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考点4等边三角形的性质与判定、含30角的直角三角形的性质,1.如图M13-24，已知ABC和CDE都是等边三角形，则BD与AE的关系是()A.BDAEB.BDAEC.BDAED.BDAE2.某市在旧城改造中，计划在一块如图M13-25所示的ABC空地上种植草皮以美化环境，已知A150，这种草皮每平方米售价a元，则购买这种草皮至少需要()A.300a元B.150a元C.450a元D.225a元,A,3.如图M13-26，已知MON30，点在射线ON上，点在射线OM上，均为等边三角形，若的边长()A.6B.12C.32D.644.如图M13-27，RtABC中，CD，CE分别是斜边AB上的高和中线，如果A30，BD1cm，那么BCD，BCcm，ABcm.,30,5.如图M13-28是屋顶的“人”字形钢架，其中斜梁ABAC，顶角BAC120，跨度BC10m，AD为中柱(即底边的中线)，两根支撑架DEAB，DFAC，则DEDFm.6.如图M13-29，已知在等边ABC中，点D，E分别在边AB，BC上，把BDE沿直线DE翻折，使点B落在点B处，DB，EB分别交边AC于点F，G，若ADF80，则EGC的度数为.,80,7.如图M13-30是某商场一楼与二楼之间的手扶电梯示意图，其中AB，CD分别表示一楼、二楼地面的水平线，ABC150，BC的长是8m，则乘电梯从点B到点C上升的高度hm.,8.如图M13-31，一艘轮船以15海里/小时的速度由南向北航行，在A处测得小岛P在北偏西15方向上，2小时后，轮船在B处测得小岛P在北偏西30方向上，在小岛P周围18海里内有暗礁，若轮船继续向前航行，有无触礁的危险？,解：如答图M13-3,过点P作PCAB，垂足为点C.PAB15，PBC30，APBPBCPAB301515.PBBA.由题意知AB15230(海里).PB30(海里).在RtPBC中，PBC30，PCPB15(海里).PC18海里.轮船继续向前航行有触礁的危险.,9.如图M13-32，ABC为等边三角形，且123，试判断DEF的形状，并说明理由.,解：DEF为等边三角形.理由如下.ABC为等边三角形，BAC60.又13，DFEFAC3FAC1BAC60.同理可证FDE60，DEF60.DFEFDEDEF.DEF为等边三角形.,10.如图M13-33，ABC为等边三角形，AECD，AD，BE相交于点P，BQAD于点Q，PQ3，PE1.(1)求证：ADBE；(2)求AD的长.,(1)证明：ABC为等边三角形，BACC60，ABAC.又AECD，ABECAD(SAS).ABECAD，BEAD.(2)解：BPQBAPABEBAPPAEBAC60，BQPQ，PBQ30.PB2PQ6.BEPBPE7.ADBE7.,11.如图M13-34，ABC中，ACB90，ABC30，AD平分CAB，延长AC至点E，使CEAC.(1)求证：DEDB；(2)连接BE，试判断ABE的形状，并说明理由.,(1)证明：ACB90，ABC30，CAB60.AD平分CAB，DABCAB30ABC.DADB.CEAC，BCAE，BC是线段AE的垂直平分线.DEDA.DEDB.,(2)解：ABE是等边三角形.理由如下.BC是线段AE的垂直平分线，BABE，即ABE是等腰三角形.又CAB60，ABE是等边三角形.,12.已知：如图M13-35，ABC，CDE都是等边三角形，AD，BE相交于点O，点M，N分别是线段AD，BE的中点（1）求证：AD=BE；（2）求DOE的度数；（3）求证：MNC是等边三角形,（1）证明：ABC，CDE都是等边三角形，AC=BC，CD=CE，ACB=DCE=60.ACB+BCD=DCE+BCD.ACD=BCE.在ACD和BCE中，ACBC，ACDBCE，CDCE，ACDBCE(SAS).AD=BE,（2）解：ACDBCE，ADC=BEC.CED=CDE=60，ADE+BED=ADC+CDE+BED=ADC+60+BED=CED+60=60+60=120.DOE=180-（ADE+BED）=60.,（3）证明：ACDBCE，CAD=CBE，AD=BE，AC=BC.又点M，N分别是线段AD，BE的中点，AM=AD，BN=BE.AM=BN.在ACM和BCN中，ACBC，CAMCBN，AMBN，ACMBCN(SAS).CM=CN，ACM=BCN.又ACB=60，ACM+MCB=60.BCN+MCB=60.MCN=60.MNC是等边三角形,
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