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第十一章三角形1.理解三角形及三角形的有关线段(边、高、中线、角平分线)的概念,证明三角形两边的和大于第三边,了解三角形的重心的概念,了解三角形的稳定性.2.理解三角形的内角、外角的概念,探索并证明三角形内角和定理,探索并掌握直角三角形的两个锐角互余,掌握有两个角互余的三角形是直角三角形,掌握三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和.3.了解多边形的相关概念(边、内角、外角、对角线、正多边形),探索并掌握多边形的内角和与外角和公式.1.在学习三角形的有关线段时,要掌握好三角形的高、中线、角平分线的定义,最主要的是它们的性质以及利用它们解决实际问题.2.三角形的内角和是学生学过的知识,可以借助复习旧知识,达到学生学习新知识的目的,不仅起到复习的作用,也可以灵活地掌握好新知识.3.掌握多边形内角和的公式,并能利用它解决有关多边形的问题.4.指导学生掌握好多边形内角和与外角和之间的联系,并能利用它们解决一些数学问题.1.三角形的这部分知识在小学阶段已经学习,通过复习,可提高学生的学习兴趣,也可增加学生学习的自信心.2.在教学中,通过同学之间的互相提问,小组的交流、研讨,提高同学们的合作精神.3.在学习多边形的内外角和中,通过一些实物的图片,感知到数学来源于实际,也应用于实际.三角形是一种基本的几何图形,是构建多边形知识体系的基础,也是学习各种特殊三角形,如等腰三角形、直角三角形与平行四边形等图形知识的基础,在解决实际问题中有着广泛的应用.本章在线段与角、相交线与平行线的基础上介绍三角形的概念与性质,进而研究多边形的概念与性质.在本章中,学生将进一步学习通过推理得出数学结论的方法,提高推理能力.本章首先介绍三角形的有关概念和性质,分为三节:11.1节研究与三角形有关的线段.首先结合引言中的实际例子给出三角形的概念,进而研究三角形的分类.对于三角形的边,证明了三角形两边的和大于第三边,然后给出三角形的高、中线与角平分线的概念,同时结合三角形的中线介绍了三角形的重心概念,最后结合实际例子介绍三角形的稳定性.11.2节研究与三角形有关的角.对于三角形的内角,证明了三角形内角和定理;然后由这个定理推出直角三角形的性质“直角三角形的两个锐角互余”;最后给出三角形的外角的概念,并由三角形内角和定理推出“三角形的外角等于与它不相邻的两个内角的和”.11.3节接着介绍多边形的有关概念与多边形的内角和、外角和公式.三角形是多边形的一种,本章借助三角形介绍多边形的有关概念,如多边形的边、内角、外角、内角和都由三角形的有关概念推广而来.【重点】1.掌握好三角形的高、中线、角平分线的定义,并能画出这三种线段.2.知道三角形具有稳定性,并能利用这种性质解释生活中的一些现象.3.知道三角形及多边形的内角和计算方法与外角和度数,并能利用它们求解出有关三角形度数的问题.【难点】1.对于钝角三角形的三条高线,能准确画出.2.能利用多边形的内角和公式或外角和,求解出有关多边形的问题,如求边数、角度等问题.3.能解决有关三角形及多边形的综合性问题.在认识三角形的过程中,要注意让学生理解三角形的基本元素和各类三角形的特征,要鼓励学生自主探索,大胆猜想,让学生通过剪一剪、拼一拼、做一做等活动探索发现有关结论.与三角形有关的一些概念在本章中只要求达到理解的程度,进一步要求可通过后续学习达到.如对于三角形的角平分线,在本章中只要知道它的定义,能够从定义得出角相等就可以了.学生画角平分线时发现三条角平分线交于一点,可直接肯定这个结论,同样,三角形的三条中线交于一点的结论也可直接点明.要让学生在操作的过程中探索三角形的内角和与外角和.对于三角形的稳定性,要让学生通过实践去感受;待以后学过“三边分别相等的两个三角形全等”,可进一步明白其中的道理.对于多边形的内角和与外角和,要让学生在观察和类比中总结结论,培养学生的数学推理能力,做到合情推理和演绎推理的有机结合.镶嵌作为数学活动的内容安排在本章的最后,学习这个内容要用到多边形的内角和公式,通过这个数学活动,学生可以经历从实际问题抽象出数学问题,建立数学模型,综合应用已有知识解决问题的过程,从而加深对相关知识的理解,提高思维能力.11.1 与三角形有关的线段11.1.1三角形的边(1课时)11.1.2三角形的高、中线与角平分线(1课时)11.1.3三角形的稳定性(1课时)3课时11.2与三角形有关的角11.2.1三角形的内角(2课时)11.2.2三角形的外角(1课时)3课时11.3多边形及其内角和11.3.1多边形(1课时)11.3.2多边形的内角和(1课时)2课时单元复习1课时11.1与三角形有关的线段1.能正确地利用三角形的三边关系,判断所给的三条线段能否组成三角形.2.掌握好三角形的高、中线、角平分线的定义,能画出这三条线段,并能灵活准确地应用这三条线段的性质解决问题.3.掌握好三角形的稳定性在实际生活中的运用.1.经历摆三角形,画三角形、测量三角形的三边长度的过程,培养学生自主、合作、探索的学习方式,并锻炼其发现问题、提出问题、分析问题和解决问题的能力.2.