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三角函数的图象与性质(20分钟40分)一、选择题(每小题5分,共25分)1.(2016广州模拟)既是偶函数又在区间(0,)上单调递减的函数是()A.y=sin2xB.y=sinxC.y=cos2xD.y=cosx【解析】选D.函数y=sin2x与y=sinx都是奇函数,故A,B不符合题意,函数y=cos2x,y=cosx都是偶函数,y=cos2x在(0,)上不单调,y=cosx符合题意.【加固训练】在(0,2)内,使sinxcosx成立的x的取值范围为()A.B.C.D.【解析】选B.画出y=sinx,y=cosx在(0,2)内的图象,它们的交点横坐标为,由图象可知x的取值范围为.2.下列函数中,周期为1的奇函数是()A.y=1-2sin2xB.y=sinC.y=tanxD.y=sinxcosx【解析】选D.化简函数表达式y=1-2sin2x=cos是偶函数,周期为1,y=sin的周期为1,是非奇非偶函数,y=tanx是奇函数,周期为2,y=sinxcosx=sin2x是奇函数,周期为1.3.(2016黄冈模拟)函数f(x)=sin在区间上的最小值是()A.-1B.-C.D.0【解题提示】先确定2x-的范围,再根据正弦曲线的单调性求最小值.【解析】选B.因为x,所以2x-,根据正弦曲线可知,当2x-=-时,f(x)取得最小值-.【加固训练】1.(2016大同模拟)已知函数f(x)=sin(x-),且f(x)dx=0,则函数f(x)的图象的一条对称轴是()A.x=B.x=C.x=D.x=【解题提示】利用函数图象的平移和对称性求解.【解析】选A.由于f=sin(x-),且f(x)dx=0,得到f(x)的对称中心为,所以=,x-=+k,kZ,所以x=+k,kZ,所以f(x)的图象的一条对称轴是x=.【一题多解】本题还可以采用如下解法:由题意可知f(x)的对称中心为,所以f(x)=sin,把x=代入得f=sin=1,恰好取得最大值,所以A正确.2.已知函数f(x)=sin-1,则下列命题正确的是()A.f(x)是周期为1的奇函数B.f(x)是周期为2的偶函数C.f(x)是周期为1的非奇非偶函数D.f(x)是周期为2的非奇非偶函数【解析】选B.由已知化简得f(x)=-cos(x)-1,所以f(x)是周期为2的偶函数.4.(2016广州模拟)如果函数y=3sin(2x+)的图象关于直线x=对称,那么|的最小值为()A.B.C.D.【解析】选A.依题意得,sin=1,则+=k+(kZ),即=k+(kZ),因此|的最小值是.5.(2016榆林模拟)函数f(x)=(1-cosx)sinx在-,的图象大致为()【解题提示】首先根据函数的奇偶性进行排除,然后再根据函数的图象特征取最佳值排除剩余选项.【解析】选C.因为f(-x)=-(1-cosx)sinx,即f(-x)=-f(x),而定义域x-,关于原点对称,所以函数f(x)为奇函数,排除B.又当x=时,f=sin=10,排除A.当x=时,f=sin=1,排除D.二、填空题(每小题5分,共15分)6.(2016杭州模拟)函数y=sin2x+cos2x的最小正周期为.【解题提示】本题考查了三角恒等变换知识,可先降幂,再化为一个角的三角函数.【解析】y=sin2x+cos2x=sin2x+cos2x+=sin+,所以T=.答案:7.(2016深圳模拟)设常数a使方程sinx+cosx=a在闭区间0,2上恰有三个解x1,x2,x3,则x1+x2+x3=.【解题提示】将左边函数化为一种三角函数式的形式,结合三角函数图象即得.【解析】设f(x)=sinx+cosx=2sin,因为x0,2,所以x+,根据方程恰有三个解,结合三角函数图象易得x1=0,x2=,x3=2,所以x1+x2+x3=.答案:8.(2015天津高考)已知函数f(x)=sinx+cosx(0),xR,若函数f(x)在区间(-,)内单调递增,且函数f(x)的图象关于直线x=对称,则的值为.【解析】由f(x)在区间(-,)内单调递增,且f(x)的图象关于直线x=对称,可得2,且f()=sin2+cos2=,所以sin=1,所以2+=.答案:(20分钟40分)1.(5分)已知函数y=2cosx的定义域为,值域为a,b,则b-a的值是()A.2B.3C.+2D.2-【解析】选B.因为当x时,y=2cosx是单调减函数,且当x=时,y=2cos=1,当x=时,y=2cos=-2,所以-2y1,即y的值域是-2,1,所以b-a=1-(-2)=3.2.(5分)已知函数f(x)=2sin,xR.在曲线y=f(x)与直线y=1的交点中,若相邻交点距离的最小值为,则f(x)的最小正周期为()A.B.C.D.2【解析】选C.由f(x)=1,得sin=,所以x1+=,或x2+=,所以(x2-x1)=.又因为x2-x1=,故=2,所以T=.【加固训练】已知f(x)=Asin(x+)(A0,0,00)在区间上单调递增,则的取值范围是()A.B.C.1,2D.0,2【解析】选A.由-+2kx-+2k,kZ得-+x+,kZ,取k=0,得-x,因为函数f(x)=sin(0)在区间上单调递增,所以,即.又0,所以的取值范围是.4.(12分)已知函数y=cos.(1)求函数的最小正周期.(2)求函数的对称轴及对称中心.(3)求函数的单调增区间.【解析】(1)由题可知=,T=8,所以函数的最小正周期为8.(2)由x+=k(kZ),得x=4k-(kZ),所以函数的对称轴为x=4k-(kZ);又由x+=k+(kZ),得x=4k+(kZ);所以函数的对称中心为(kZ).(3)由2k+x+2k+2(kZ),得8k+x+8k(kZ);所以函数的单调递增区间为,kZ.5.(13分)(2016益阳模拟)已知函数f(x)=2sin.(1)求函数的最大值及相应的x值集合.(2)求函数的单调区间.(3)求函数f(x)的图象的对称轴与对称中心.【解析】(1)当sin=1时,2x-=2k+,kZ,即x=k+,kZ,此时函数取得最大值为2;故f(x)的最大值为2,使函数取得最大值的x的集合为.(2)由-+2k2x-+2k,kZ得-+kx+k,kZ.所以函数f(x)的单调递增区间为,kZ.由+2k2x-+2k,kZ得+kx+k,kZ.所以函数f(x)的单调递减区间为,kZ.(3)由2x-=+k,kZ得x=+k,kZ.即函数f(x)的图象的对称轴为x=+k,kZ.由2x-=k,kZ得x=+k,kZ,即对称中心为,kZ.- 8 -
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