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17.2 勾股定理的逆定理1.勾股定理的逆定理及其作用.2.什么是互逆命题.3.什么是互逆定理.4.能灵活运用勾股定理的逆定理解决实际问题.自学指导：阅读课本31页至33页，完成下列问题.知识探究1.古埃及人画直角的方法是：在一根绳子上打上等距离的13个结，然后以3个结、4个结、5个结的长度为边长，然后用木桩钉成一个三角形，其中一个角是直角.2.互逆命题：在一对命题中，第一个命题的题设恰好为第二个命题的结论，而第一个命题的结论恰好是第二个命题的题设，像这样的两个命题叫做互逆命题.我们把其中一个叫做原命题，那么另一个就叫做它的逆命题.3.如果一个定理的逆命题经过证明是正确的，那么它也是一个定理，这两个定理为互逆定理.4.勾股定理是：如果直角三角形的两直角边长分别为a、b，斜边为c，那么a2+b2=c2.它的逆定理是：如果三角形的三边长a、b、c满足a2+b2=c2；那么这个三角形是直角三角形.5.能够成为直角三角形三条边长的三个正整数，称为勾股数(或勾股弦数).自学反馈1.说出下列命题的逆命题，并判断它们是否正确.(1)原命题：猫有四只脚.()逆命题：有四只脚的是猫.()(2)原命题：对顶角相等.()逆命题：相等的角是对顶角.()(3)原命题：线段垂直平分线上的点，到这条线段两端的距离相等.()逆命题：到线段两端距离相等的点，在这条线段的垂直平分线上.()(4)原命题：角平分线上的点，到这个角的两边的距离相等.()逆命题：在角的内部到角两边距离相等的点，在这个角的平分线上.() 任何一个命题都有逆命题；原命题正确，逆命题不一定正确，原命题不正确，逆命题可能正确.2.下面以a、b、c为边长的三角形是不是直角三角形？如果是，那么哪一个角是直角？(1)a=25 b=20 c=15解：是；A=90(2)a=13 b=2 c=15解：不是(3)a=1 b=2 c=解：是；B=90(4)abc=345解：是；C=90 根据勾股定理逆定理，判断一个三角形是不是直角三角形，只要看两条较小线段的平方和是否等于最大边长的平方.大边对的是大角，即大边对的角是直角.活动1 小组讨论例1 证明：勾股定理的逆定理.已知：ABC的三边长分别为a、b、c，且满足a2+b2=c2；求证：ABC是直角三角形.证明：画一个直角三角形ABC，使BC=a，AC=b,C=90.在RtABC中，AB2=BC2+AC2=a2+b2,又a2+b2=c2,AB=c.在ABC和ABC中，BC=a=BC；AC=b=AC；AB=c=AB,ABCABC.C=C=90,即ABC是直角三角形.例2 判断由线段a、b、c组成的三角形是不是直角三角形.(1)a=15，b=8，c=17； (2)a=13，b=14，c=15.解：(1)因为152+82=225+64=289,172=289,所以152+82=172，这个三角形是直角三角形.(2)因为132+142=169+196=365,152=225,所以132+142152，这个三角形不是直角三角形.例3 某港口位于东西方向的海岸线上，“远航”号、“海天”号轮船同时离开港口，各自沿一固定方向航行，“远航”号每小时航行16海里，“海天”号每小时航行12海里，他们离开港口一个半小时后相距30海里，如果知道“远航”号沿东北方向航行，能知道“海天”号沿那个方向航行吗？分析：我们根据题意画出图，可以看出由于“远航”号的航向已知，如果求出两艘船的航向所成的角，就能知道“海天”号的航向了.解：根据题意，画图如下PQ=161.5=24，PR=121.5=18，QR=30.242+182=302，即PQ2+PR2=QR2，QPR=90.由“远航”号沿东北方向航向可知，QPS=45,所以SPR=45，即“海天”号沿西北方向航行.活动2 跟踪训练1.如果三条线段长a、b、c满足a2=c2-b2，这三条线段组成的三角形是不是直角三角形？为什么？解：是.因为a2=c2-b2a2+b2=c2，由勾股定理的逆定理判断是直角三角形.2.以下各组数为边长，能组成直角三角形的是( C ) A.5，6，7 B.10，8，4 C.7，25，24 D.9，17，153.以下面各组正数为边长，能组成直角三角形的是( C ) A.a-1，2a，a+1 B.a-1，2，a+1 C.a-1，2，a+1 D.a-1，a，a+14.说出下列命题的逆命题，这些命题的逆命题成立吗？ (1)两直线平行，内错角相等. (2)如果两个实数相等，那么它们的绝对值相等. (3)全等三角形的对应角相等. (4)等腰三角形的底角相等.解：(1)内错角相等，两直线平行. (2)如果两个数的绝对值相等，那么这两个数也相等. (3)对应角相等的三角形全等. (4)底角相等的三角形是等腰三角形.5.古希腊的哲学家柏拉图曾指出，如果m表示大于1的整数，a=2m，b=m2-1，c=m2+1，那么a、b、c为勾股数.你认为对吗？如果对，你能利用这个结论得出一些勾股数吗？解：对.因为a2+b2=(2m)2+(m2-1)2=4m2+m4-2m2+1=m4+2m2+1=(m2+1)2,而c2=(m2+1)2,所以a2+b2=c2,即a、b、c是勾股数.m=2时，勾股数为4、3、5；m=3时，勾股数为6、8、10；m=4时，勾股数为8、15、17.6.欲登12米高的建筑物，为安全需要，需使梯子底端离建筑物5米，至少需多长的梯子？解：在RtABC中，AB2=AC2+BC2=122+52=169.132=169,AB0,AB=13.至少需要13米的梯子.活动3 课堂小结1.勾股定理的逆定理.2.互逆命题.3.互逆定理.4.勾股数.5.勾股定理的应用:(1)判断三角形的形状.(2)用于求角度.(3)用于求边长.(4)用于求面积.(5)用于证垂直.4
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