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利用向量求空间角和距离(25分钟60分)一、选择题(每小题5分,共25分)1.长方体ABCD-A1B1C1D1中,AB=AA1=2,AD=1,E为CC1的中点,则异面直线BC1与AE所成角的余弦值为()A.B.C.D.【解析】选B.建立空间直角坐标系如图.则A(1,0,0),E(0,2,1),B(1,2,0),C1(0,2,2).=(-1,0,2),=(-1,2,1),cos=.所以异面直线BC1与AE所成角的余弦值为.2.(2016仙桃模拟)在三棱锥P-ABC中,PA平面ABC,BAC=90,D,E,F分别是棱AB,BC,CP的中点,AB=AC=1,PA=2,则直线PA与平面DEF所成角的正弦值为()A.B.C.D.【解析】选C.以A为原点,AB,AC,AP所在直线分别为x轴,y轴,z轴的正半轴建立如图所示的空间直角坐标系,由AB=AC=1,PA=2,得A(0,0,0),B(1,0,0),C(0,1,0),P(0,0,2),D,E,F.所以=(0,0,-2),=,=.设平面DFE的法向量为n=(x,y,z),则由得取z=1,则n=(2,0,1),设直线PA与平面DEF所成的角为,则sin=,所以直线PA与平面DEF所成角的正弦值为.3.如图所示,ABCD-A1B1C1D1是棱长为6的正方体,E,F分别是棱AB,BC上的动点,且AE=BF.当A1,E,F,C1共面时,平面A1DE与平面C1DF所成二面角的余弦值为()A.B.C.D.【解析】选B.以D为原点,DA,DC,DD1所在直线分别为x轴,y轴,z轴建立空间直角坐标系,易知当E(6,3,0),F(3,6,0)时,A1,E,F,C1共面,设平面A1DE的法向量为n1=(a,b,c),依题意得可取n1=(-1,2,1),同理可得平面C1DF的一个法向量为n2=(2,-1,1),故平面A1DE与平面C1DF所成二面角的余弦值为=.4.(2016莆田模拟)二面角的棱上有A,B两点,直线AC,BD分别在这个二面角的两个半平面内,且都垂直于AB.已知AB=4,AC=6,BD=8,CD=2,则该二面角的大小为()A.150B.45C.60D.120【解析】选C.由条件知=0,=0,因为=+.所以|2=|2+|2+|2+2+2+2=62+42+82+268cos=(2)2.所以cos=-,则=120,即=60.所以二面角的大小为60.5.(2016泉州模拟)设正方体ABCD-A1B1C1D1的棱长为2,则点D1到平面A1BD的距离是()A.B.C.D.【解析】选D.建立如图所示的空间直角坐标系,则D1(0,0,2),A1(2,0,2),D(0,0,0),B(2,2,0),所以=(2,0,0),=(2,0,2),=(2,2,0).设平面A1BD的法向量为n=(x,y,z),则令x=1,则n=(1,-1,-1),所以点D1到平面A1BD的距离是d=.二、填空题(每小题5分,共15分)6.如图,在直三棱柱中,ACB=90,AC=BC=1,侧棱AA1=,M为A1B1的中点,则AM与平面AA1C1C所成角的正切值为.【解析】以C1为原点,C1A1,C1B1,C1C所在直线分别为x,y,z轴建立空间直角坐标系,则平面AA1C1C的法向量为n=(0,1,0),AM=-(1,0,)=,则直线AM与平面AA1C1C所成角的正弦值为sin=|cos|=,所以tan=.答案:7.已知点E,F分别在正方体ABCD -A1B1C1D1的棱BB1,CC1上,且B1E=2EB,CF=2FC1,则面AEF与面ABC所成的二面角的正切值为.【解析】如图,建立空间直角坐标系Dxyz,设DA=1,由已知条件得A(1,0,0),E,F,=,=,设平面AEF的法向量为n=(x,y,z),面AEF与面ABC所成的二面角为,由图知为锐角,由得令y=1,z=-3,x=-1,则n=(-1,1,-3),平面ABC的法向量为m=(0,0,-1),cos=|cos|=,tan=.答案:8.(2016长沙模拟)如图,P-ABCD是正四棱锥,ABCD-A1B1C1D1是正方体,其中AB=2,PA=,则B1到平面PAD的距离为.【解题提示】以A1B1为x轴,A1D1为y轴,A1A为z轴建立空间直角坐标系,求出平面PAD的法向量,由的坐标,利用距离公式,即可得到结论.