及到之前所学的知识，比如：全等三角形的性质和判定、三角形的内角和定理、对顶角等知识点，理解和掌握并能熟练地运用这些性质进行推理是解此类型题的关键所以在学习的过程中一定要及时复习熟练掌握好几何数学中的重要定理.,例5.如图，在四边形ABCD中，AB=BC,对角线BD平分ABC，P是BD上一点，过点P作PMAD,PNCD,垂足分别为M,N.（1）求证：ADB=CDB；（2）若ADC=90，求证：四边形MPND是正方形,重点中学与你有约,解题技巧,证明：（1）BD平分ABC，ABD=CBD，又BA=BC,BD=BD,ABDCBD.ADB=CDB.（2）PMAD，PNCD，PMD=PND=90，又ADC=90，四边形MPND是矩形，ADB=CDB，PMAD,PNCD,PM=PN，四边形MPND是正方形,举一反三,已知：如图，点M是矩形ABCD的边AD的中点，点P是BC边上的一动点，PECM，PFBM，垂足分别为E、F（）当四边形PEMF为矩形时，矩形ABCD的长与宽满足什么条件？试说明理由（）在（）中当点P运动到什么位置时，矩形PEMF变为正方形？为什么？,举一反三,思路分析:（I）是由结果推已知条件的试题，可以把结果当做一个已知条件用（）是探索性试题，同样可以把结果当做条件解题,答案：（）当四边形PEMF为矩形时，矩形ABCD的长是宽的2倍理由：四边形ABCD是矩形，A=D=90，AB=DC，又AM=DM，AMBDMC（SAS）AMB=DMC四边形PEMF为矩形，BMC=90，AMB=DMC=45AM=DM=DC，即AD=2DC当四边形PEMF为矩形时，矩形ABCD的长是宽的2倍；（）答：当点P运动到BC中点时，四边形PEMF变为正方形AMBDMC，MB=MC四边形PEMF为矩形，PEMB，PFMC又点P是BC中点，PE=PF=0.5MC,四边形PEMF为正方形,失误防范,正方形的判定：有一个角是直角的菱形是正方形；一组邻边相等的矩形是正方形；对角线互相垂直的矩形是正方形；四边相等,有一个角是直角的四边形是正方形(先证菱形)；一组邻边相等且有一个角是直角的平行四边形是正方形(先证菱形)；四边均相等,对角线互相垂直平分且相等的平面四边形(先证菱形).,例6.如图，正方形ABCD的边长为4，DAC的平分线交DC于点E，若点P,Q分别是AD和AE上的动点，则DQ+PQ的最小值是.,重点中学与你有约,解题技巧,过D作AE的垂线交AE于F，交AC于D，再过D作DPAD于P，DDAE，AFD=AFD=90，AF=AF，DAE=CAE，DAFDAF，DF=DF，D是D关于AE的对称点，AD=AD=4，DQ+PQ=DQ+PQDP，DP即为DQ+PQ的最小值，四边形ABCD是正方形，DAD=45，AP=PD，在RtAPD中，PD2+AP2=AD2，2PD2=16，PD=2，即DQ+PQ的最小值为2，故答案为：2,举一反三,如图，正方形ABCD的边长为4，点E是AB的中点，点P是边BC上的动点，点Q是对角线AC上的动点（包括端点A，C），则EP+PQ的最小值是,举一反三,思路分析:如图作点E关于BC的对称点E，作EQAC于Q交BC于P则PE=PE，可知PQ+PE=PE+PQ，所以当Q用Q重合时，PE+PQ最小（垂线段最短），求出EQ的长即可解决问题,答案：如图作点E关于BC的对称点E，作EQAC于Q交BC于PPE=PE，PQ+PE=PE+PQ，当Q用Q重合时，PE+PQ最小（垂线段最短），四边形ABCD是正方形，EAQ=45，AE=6，EQ=3，PE+PQ的最小值为3故答案为3,失误防范,轴对称-最短问题：这类问题属于中考常考题型，在这类问题中，利用轴对称，将折线转化为直线，再根据“两点之间线段最短”，“垂线段最短”，等相关的知识，得到最短线段，这一类问题也是当今中考的热点题型。通常会以：直线、角、三角形、菱形、矩形、正方形、梯形、圆、坐标轴、抛物线等为载体，通常会有下面几类：两边之和大于第三边型；两点之间线段最短型；垂线段最短型.解题时要灵活应用定理根据题意作出辅助线是解答此题的关键,例7.已知，在ABC中，BAC=90,ABC=45,点D为直线BC上一动点（点D不与点B,C重合）以AD为边作正方形ADEF，连结CF（1）如图1，当点D在线段BC上时，求证：CF+CD=BC；（2）如图2，当点D在线段BC的延长线上时，其他条件不变，请直接写出CF，BC，CD三条线段之间的等量关系；,重点中学与你有约,（3）如图3，当点D在线段BC的反向延长线上时，且点A，F分别在直线BC的两侧，其他条件不变；请直接写出CF，BC，CD三条线段之间的关系；若正方形ADEF的边长为2，对角线AE，DF相较于点O，连结OC，求OC的长度,重点中学与你有约,解题技巧,（1）证明：BAC=90，ABC=45，ACB=ABC=45，AB=AC，四边形ADEF是正方形，AD=AF，DAF=90，BAD=90DAC，CAF=90DAC，BAD=CAF，BADCAF，BD=CFBD+CD=BC，CF+CD=BC.