理学概率第四章ppt课件

,第四章,随机变量的数字特征,概率论与数理统计,随机变量的分布函数能够完整地描述随,机动 目录 上页 下页 返回 结束,但要确定随机变量的分,在许多实际问题中，,数学期望、方差、,知道它的若干重要特征：,机变量的统计规律.,布函数绝非易事，,只需要,相关系数等。,1,第一节,一、离散型随机变量的数学期望,二、连续型随机变量的数学期望,四、数学期望的性质,随机变量的数学期望及其性质,第四章,随机变量的数字特征,机动 目录 上页 下页 返回 结束,三、随机变量函数的数学期望,2,本节的教学要求,理解随机变量数学期望的概念及性质 掌握常用分布的数学期望 会求随机变量函数的数学期望,重点,随机变量的数学期望及其性质,机动 目录 上页 下页 返回 结束,3,一、离散型随机变量的数学期望,引例 某车间对工人的生产情况进行考察.,我们先观察小张100天的生产情况,随机变量的数学期望及其性质,小张每天生产的废品数X是一个随机变量.,义X的平均值呢？,车工,如何定,4,若统计100天,32天没有出废品; 30天每天出一件废品; 17天每天出两件废品; 21天每天出三件废品;,可以得到这100天中 每天的平均废品数为,这个数能否作为 X的平均值呢？,（假定小张每天至多出现三件废品 ）,随机变量的数学期望及其性质,5,可以想象，若另外统计100天，车工小张不出废品、出一件、二件、三件废品的天数与前面的100天一般不会完全相同，这另外100天每天的平均废品数也不一定是1.27.,n0天没有出废品; n1天每天出一件废品; n2天每天出两件废品; n3天每天出三件废品.,可以得到n天中每天的平均废品数为,(假定小张每天至多出三件废品),一般来说, 若统计n天 ,随机变量的数学期望及其性质,6,这是 以频率为权的加权平均,当N很大时，频率接近于概率，所以在求废品数X的平 均值时，用概率代替频率， 得平均值为,这是 以概率为权的加权平均,这样得到一个确定的数. 我们就用这个数作为随机变量X 的平均值 .,随机变量的数学期望及其性质,7,定义1 设随机变量X ，它的分布律是: PX=xi=pi , i=1,2,注意 : 离散型随机变量的数学期望是一个绝对收敛的级数的和. 数学期望简称期望, 又称为均值。,若级数,绝对收敛，,则称级数,即,的和为随机变量X的数学期望，记为 ,随机变量的数学期望及其性质,8,例 1,问应如何评定甲、乙两人技术的优劣？,即 甲的射击技术比乙好。,随机变量的数学期望及其性质,9,例 2,随机变量的数学期望及其性质,10,二、连续型随机变量的数学期望,设X是连续型随机变量，其密度函数为f (x),小区间xi, xi+1),阴影面积近似为,随机变量的数学期望及其性质,在数轴上取很密的分点x0 x1x2 ,则X落在小,区间xi, xi+1)的概率是,11,由此启发我们引进如下定义.,定义2 设连续型随机变量X的密度函数为 f (x),若积分,绝对收敛,则称此积分值为X的数学期望, 即,注意 : 连续型随机变量的数学期望是一个绝对收敛的积分.,随机变量的数学期望及其性质,12,例 3,随机变量的数学期望及其性质,13,三、随机变量函数的数学期望,设已知随机变量X的分布，我们需要计算的不是X的期望，而是X的某个函数的期望，比如说g(X)的期望. 那么应该如何计算呢？,一种方法是，因为g(X)也是随机变量，故应有概率分布，它的分布可以由已知的X的分布求出来. 一旦我们知道了g(X)的分布，就可以按照期望的定义把Eg(X)计算出来.,随机变量的数学期望及其性质,14,那么是否可以不先求g(X)的分布而只根据X的分布求得Eg(X)呢？,下面的定理指出，答案是肯定的.,使用这种方法必须先求出随机变量函数g(X)的分布，一般是比较复杂的 .,随机变量的数学期望及其性质,15,(1) 当X为离散型时,它的分布律为P(X= xi)=pi ;,(2) 当X为连续型时,它的密度函数为f(x).若,定理 设Y是随机变量X的函数:Y=g (X) (g是连续函数),随机变量的数学期望及其性质,若 绝对收敛，则有,绝对收敛，则有,16,知道g(X)的分布，而只需知道X的分布就可以了.,随机变量的数学期望及其性质,该公式的重要性在于: 当我们求Eg(X)时,求随机变量函数的期望带来很大方便.,不必,这,17,上述定理还可以推广到两个或两个以上随 机变量的函数的情况。,随机变量的数学期望及其性质,18,随机变量的数学期望及其性质,（2）若 是二维离散型，概率分布为 ，则有,19,例 4 已知随机变量,的分布列为,. 求（1）,解 由定理1得 （1）,（2）,.,随机变量的数学期望及其性质,20,.,例11 设,.,例 5 设 的概率密度为,求 ， 。,解 由定理2得,随机变量的数学期望及其性质,21,.,随机变量的数学期望及其性质,例11 设,.,例 6 设 的概率密度为,求 ， 。,解 由定理2得,22,四、数学期望的性质,1. 