在学习三角形的稳定性时,可结合实际情况,让学生感受到数学与生活实际的联系.3.三角形的重心在教学中可结合实际物体,让学生通过观察与实践找到物体重心.联系学生的生活环境,创设情景,使学生通过观察、操作、交流、归纳,获得必需的数学知识,让学生体会用数学思想方法解决生活中的实际问题的意义,激发学生的学习兴趣.【重点】1.三角形三边关系和高、中线、角平分线的运用.2.三角形稳定性的应用.【难点】1.在具体的图形中不重复且不遗漏地识别所有三角形.2.用三角形三边不等关系判定三条线段可否组成三角形.3.钝角三角形高的画法.11.1.1三角形的边1.掌握三角形的定义,并能正确地表示出三角形,以及三角形的边、角、顶点等表示方法.2.能正确地进行三角形的分类.3.掌握三角形的三边关系,并能利用此关系判定已知三条线段能否构成三角形.1.通过复习以前的知识,让学生更加容易接受新知识,并能提高学习的积极性,增加学习数学的信心.2.在讲解三角形的分类时,可结合图形,让同学们更直观地接受新知识.3.在利用三角形的三边关系解答问题时,要注意让学生有分类讨论的思想,这也是数学思想中的一个很重要的思想.1.通过三角形三边关系的教学,培养学生的探索精神及分类讨论的思想.2.通过本课的教学,能够让学生们知道数学知识体系的连贯性及继承性.3.在教学的过程中,培养学生勇于探索,敢于质疑的精神.【重点】掌握三角形的分类及三角形的三边关系.【难点】利用三角形的三边关系解答综合性问题.【教师准备】三根有刻度的小棒.【学生准备】有刻度的直尺.导入一:同学们,你们看这个图案美丽吗?这个图案主要是由什么图形构成的?(学生议论后)我们本节课要继续学习三角形的相关知识.导入二:(老师拿出三根不能拼成三角形的小棒)同学们请看,老师手中的三根小棒能首尾相搭组成一个三角形吗?设计意图学生此时对三角形三边关系的认识还是粗浅的,容易误认为任意长度的三根小棒都能按照要求拼出三角形.同时老师强调首尾相搭,也暗示了对三角形定义的启发,这就为学生认识和探索三角形三边关系做了铺垫.过渡语在小学的时候,我们仅仅是从形状和角的方面去认识了三角形.如果有人问,什么是三角形?三角形又怎么表示呢?你能做出回答吗?希望大家在接下来的学习中能够解决这些问题.一、三角形的相关概念1.三角形的概念.【学生活动一】(1)在一张纸上任意画三条线段;(2)在同一条直线上任意画三条线段.【问题思考】任意画的三条线段都能组成三角形吗?怎样才能组成一个三角形?设计意图帮助学生初步领会构成三角形的基本条件之一,即不在同一条直线上的三条线段才能组成三角形.【学生活动二】判断下列由三条线段组成的图形是不是三角形.设计意图三角形概念的获得,要让学生经历其描述的过程,借此培养学生的语言表述能力,加深学生对三角形概念的理解.三角形定义:由不在同一直线上的三条线段首尾顺次相接所组成的图形叫做三角形.知识拓展 三角形的特征:三条线段;不在同一条直线上;首尾顺次相接.这三点表明三角形是一个封闭的图形.2.三角形的表示方法.“三角形”可用符号“”表示,如图所示,顶点(相邻两边的公共端点叫做三角形的顶点)是A,B,C的三角形,记作ABC,读作“三角形ABC”.A,B,C是ABC的三个角(相邻两边组成的、位于三角形内部的角叫做三角形的内角,简称三角形的角);ABC的三边(组成三角形的线段叫做三角形的边)分别是AB,BC,CA,有时也可用小写字母来表示,顶点A,B,C所对的边分别可用a,b, c来表示,即AB可用c表示,BC可用a表示,CA可用b表示.二、三角形的分类过渡语三角形的形状多种多样,对多种多样的三角形,怎样进行分类呢?思路一【生】锐角三角形,钝角三角形,直角三角形.【师】刚才大家的分类是按照三角形角的特点划分的,大家还有什么别的分类方法吗?【生】可以按照三角形的边长进行分类.【师】是根据不同的三角形边的长度进行分类,还是同一个三角形的边长特点进行分类?【生】在同一个三角形之内.【师】按照边长进行分类,你想的分类标准是什么呢?【生】根据是否有相等的边.【师】按照这种分类方法,可以把三角形分为哪两大类?【生】三边都不相等的三角形和等腰三角形.【师】在等腰三角形中,什么样的边是腰呢?等腰三角形的边和角有什么特殊的称呼吗?【生】在等腰三角形中,相等的两边都叫做腰,另一边叫做底边,两腰的夹角叫做顶角,腰和底边的夹角叫做底角.【师】按照有没有相等的边对三角形进行分类,等边三角形应该划到哪一类当中?【生】等腰三角形.【师】根据刚才的讨论,大家整理下三角形的分类吧!设计意图三角形的分类,在小学阶段已经学习过,只不过是比较浅显的内容,所以这里在复习以前知识的基础上进一步深入,特别要强调的是等边三角形是特殊的等腰三角形.思路二过渡语我们知道,按照三个内角的大小,可以将三角形分为锐角三角形、直角三角形和钝角三角形,如果要按照边的大小关系对三角形进行分类,又应该如何分呢?小组之间进行交流,并说说你们的想法.【师生活动】通过讨论,学生类比按角的分类方法按边对三角形进行分类,接着引出等腰三角形及等边三角形的概念,引导学生了解等腰三角形与等边三角形的联系,强化学生对三角形按边分类的理解.在等腰三角形中,相等的两边都叫腰,另一边叫底,两腰的夹角叫顶角,腰与底边的夹角叫底角.