【解析】以A1B1为x轴,A1D1为y轴,A1A为z轴建立空间直角坐标系,则=(0,2,0),=(1,1,2),设平面PAD的法向量是m=(x,y,z),所以由可得取z=1得m=(-2,0,1),因为=(-2,0,2),所以B1到平面PAD的距离d=.答案:三、解答题(每小题10分,共20分)9.(2015浙江高考)如图,在三棱柱ABC-A1B1C1中,BAC=90,AB=AC=2,A1A=4,A1在底面ABC的射影为BC的中点,D为B1C1的中点.(1)证明:A1D平面A1BC.(2)求二面角A1-BD-B1的平面角的余弦值.【解析】方法一:(1)如图,以BC的中点O为坐标原点,以OB,OA,OA1所在直线分别为x,y,z轴建立空间直角坐标系.则BC=AC=2,A1O=.易知A1(0,0,),B(,0,0),C(-,0,0),A(0,0),D(0,-,),B1(,-,),=(0,-,0),=(-,-,),=(-,0,0),=(-2,0,0),=(0,0,),因为=0,所以A1DOA1,又因为=0,所以A1DBC,又因为OA1BC=O,所以A1D平面A1BC.(2)设平面A1BD的法向量为m=(x,y,z),由得取z=1,得m=(,0,1),设平面B1BD的法向量为n=(a,b,c),由得取c=1,得n=(0,1),所以cos=,又因为该二面角为钝角,所以二面角A1-BD-B1的平面角的余弦值为-.方法二:(1)取BC的中点E,连接A1E,AE,DE,由题意得A1E平面ABC,所以A1EAE,因为AB=AC,所以AEBC,A1EBC=E,故AE平面A1BC,由D,E分别是B1C1,BC的中点,得DEB1B且DE=B1B,所以DEA1A,DE=A1A,所以四边形A1AED是平行四边形,故A1DAE,又因为AE平面A1BC,所以A1D平面A1BC.(2)作A1FBD,且A1FBD=F,连接B1F.由AE=BE=,A1EA=A1EB=90,得A1B=A1A=4,由A1D=B1D,A1B=B1B,得A1DBB1DB,由A1FBD,得B1FBD,因此A1FB1为二面角A1-BD-B1的平面角,由A1D=,A1B=4,DA1B=90,得BD=3,A1F=B1F=,由余弦定理得cosA1FB1=-.10.(2016唐山模拟)如图所示,四棱锥P-ABCD中,底面ABCD为平行四边形,AB=2AD=2,BD=,PD底面ABCD.(1)证明:平面PBC平面PBD.(2)若二面角P-BC-D为,求AP与平面PBC所成角的正弦值.【解析】(1)因为CD2=BC2+BD2,所以BCBD.又因为PD底面ABCD,所以PDBC.又因为PDBD=D,所以BC平面PBD.而BC平面PBC,所以平面PBC平面PBD.(2)由(1)所证,BC平面PBD,所以PBD即为二面角P-BC-D的平面角,即PBD=.因为BD=,所以PD=1.分别以DA,DB,DP为x轴,y轴,z轴建立空间直角坐标系,则A(1,0,0),B(0,0),C(-1,0),P(0,0,1).所以=(-1,0,1),=(-1,0,0),=(0,-,1).设平面PBC的法向量为n=(a,b,c),则即可解得平面PBC的一个法向量为n=(0,1,),所以AP与平面PBC所成角的正弦值为sin=.(20分钟40分)1.(5分)如图,在四棱锥P-ABCD中,四边形ABCD为平行四边形,且BC平面PAB,PAAB,M为PB的中点,PA=AD=2.若AB=1,则二面角B-AC-M的余弦值为.【解析】因为BC平面PAB,ADBC,所以AD平面PAB,PAAD,又PAAB,且ADAB=A,所以PA平面ABCD.以点A为坐标原点,分别以AD,AB,AP所在直线为x轴,y轴,z轴,建立如图所示的空间直角坐标系Axyz.则A(0,0,0),C(2,1,0),P(0,0,2),B(0,1,0),M.所以=(2,1,0),=,求得平面AMC的一个法向量为n=(1,-2,1),又平面ABC的一个法向量为=(0,0,2),所以cos= =.所以二面角B-AC-M的余弦值为.答案:2.(5分)(2016衡阳模拟)正四棱锥S-ABCD中,O为顶点S在底面上的射影,P为侧棱SD的中点,且SO=OD,则直线BC与平面PAC的夹角的大小为.【解析】如图所示,以O为原点建立空间直角坐标系Oxyz.