（2）CFCD=BC；,解题技巧,（3）CDCF=BCBAC=90，ABC=45，ACB=ABC=45，AB=AC，四边形ADEF是正方形，AD=AF，DAF=90，BAD=90BAF，CAF=90BAF，BAD=CAF，BADCAF，ACF=ABD，ABC=45，ABD=135，ACF=ABD=135，FCD=90，FCD是直角三角形正方形ADEF的边长为2且对角线AE、DF相交于点ODF=AD=4，O为DF中点OC=DF=2,举一反三,（1）如图1，已知矩形ABCD中，点E是BC上的一动点，过点E作EFBD于点F，EGAC于点G，CHBD于点H，试证明CH=EF+EG；（2）若点E在BC的延长线上，如图2，过点E作EFBD于点F，EGAC的延长线于点G，CHBD于点H，则EF、EG、CH三者之间具有怎样的数量关系，直接写出你的猜想；,举一反三,（3）如图3，BD是正方形ABCD的对角线，L在BD上，且BL=BC，连接CL，点E是CL上任一点，EFBD于点F，EGBC于点G，猜想EF、EG、BD之间具有怎样的数量关系，直接写出你的猜想；（4）观察图1、图2、图3的特性，请你根据这一特性构造一个图形，使它仍然具有EF、EG、CH这样的线段的关系，并满足（1）或（2）的结论，写出相关题设的条件和结论,举一反三,思路分析:（1）要证明CH=EF+EG，首先要想到能否把线段CH分成两条线段而加以证明，就自然的想到添加辅助线，若作CENH于N，可得矩形EFHN，很明显只需证明EG=CN，最后根据AAS可求证EGCCNE得出结论（2）过C点作COEF于O，可得矩形HCOF，因为HC=FO，所以只需证明EO=EG，最后根据AAS可求证COECGE得出猜想（3）连接AC，过E作EG作EHAC于H，交BD于O，可得矩形FOHE，很明显只需证明EG=CH，最后根据AAS可求证CHEEGC得出猜想（4）点P是等腰三角形底边所在直线上的任意一点，点P到两腰的距离的和（或差）等于这个等腰三角形腰上的高，很显然过C作CEPF于E，可得矩形GCEF，而且AAS可求证CEPCNP，故CG=PFPN,答案：（1）证明：过E点作ENCH于NEFBD，CHBD，四边形EFHN是矩形EF=NH，FHENDBC=NEC四边形ABCD是矩形，AC=BD，且互相平分DBC=ACBNEC=ACBEGAC，ENCH，EGC=CNE=90，又EC=CE，EGCCNEEG=CNCH=CN+NH=EG+EF；（2）解：猜想CH=EFEG；（3）解：EF+EG=0.5BD；（4）解：点P是等腰三角形底边所在直线上的任意一点，点P到两腰的距离的和（或差）等于这个等腰三角形腰上的高如图，有CG=PFPN,失误防范,1.牢记四边形的性质与判定：平行四边形：平行四边形的性质：平行四边形的对边相等；平行四边形的对角相等；平行四边形的对角线互相平分.平行四边形的判定：两组对边分别相等的四边形是平行四边形；对角线互相平分的四边形是平行四边形；两组对角分别相等的四边形是平行四边形；一组对边平行且相等的四边形是平行四边形.,失误防范,矩形：矩形的性质：矩形的四个角都是直角；矩形的对角线平分且相等.矩形的判定：有一个角是直角的平行四边形是矩形；对角线相等的平行四边形是矩形；有三个角是直角的四边形是矩形.菱形：菱形的性质：菱形的四条边都相等；菱形的两条对角线互相垂直，并且每一条对角线平分一组对角.菱形的判定：一组邻边相等的平行四边形是菱形；对角线互相垂直的平行四边形是菱形；四条边相等的四边形是菱形.,失误防范,正方形：正方形的性质：四条边都相等，四个角都是直角；正方形既是矩形，又是菱形.正方形的判定：邻边相等的矩形是正方形；有一个角是直角的菱形是正方形.,失误防范,2.四边形综合题：中考关于四边形综合题大多结合三角形知识进行考查，而平行四边形的性质是证明两条直线平行、线段相等及角相等的依据.另外关于平行四边形的面积及周长、对称性也常出现在中考题中，这类题有填空题、选择题、计算题和证明题，深刻理解和牢记多边形、平行四边形的性质和判定是关键和前提,
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