三角形按边分类:三设计意图通过这一活动的设计,提高学生分类讨论和归纳概括的能力,加深学生对三角形按边分类的理解.三、三角形三边之间的关系过渡语我们在前面把三角形按照边进行分类,其实也是在研究三角形的三边关系.现在我们换个角度,研究三角形两条边的和与第三条边的关系.探究一:三角形两边之和与第三边之间的关系.【情境引入】如右图三角形中,假设你要从点B出发沿着三角形的边到点C,有几条路线可选择?各条路线的长一样吗? 【师生活动】引导学生讨论分析,得到两条路线:(1)B直接到C,即BC.(2)先由B到A再到C,即BA+AC.显然,路线(1)中的BC要短一些,即BCBA+AC.(为什么?一定要学生给出依据:两点之间线段最短)最后,师生共同得到:BCAB+AC ,ACAB+BC ,ABBC+AC,即“三角形的两边之和大于第三边”.设计意图分成三种情况验证三角形任意两条边和与第三边之间都存在着这种关系,加深学生对三边关系具有普遍性的认识.探究二:三角形两边的差和第三边之间的关系.过渡语三角形的两边的差和第三边又是什么关系呢?【质疑1】用测量的方法验证三角形两边之差和第三边的长度关系可以吗?这个办法有说服力吗?【简评】可以,但不能做到一一验证,还有不足以让人信服的地方.【质疑2】是不是三角形任意两边的差都小于第三边?【简评】在ABC中,BCAB+AC,ACAB+BC, ABAB-AC, BCAC-AB,这就是说,三角形两边的差小于第三边.设计意图引导学生用推导的方法验证相关的结论,事实上探究二是对探究一的进一步深化,培养学生严密思维的习惯.过渡语学习了三角形三边之间的关系问题,我们就可以利用它解决一些生活实际问题.(教材例题)用一条长为18 cm的细绳围成一个等腰三角形.(1)如果腰长是底边长的2倍,那么各边的长是多少?(2)能围成有一边的长为4 cm的等腰三角形吗?为什么?解析(1)设底边长为x cm,则腰长为2x cm,根据周长列出一元一次方程,解方程即可求得各边的长;(2)题中没有指明4 cm是底边长还是腰长,故应该分情况进行分析,同时注意利用三角形三边关系进行检验.解:(1)设底边长为x cm,则腰长为2x cm.2x+2x+x=18,解得x=3.6.所以三边长分别为3.6 cm ,7.2 cm,7.2 cm.(2)当4 cm为底边长时,腰长为7 cm,任意两边之和都大于第三边,故可以构成三角形.当4 cm为腰长时,底边长为18-4-4=10(cm),4+4c,根据不等式的基本性质,得c-ba,即三角形两边之差小于第三边.三角形三边关系的作用:(1)已知三角形两边,求第三边的取值范围.(2) 判断三条线段能否组成三角形.(3)利用三角形三边关系解决含绝对值符号的化简问题.已知三角形一边长为5,另一边长为3,求第三边长c的取值范围.解:因为5-3c5+3,即2c8,所以第三边长c的取值范围是2c4,而三条线段d=2 cm,e=3 cm,f=5 cm就不能组成三角形,因为2+3=5.解题策略一般地,判断三条线段能否组成一个三角形时,只需判断两条短的线段之和是否大于最长的线段即可,无需再从任意两边之和大于第三边的角度进行判断.1.由不在同一条直线上的三条线段首尾顺次相接所组成的图形叫做三角形.2.三角形的分类:三边都不相等的三角形和等腰三角形.3.在一个三角形中,两边之和大于第三边,两边之差小于第三边.注意:三角形任意两边和与第三边的关系不包括等于这种关系.等边三角形也是等腰三角形,等腰三角形的范围要大于等边三角形,且包含等边三角形.1.下列各组数可能是一个三角形的边长的是()A.1,2,4B.4,5,9C.4,6,8D.5,5,11解析:以最长边为第三边,看其他两边之和是否大于最长边,若大于则能构成三角形;若小于或等于则不能构成三角形.1+28,4,6,8能构成一个三角形的三边长;5+511,5,5,11不可能构成一个三角形的三边长.故选C.2.如果一个三角形的两边长分别是2和4,则第三边长可能是()A.2B.4C.6D.8解析:本题考查了三角形的三边关系.选项A中2+2=4,不能构成三角形;选项C中2+4=6,不能构成三角形;选项D中2+48,不能构成三角形;只有选项B能构成三角形.本题也可以根据三角形的三边关系先确定第三边长x的取值范围是2x6,然后直接选择B.故选B.3.有长为3 cm,6 cm,8 cm,9 cm的四条线段,任选其中的三条线段组成一个三角形,则最多能组成三角形的个数为()A.1B.2C.3D.4解析:组成的三角形的情况是:3,6,8;3,8,9;6,8,9三种情况.注意只要两条较短的线段长度之和大于第三条线段的长度,即可判定这三条线段能构成一个三角形.三角形的三边关系一般和不等式(组)联系,甚至涉及分类讨论的思想方法.故选C.11.1.1三角形的边一、三角形的相关概念二、三角形的分类三、三角形三边之间的关系探究一:三角形两边之和与第三边之间的关系探究二:三角形两边的差和第三边之间的关系一、教材作业【必做题】教材第4页练习第1,2题.【选做题】教材第8页习题11.1第1,2题.二、课后作业【基础巩固】1.下列每组数分别表示三根木棒的长度,将它们首尾连接后,能摆成三角形的一组是()A.1,2,6B.2,2,4C.1,2,3D.2,3,42.