设OD=SO=OA=OB=OC=a,则A(a,0,0),B(0,a,0),C(-a,0,0),P.则=(2a,0,0),=,=(a,a,0).设平面PAC的法向量为n,可求得n=(0,1,1),则cos=.所以=60,所以直线BC与平面PAC的夹角为90-60=30.答案:303.(5分)(2016孝感模拟)如图,BCD与MCD都是边长为2的正三角形,平面MCD平面BCD,AB平面BCD,AB=2.则点A到平面MBC的距离为.【解析】取CD中点O,连接OB,OM,则OBCD,OMCD.又平面MCD平面BCD,则MO平面BCD.取O为原点,直线OC,BO,OM为x轴、y轴、z轴,建立如图所示的空间直角坐标系.OB=OM=,则各点坐标分别为C(1,0,0),M(0,0,),B(0,-,0),A(0,-,2).则=(1,0),=(0,),设n=(x,y,z)是平面MBC的法向量,由n,得x+y=0;由n,得y+z=0.取n=(,-1,1),=(0,0,2),则d=.答案:4.(12分)(2015天津高考)如图,在四棱柱ABCD-A1B1C1D1中,侧棱A1A底面ABCD,ABAC,AB=1,AC=AA1=2,AD=CD=,且点M和N分别为B1C和D1D的中点.(1)求证:MN平面ABCD.(2)求二面角D1-AC-B1的正弦值.(3)设E为棱A1B1上的点,若直线NE和平面ABCD所成角的正弦值为,求线段A1E的长.【解析】如图,以A为原点建立空间直角坐标系,依题意可得A(0,0,0),C(2,0,0),D(1,-2,0),B1(0,1,2),D1(1,-2,2).(1)因为M,N分别为B1C和D1D的中点,得M,N(1,-2,1),所以=.依题意,可得n=(0,0,1)为平面ABCD的一个法向量.由此可得n=0,又因为直线MN平面ABCD,所以MN平面ABCD.(2)=(1,-2,2),=(2,0,0),=(0,1,2).设n1=(x1,y1,z1)为平面ACD1的法向量,则即不妨设z1=1,可得n1=(0,1,1).设n2=(x2,y2,z2)为平面ACB1的法向量,则得不妨设z2=1,可得n2=(0,-2,1).因此有cos=-,于是sin=.所以,二面角D1-AC-B1的正弦值为.(3)设直线NE与平面ABCD所成角为,依题意,可设=,其中,则E,从而=.又n=为平面ABCD的一个法向量,由已知,得sin=|cos|=,整理得2+4-3=0,又因为,解得=-2.所以,线段A1E的长为-2.5.(13分)如图1,在平面四边形ACPE中,D为AC的中点,AD=DC=PD=2,AE=1,且AEAC,PDAC,沿PD折起使ADC=90,得到立体图形如图2,又B为平面ADC内一点,并且ABCD为正方形,设F,G,H分别为PB,EB,PC的中点.(1)求三棱锥P-GHF的体积.(2)在线段PC上是否存在一点M,使直线FM与直线PA所成角为60?若存在,求出线段PM的长;若不存在,请说明理由.【解析】(1)因为F,G分别为PB,BE的中点,所以FGPE.又FG平面PEAD,PE平面PEAD,所以FG平面PEAD,同理FH平面PEAD,FGFH=F,所以平面GHF平面PEAD.又HFBCAD,GFPE,所以HF与GF的夹角等于AD与PE的夹角(设为),易求sin=.因为平面GHF平面PEAD,所以点P到平面GHF的距离即点H到平面PEAD的距离.过H作PD的垂线,垂足为N,则HN=1为点P到平面GHF的距离.所以VP-GFH=11=.(2)因为PDAD,PDCD,ADCD=D,所以PD平面ABCD.又因为四边形ABCD是正方形,所以ADCD.如图,建立空间直角坐标系,因为AD=PD=2EA=2,所以D(0,0,0),P(0,0,2),A(2,0,0),C(0,2,0),B(2,2,0),E(2,0,1),F(1,1,1).假设在线段PC上存在一点M使直线FM与直线PA所成角为60.依题意可设=,其中01.由=(0,2,-2),则=(0,2,-2).又因为=+,=(-1,-1,1),所以=(-1,2-1,1-2).因为直线FM与直线PA所成角为60,=(2,0,-2),所以|cos|=,即=,解得=,所以=,|=.所以在线段PC上存在一点M,使直线FM与直线PA所成角为60,此时PM=.- 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