一个三角形的三条边长分别为1,2,x,则x的取值范围是()A.1x3B.1x3C.1x3D.1x33.以下列各组线段的长为边长,能组成三角形的是()A.2 cm,3 cm,4 cmB.2 cm,3 cm,5 cmC.2 cm,5 cm,10 cmD.8 cm,4 cm,4 cm4.如果三角形的两边长分别为3和5,第三边长是偶数,则第三边长可以是()A.2B.3C.4D.85.一个等腰三角形的两边长分别为2.5和5,求这个三角形的周长.【能力提升】6.已知一个三角形的两边长分别是4 cm,7 cm,则这个三角形的周长的取值范围是什么?7.在三角形ABC中,如果AB=3x,AC=4x,BC=21,那么x的取值范围是多少?【拓展探究】8.已知a,b,c分别为三角形ABC的三边长,化简:|a+b-c|-|b-c-a|-|c-a+b|.【答案与解析】1.D(解析:A选项,1+24,能构成三角形.故选D.)2.D(解析:已知三角形两边的长分别是1和2,第三边长x的范围是1x4,2 cm,3 cm,4 cm长的线段能组成三角形,选项A正确;2+3=5,2 cm,3 cm,5 cm长的线段不能构成三角形,选项B错误;2+55,两边之和大于第三边,所以能构成三角形.所以三角形的周长为2.5+5+5=12.5.6.解:根据构成三角形的条件得:第三边长的范围为 3 cm第三边长11 cm,则此三角形的周长范围是14 cm周长21,且4x-3x21,可解得3xc,则a+b-c0;ba+c,则b-a-ca,则c-a+b0.根据正数的绝对值等于它的本身,负数的绝对值等于它的相反数,得原式=a+b-c-(b-a-c)-(c-a+b)=a+b-c+b-a-c-c+a-b=a+b-3c.本课是由日常生活情景引入的,这样有利于增强学生的学习兴趣,也能让学生知道数学来源于实际,又反作用于实际.本节的重点与难点均是三角形的三边关系,要求学生能利用此定理判定所给的三条线段能否组成三角形,如果老师直接给出定理,学生的理解会不深.教案的设计思路是让学生通过自己的思考得出结论,不是直接去接受结论,而是让学生亲自实践,这样既增强了学生的动手能力,也能让他们更加深刻地理解三角形三边关系定理:三角形两边的和大于第三边,两边的差小于第三边,还能让他们在解答问题时,更加游刃有余.在刚开始阶段引入三角形的定义时,学生在画三条线段的环节中,应该对所画的线段提出不同的要求,这样更有利于学生给三角形做出严密的定义.还有此处应该添加一些简单的练习,让学生即时练习,能让他们更加深刻地接受三角形的有关定义,并能熟练地运用它们,为后续的学习打下良好的基础.在引入三角形的定义时,要更加严谨,如“由不在同一条直线上”这句话,老师要让学生思考这样说的原因,另外在定义教学后,即时给出一些练习,让学生巩固所学的知识,在讲解三角形的分类时,也要这样,给出些练习,让学生巩固,并加深对它们的理解.在讲解三角形的三边关系时,可让学生自己也准备一些这样的带刻度的小棒,让每一位学生都参与进来,这次参与的学生少,只起到演示的作用了,还是多多给学生参与的机会为好.练习(教材第4页)1.解:图中有5个三角形,分别是ABC,BCD,BCE,ABE,CDE.2.解:(1)不能组成三角形,因为3+48,即两条线段的和小于第三条线段,所以不能组成三角形.(2)不能组成三角形,因为5+6=11,即两条线段的和等于第三条线段,所以不能组成三角形.(3)能组成三角形,因为任意两条线段的和都大于第三条线段.中学数学学习的是数学学科的基础知识,而数学作为研究数量关系和空间形式的科学,是人们实践中出现的种种数学现实的反映,也是人们不断研究、创造的知识体系,是人们在各类科研和生产实践中的有力工具,具有广泛的应用性.数学教学必须重视揭示数学与客观现实的密切联系,揭示数学结论的真理性和真实性,揭示数学理论是怎么从现实世界中得到并不断发展的,必须重视数学知识体系的条理性、逻辑性,也应该重视数学在实践中的巨大作用.长为9,6,5,4的四根木条,选其中三根组成三角形,选法有()A.1种B.2种C.3种D.4种解析四根木条中的三根的所有组合:9,6,5;9,6,4;9,5,4;6,5,4.根据三角形的三边关系,得能组成三角形的有9,6,5;9,6,4和6,5,4.故选C.方法指导要把四根木条中的三根的所有组合列出来,再根据三角形的三边关系判断能组成三角形的组数.11.1.2三角形的高、中线与角平分线1.让学生了解三角形的高、中线、角平分线等有关概念.2.掌握任意三角形的高、中线、角平分线的画法.3.能利用三角形的高、中线、角平分线的性质解决问题.1.经历画、折等实践操作活动过程,发展学生的空间观念、推理能力及创新精神.2.学会用数学知识解决实际问题,发展应用和自主探究意识,并培养学生的动手实践能力.1.鼓励学生主动参与,感受成功的乐趣,体验几何知识在现实生活中的真实性,激发学生热爱生活、勇于探索的思想感情.2.通过对问题的解决,使学生有成就感,培养学生的合作精神,树立学好数学的信心.【重点】1.了解三角形的高、中线与角平分线的概念,会用工具准确地画出三角形的高、中线与角平分线.2.了解三角形的三条高、三条中线与三条角平分线所在直线分别交于一点.【难点】1.三角形的角平分线与角平分线的区别,三角形的高与垂线的区别.2.钝角三角形高的画法.3.不同的三角形三条高的位置关系.【教师准备】三角板、直尺、量角器、本节课的课件.【学生准备】三角板、直尺、量角器、三角形纸片.导入一:如下图,图中右侧支撑太阳能电池板的三角形支架有多高呢?这就涉及我们本节课所学的三角形高的问题.导入二:同学们,我们以前学习过了“过一点画已知直线的垂线”,谁能说一说是怎样画的?(同学们纷纷发言,老师可让几名同学到黑板上演示一下,然后让其他学生都拿出本来,过一点画已知直线的垂线,注意画法的规范性)你们知道过三角形的一个顶点如何画三角形的高吗?这节课我们就来研究这个问题.(老师书写板书)设计意图本节的知识与以前学习过的“过一点画已知直线的垂线”的画法有着非常大的联系,此导入不仅复习了旧知识,也能对以后要学习的三角形的高起到预热的作用.导入三:(1)复习提问三角形的定义.(由三条线段首尾相接组成的图形) (2)三角形的面积公式是什么?S=ah.(3)你还记得三角形的高是怎么作出来的吗?引出课题.设计意图直接从学生已有的知识出发,既达到了复习旧知识的目的,也引入了本节的内容,此设计自然、简捷.过渡语过三角形的一个顶点,你能画出它的对边的垂线吗?(引出三角形的高)一、 三角形的高【学生活动一】让学生动手画出一个锐角三角形的高,然后找学生描述三角形的高的画法与定义.设计意图借助学生对问题的解决,唤醒学生对三角形的高的认识,有助于新知识的理解,并且发展学生的观察力与语言表述能力.(教师总结三角形的高的定义并板书)从三角形的一个顶点向它的对边所在直线作垂线,顶点和垂足之间的线段叫做三角形的高线,简称为三角形的高.如图所示,在ABC中,ADBC,点D是垂足,所以AD是ABC的一条高.引导学生注意垂直符号的书写.过渡语现在同学们已经会画三角形的高了,用折纸的方法也可作出三角形的高,快拿出你们的三角形纸片,动手做一做.【学生活动二】让学生拿出事先准备好的三角形纸片,用直尺与三角板作出这个三角形的三条高,然后用折纸的方法,观察这三条高的位置关系,你有什么发现?如果已知三角形的一条高,你知道它是哪一条边上的高吗?设计意图同学们动手作出三角形的高,既培养了他们的动手操作能力,也能很方便地观察到三角形的高相交于一点的事实.【师生共同总结】锐角三角形的三条高相交于一点,此点在锐角三角形的内部.如图所示. 过渡语锐角三角形的高我们可以画出了,现在试试直角三角形的高怎么画.【学生活动三】在纸上画出一个直角三角形或通过折纸的方法,画出它的三条高,它们有怎样的位置关系?将你的结果与同桌进行交流.设计意图通过同学们自己动手探索、研讨,可以使他们对直角三角形的三条高有更深刻的认识,并提高同学们的合作意识.【师生共同总结】直角三角形的三条高交于一点,即是直角三角形的直角顶点.如图所示. 过渡语就差钝角三角形的高了,同学们快试试吧!【学生活动四】画一个钝角三角形,让学生尝试画出它的三条高,或通过折纸的方法找到它的三条高.观察三条高,看它们有什么样的位置关系.为强调作图,可进行投影.将BC与顶点A调节成闪烁的效果,且把底边用虚线延长,引导学生自己作出不同三角形的高.在同学们发现作一条高时,一条边不够长的时候,教师要提示学生们,可以把所在边的线段进行延长.设计意图钝角三角形的三条高,对同学们来说,画法是一个难点,为了突破难点,把幻灯片中的边与对应顶点调节成闪烁的效果,且把底边用虚线延长,帮助同学们画出外面的两条高线.【师生共同总结】钝角三角形的三条高中,有两条在外面,一条在内部,且它们所在直线交于一点. 如图所示.表述:如图,因为AD是ABC的高(已知),所以ADBC于D(或ADB=ADC=90).因为ADBC于D(或ADB=ADC=90)(已知),所以AD是ABC的边BC上的高.(高的定义)知识拓展钝角三角形、锐角三角形、直角三角形都有三条高.锐角三角形的三条高在三角形的内部,相交于一点;直角三角形有两条高与直角边重合,另一条高在三角形内部,它们的交点是直角顶点;钝角三角形有两条高在三角形的外部,一条高在三角形内部,三条高不相交,但三条高所在的直线相交于三角形外一点.二、三角形的中线过渡语你能画一条线将三角形的面积平分吗?(学生思考,尝试,引出定义)下面我们就引入三角形的另一条特殊的线段三角形的中线.思路一【学生活动一】学生们动手画图,之后同桌之间研讨,并且要同学们说出所画出的线的特点?为什么它就能把三角形分成面积相等的两部分呢?它是线段吗?【师生共同总结】三角形中线的定义:连接三角形顶点和对边中点的线段叫做三角形的中线.设计意图让同学们自己动脑思考,这样得出的结论,学生印象更深刻,对于知识的理解与掌握更全面.【学生活动二】让学生任意画出一个三角形,画出这个三角形的三条中线,然后分析这三条中线的位置关系,同桌之间互相研讨.(老师可多让几名同学发言,分别指出他们画出的是什么样的三角形,这样三角形的任意性就有了)【师生共同总结】任意三角形的三条中线都交于一点,三角形三条中线的交点叫做三角形的重心.设计意图让同学们自己得出三角形的三条中线交于一点的结论,并且在与同桌的研讨中,体验学习的乐趣与分享的快乐.思路二指导学生阅读教材第45页的内容,思考如下问题:(1)什么是三角形的中线?(2)三角形的中线有几条?(3)三角形的三条中线是否相交于一点?(4)什么是三角形的重心?(5)一块三角形的玻璃,利用圆规的尖脚,你能让三角形玻璃平衡在圆规上面吗?表述:如图,AD是ABC的边BC上的中线(已知),所以BD=DC=BC或BC=2BD=2DC或D为BC的中点. 因为BD=DC=BC或BC=2BD=2DC或D为BC的中点(已知),所以线段AD为BC上的中线(中线定义).知识拓展(1)一个三角形有三条中线,并且都在三角形内部,相交于一点.(2)三角形的中线是一条线段.(3)三角形的一条中线把三角形分成面积相等的两个三角形.三、三角形的角平分线过渡语三角形中除了三角形的高,三角形的中线之外还有没有特殊的线段呢?答案是肯定的,还有一类线段就是三角形的角平分线.角的平分线同学们都已经会画了,那你能不能画出一个三角形的三个角的平分线呢?同学们快动手试试吧!【学生活动】同学们先画出一个任意三角形,分别画出一个三角形中的三个角的平分线,同时观察这三条角平分线的位置有哪些特点.(要提醒学生三角形形状的多样性,同时要注意作图的规范性,可用量角器量)【师生共同总结】三角形的角平分线定义:连接三角形顶点与该顶点内角平分线与对边交点的线段叫三角形的角平分线.(最后老师要强调三角形的角平分线是三条线段,而一个角的平分线是一条射线)设计意图通过与以往角的平分线的画法比较,学生会比较容易接受此定义,既复习了旧知识,也能促进对新知识的理解. 表述:如图,因为BD是ABC的角平分线(已知),所以ABD=CBD=ABC. 因为ABD=CBD或CBD=ABC,或ABD=ABC(已知),所以线段BD是ABC的角平分线.(三角形的角平分线定义)知识拓展(1)一个三角形有三条角平分线,并且都在三角形内部,相交于一点.(2)三角形的角平分线是线段,而角的平分线是一条射线.如图,等腰三角形ABC中,AB=AC,一腰上的中线BD将这个等腰三角形的周长分成15和6两部分,求这个三角形的腰长及底边长. 解析由题意可知,中线BD将ABC的周长分成AB+AD和BC+CD两部分(注意不是AB+AD+BD和BC+CD+BD两部分),故有两个可能:(1)AB+AD=15且BC+CD=6;(2)AB+AD=6且BC+CD=15.再由AB=AC=2AD=2CD及三角形三边关系知(1)成立,(2)不成立.解:设AB=AC=2x,则AD=CD=x.(1)当AB+AD=15,BC+CD=6时,有2x+x=15,所以x=5,2x=10,BC=6-5=1.(2)当AB+AD=6,BC+CD=15时,有2x+x=6.所以x=2,2x=4,所以BC=13.因为4+413,所以不能组成三角形.答:三角形的腰长为10,底边长为1.解题策略涉及等腰三角形边的问题时,常要分情况讨论,然后看它们是否满足三边关系,不满足的要舍去.知识拓展(1)三角形三条高线所在直线交于一点,这一点常被称为这个三角形的垂心.(2)三角形三条中线交于三角形内的一点,这一点叫做三角形的重心,取一块质地均匀的三角形木板,用手指向上顶住三角形重心,木板会保持平衡.(3)三角形三条角平分线交点在三角形内部,它被称为三角形内心.1.三角形的高、中线、角平分线都是线段.2.三角形的高(所在直线)、中线、角平分线都相交于一点,钝角三角形的高线所在直线相交于三角形外一点.1.如果一个三角形的三条高的交点恰好是三角形的一个顶点,那么这个三角形是()A.锐角三角形B.钝角三角形C.直角三角形D.等边三角形解析:锐角三角形三条高交于三角形的内部,钝角三角形三条高所在直线交于三角形外部,只有直角三角形的高的交点在直角顶点.故选C.2.在ABC中,已知点D,E,F分别是BC,AD,CE的中点,且SABC=4 cm2,则SAEF的值为()A.2 cm2B.1 cm2C. cm2D. cm2解析:利用中线平分三角形的面积来做.故选C.3.如图所示,在ABC中,D,E是BC,AC上的两点,连接BE,AD交于F. (1)图中有几个三角形?并表示出来.(2)BDF的三个顶点是什么?三条边是什么?(3)AB边是哪些三角形的边?(4)F点是哪些三角形的顶点?解:(1)图中共有8个三角形,分别是BDF,BDA,BFA,AEF,AEB,ADC,BCE,ABC.(2)BDF的三个顶点是B,D,F,三条边是BD,DF,BF.(3)AB边是ABF,ABD,ABE,ABC的边.(4)F点是BDF,ABF,AEF的顶点.4.在ABC中,AB=AC,AC上的中线BD把三角形的周长分为24和30两个部分,求三角形的三边长.解析:分两种情况讨论:AB+AD=30,BC+DC=24或AB+AD=24,BC+DC=30,所以根据等腰三角形的两腰相等和中线的性质可求得三边长.解:设三角形的腰AB=AC=x,若AB+AD=24,则:x+x=24,所以x=16.又三角形的周长为24+30=54,所以三边长分别为16,16,22.若AB+AD=30,则:x+x=30,所以x=20.因为三角形的周长为24+30=54,所以三边长分别为20,20,14.因此,三角形的三边长为16,16,22或20,20,14.11.1.2三角形的高、中线与角平分线一、三角形的高二、三角形的中线三、三角形的角平分线一、教材作业【必做题】教材第5页练习第1,2题.【选做题】教材第8页习题11.1第3,4题.二、课后作业【基础巩固】1.下面判断正确的有( )平分三角形内角的射线是三角形的角平分线;三角形的中线、角平分线、高都是线段;一个三角形有三条角平分线和三条中线;直角三角形只有一条高;三角形的中线、角平分线、高都在三角形的内部.A.2个B.3个C.4个D.5个2.如图所示,在ABC中,D是BC边上的任意一点,AHBC于H.图中以AH为高的三角形个数为() A.3个B.4个C.5个D.6个3.如图所示,下列说法正确的是()A.如图甲,由AB,BC,DE三条线段组成的图形是三角形B.如图乙,已知BAD=CAD,则射线AD是ABC的角平分线C.如图丙,已知点D为BC边上的中点,则射线AD是ABC的中线D.如图丁,已知ABC中,ADBC于D,则线段AD是ABC的高4.如图所示,在ABC中,EFAC,BDAC于D,BD交EF于G,则下面说法中错误的是() A.BD是ABC的高B.CD是BCD的高C.EG是BEG的高D.BE是BEF的高5.在ABC中,A=80,I是B,C的平分线的交点,则BIC=.【能力提升】6.如图所示,BD是ABC的中线,AD=2,AB+BC=5,则ABC的周长是.7.直角三角形中,两锐角的平分线所夹的锐角是度.【拓展探究】8.如图所示,AD为ABC的中线,BE为三角形ABD中线. (1)在BED中作BD边上的高;(2)若ABC的面积为60,BD=5,则点E到BC边的距离为多少?【答案与解析】1.A2.D3.D(解析:A项错在三角形是由三条线段首尾顺次相接而成的,B项错在三角形的角平分线应该是线段;C项错在三角形中线应该是线段.故选D.)4.D5.130(解析:由A=80可知ABC+ACB=100,ABC与ACB的平分线交于点I,可求IBC+ICB的度数,再利用三角形内角和定理求BIC.A=80(已知),ABC+ACB=100(三角形内角和定理),又ABC与ACB的平分线交于点I,IBC+ICB =(ABC+ACB)=50,BIC=180-(IBC+ICB)=130.故填130.)6.9(解析:BD是ABC的中线,D是AC的中点,DC=AD,AD=2,AC=AD+DC=4,AB+BC=5,ABC的周长=AB+BC+AC=5+4=9.)7.45(解析:如图所示,ACB为直角三角形,AD,BE分别是CAB和ABC的平分线,AD,BE相交于一点F.ACB=90,CAB+ABC=90.AD,BE分别是CAB和ABC的平分线,FAB+FBA=CAB+ABC=45.从而可知所求角为45.故填45.) 8.解:(1)如图所示,EF即是BED中BD边上的高.(2)AD为ABC的中线,BE为三角形ABD中线,SBED=SABC=60=15.BD=5,EF=2SBEDBD=2155=6,即点E到BC边的距离为6. 本节的教学以定义为主,图形是同学们非常熟悉的三角形.以前同学们都接触过高线,钝角三角形高线的画法是本节的难点,为了突破难点,在教学设计上,以同学们思考、研讨为主,老师利用课件中的图形闪烁来提示同学们.这样,比老师单纯教要好得多,同学们可以对高线的画法印象更深刻.在与同学们的交流中,也可得到认同感,提高学生学习数学的信心与兴趣.三角形的中线及角平分线的教学中,为了让学生更能感觉到一个三角形中的三条高线(所在直线)、中线、角平分线都相交于一点,教师让同学们用折纸的方法,实物验证,从而让学生在实际操作中感受到这些线的特点.通过同学们的互动及老师的讲解,同学们对三角形的中线、角平分线及高线的画法都掌握得不错,为了能对知识有更牢固的印象,应该在讲授新课的同时,增加一些当堂小练习,让同学们更加牢固地掌握.为了让同学们对三角形的中线、角平分线、高线的知识掌握得更深刻,增加一些小练习,即在每讲完一个知识点后,给出一些基本的小练习.本节的难点是钝角三角形高线的画法,可多增加些时间,让学生们多练习一下,教师可增加些判断题、选择题和操作题的题型,以增加学生对知识的巩固和提高.练习(教材第5页)1.解:(1)中B是锐角,高AD在ABC内部.(2)中B是直角,高AD与边AB重合.(3)中B是钝角,高AD的垂足在CB的延长线上,即高AD在ABC的外部.规律:当C是锐角时,如果B是锐角,高AD在ABC的内部,如果B是直角,高AD与边AB重合,如果B是钝角,高AD的垂足在CB的延长线上,即高AD在ABC的外部.2.(1)AF(或BF)CDAC(2)2ABC4(或ACF)如图所示,在ABC中,AD是角平分线,B=60,C=45,求ADB和ADC的度数. 解析在ABC中,由B与C的度数,利用三角形的内角和定理求出BAC的度数,由AD为BAC的平分线,利用角平分线定义求出BAD的度数,在ABD中,由B与BAD的度数求出ADB的度数,即可求出ADC的度数.解:B=60,C=45,BAC=180-60-45=75,AD为BAC的平分线,BAD=CAD=BAC=37.5,在ABD中,ADB=180-BAD-B=82.5,则ADC=180-ADB=97.5.如图,在ABC中,AD是BC边上的中线,ABD的周长比ACD的周长小5,你能求出AC与AB的边长的差吗? 解析由AD是BC边上的中线,可得BD=CD,分别求出ABD的周长和ACD的周长,根据ABD的周长比ACD的周长小5列方程求解.解:能.ABD的周长=AB+BD+AD,ACD的周长=AC+CD+AD,因为AD是BC边上的中线,所以BD=CD.因为ABD的周长比ACD的周长小5,所以AC+CD+AD-(AB+BD+AD)=AC-AB=5.如图所示,在ABC中,AD,BE,CF是三条中线,它们相交于同一点O,则AOF的面积和AOE的面积是否相等?为什么? 解析三角形的中线可将三角形分成面积相等的两部分,本题中除了AD,CF,BE可以看作中线外,OF,OE,OD也可以看作中线.解:这两个三角形的面积相等.理由如下:AD,BE,CF是三条中线,SABD=SADC=SACF=SBCF=SABE=SBCE=SABC,SBOD=SAOE,SAFO=SCOD,BD=CD,SBOD=SCOD,SAOE=SAFO.即AOF的面积与AOE的面积相等.解题策略寻找这两个三角形面积的关系,需知面积公式,即三角形的面积=底高.这道题运用了“同高等底的两个三角形的面积相等” .要知道这个结论,并且会运用它.11.1.3三角形的稳定性1.通过观察、实践、想象、推理、交流等活动,了解三角形具有稳定性和四边形不具有稳定性.2.能判断一般的图形是否具有稳定性.1.通过提问,让学生通过小组交流等方式探究三角形的稳定性.2.在实物演示的过程中,激发学习兴趣,活跃课堂气氛.1.引导学生通过实验探究三角形的稳定性和四边形的不稳定性,培养其独立思考的学习习惯和动手能力.2.通过合作交流,使学生养成互助合作意识,提高数学交流表达能力.【重点】了解三角形稳定性和四边形的不稳定性在生产、生活中的应用.【难点】能正确利用三角形的稳定性解决实际问题.【教师准备】木条(用硬纸条代替)若干、小钉若干;划分学习小组.【学生准备】复习三角形的相关知识.导入一:【问题】通过观察,你发现生活中哪些物体的形状是三角形的?【师生活动】学生汇报观察结果:房梁、建筑工地的脚手架、自行车车架、乐谱架、起重机的起重臂等.【师】生活中有很多物体的形状是三角形的,为什么要把它们做成三角形呢?我们这节课就来研究三角形的稳定性.设计意图通过实例,让学生感受到三角形的稳定性在实际中的应用,也尽量启发学生,想到三角形的稳定性.导入二:【师】如图,在窗框未安装好之前,木工师傅常常先在窗框上斜钉一根木条,为什么要这样做呢?【生】为了让它更牢固.【师】这节课我们就来研究三角形的这种稳定性.设计意图让同学们产生好奇感,在下面的教学中,学生的精力会更专注,更愿意去探索问题,找到答案.导入三:教师拿出三根木条,用钉子把三个顶点固定好,让同学们猜测,此三角形能不能变形?这说明什么问题呢?设计意图让同学们体会到三角形具有稳定性这个性质是真实存在的,是与我们的生活息息相关的.过渡语通过刚才的学习,同学们对三角形有没有什么特殊的认识了呢?一、三角形具有稳定性【学生活动一】把同学们四人分成一组,发给3张硬纸条,3枚钉子,分组合作探究实验.如图所示,把三张硬纸条用钉子钉成一个三角形,然后扭动它,它的形状会改变吗?这说明什么问题?(教师巡回检查并指导,指定个别同学归纳结论)【师生共同总结】如果一个三角形的三条边固定了,那么三角形的形状和大小也就完全确定了,在数学上把三角形的这个性质叫做三角形的稳定性.【学生活动二】同学们想一想,在现实生活中,三角形的稳定性有哪些方面的应用呢?举例子说明.(对于学生的发言,只要符合实际,教师都要给予肯定)设计意图通过此活动,既让学生掌握了三角形的稳定性的性质,也让学生感受到三角形的稳定性在实际生活中的应用.二、四边形不具有稳定性过渡语三角形具有稳定性同学们都知道了,你们想知道四边形是否具有稳定性吗?五边形呢?【学生活动一】如图所示,4张硬纸条,4枚钉子钉成一个四边形,然后扭动它,看看它的形状会不会改变.设计意图让同学们通过动手实验,感受到四边形的不稳定性,通过小组合作,也能让同学们借鉴好的学习方法,增加学习的信心与热情.过渡语能不能让不稳定的四边形变稳定呢?假如利用四根小木条钉成了一个四边形,想一想怎么办?比一比哪组的学生最聪明?【学生活动二】学生以组来汇报讨论结果,并展示其成果.可能出现多种方法:方法一:在木条衔接处用粗钉子钉牢;方法二:沿四边形的对角线加一根木条,如图;方法三:在对边之间加一根木条,如图;方法四:加两根木条,如图.学生自己评说各小组的加固方法.教师适当引导,让学生给“加固”后的四边形框架施加较大外力,验证其牢固程度.说明:(1)当给四边形加一根支架,出现了三角形时,四边形就能稳定.如方法二,但当四边形没有出现三角形时,还不会稳固,如方法一、三.(2)方法四的四边形虽然稳定,但多加了木条,会浪费材料的.【师生共同总结】在四边形木架上最少再钉上一根木条,将它的相对顶点连接起来,它的形状就不会改变.【学生活动三】让小组同学用5张硬纸条,5枚钉子钉成一个五边形纸架,看看它的形状会不会改变?如果能改变的话,至少要用几张硬纸条能使它变
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