设C是常数，则EC=C;,4. 设X、Y 相互独立，则 E(XY)=EXEY;,2. 若C是常数，则E(C X)= CEX;,3. E(X+Y) = EX+EY;,（诸Xi相互独立时）,请注意: 由E(XY)=E(X)E(Y) 不一定能推出X,Y 独立,随机变量的数学期望及其性质,推广：,推广：,23,随机变量的数学期望及其性质,性质3得证。,24,随机变量的数学期望及其性质,性质4得证。,25,随机变量的数学期望及其性质,例 7 设随机变量 的概率密度分别为,独立，求 。,解 由于 独立，有,26,内容小结,机动 目录 上页 下页 返回 结束,作业 习题4-1,它反映了随机,随机变量的数学期望及其性质,变量取值的平均水平，,介绍了随机变量的数学期望，,是随机变量的一个重要的数,字特征。,27,第二节,一、方差的概念,二、方差的性质,随机变量的方差及其性质,第四章,随机变量的数字特征,机动 目录 上页 下页 返回 结束,28,本节的教学要求,理解随机变量方差的概念及性质 掌握常用分布的方差,重点,随机变量的方差及其性质,机动 目录 上页 下页 返回 结束,29,上一节我们介绍了随机变量的数学期望，,但是在一些场合，仅仅知道平均值是不够的。,它体现了随机变量取值的平均水平，,随机变量的方差及其性质,30,例如,甲、乙两门炮同时向一目标射击10发炮弹，其落点距目标的位置如图：,你认为哪门炮射击效果好一些呢?,甲炮射击结果,乙炮射击结果,因为乙炮的弹着点较集中在中心附近 。,随机变量的方差及其性质,31,由此可见,研究随机变量与其均值的偏离程度是十分必要的.那么,用怎样的量去度量这个偏离程度呢?容易看到,这个数字特征就是我们这一讲要介绍的,方差,能度量随机变量与其均值E(X)的偏离程度. 但由于上式带有绝对值,运算不方便,通常用量,来度量随机变量X与其均值E(X)的偏离程度.,随机变量的方差及其性质,32,一、方差的定义,记为DX ，即,DX=E(X-EX)2,称 为 的标准差或均方差。,随机变量的方差及其性质,33,若X的取值比较分散，则方差DX较大.,方差刻划了随机变量的取值对于其数学期望的离散程度 .,若X的取值比较集中，则方差DX较小；,因此，DX是刻画X取值分散程度的一个量，它是衡量X取值分散程度的一个尺度。,随机变量的方差及其性质,34,X为离散型， 分布率 PX=xi=pi,由定义知，方差是随机变量 X 的函数 g(X)=(X-EX)2 的数学期望 .,二、方差的计算,X为连续型，X概率密度f(x),随机变量的方差及其性质,35,计算方差的简单公式,DX=EX2-(EX)2,展开,证：DX=E(X-EX)2,=EX2-2XEX+(EX)2,=EX2-2(EX)2+(EX)2,=EX2-(EX)2,利用期望 性质,随机变量的方差及其性质,36,例 1,求DX 。,解,由公式,因此,随机变量的方差及其性质,设随机变量 分布，,其中 。,37,例 2,解,X的分布律为,上节已算得,随机变量的方差及其性质,38,因此,泊松分布,随机变量的方差及其性质,39,例 3,解,因此,均匀分布,随机变量的方差及其性质,40,例 4,设随机变量X服从指数分布,其概率密度为,解,由此可知,指数分布,随机变量的方差及其性质,41,二、方差的性质,1. 若C 是常数, 则 DC=0 , D(X+C)=DX;,2. 若 C 是常数, 则 D(CX)=C2 DX ;,3. 若随机变量X 与 Y 相互独立，则 D(XY)= DX+DY,随机变量的方差及其性质,，,推广：若 相互独立,42,令,. 解 由期望和方差的性质得,.,随机变量的方差及其性质,43,例 6 设随机变量,分布，求,解 已知,其中,相互独立且服从相同的0-1分布.又知,，于是得,随机变量的方差及其性质,其中,.,44,内容小结,机动 目录 上页 下页 返回 结束,作业 习题4-2,介绍了随机变量的方差.,随机变量的方差及其性质,45,第三节,一、协方差,二、相关系数,协方差、相关系数、矩及其性质,第四章,随机变量的数字特征,机动 目录 上页 下页 返回 结束,三、矩,46,本节的教学要求,理解协方差、相关系数、矩的概念及性质 会运用其性质,重点,协方差、相关系数、矩及其性质,机动 目录 上页 下页 返回 结束,47,上两节介绍了随机变量的数学期望和方差，对于二维随机变量（X，Y），我们除了讨论X与Y的数学期望和方差以外，还要讨论描述X和Y之间关系的数字特征，这就是本讲要讨论的,协方差、相关系数和矩,协方差、相关系数、矩及其性质,48,称, Cov(X, C)= 0 C为任意常数, Cov(X, Y)= Cov(Y, X),一、协方差,2.简单性质, Cov(aX, bY) = ab Cov(X, Y) a,b 是常数,Cov(X,Y)=E (X-EX)(Y-EY),1.定义,为随机变量X与Y的协方差。,(4) Cov(X+ Y, Z)= Cov(X, Z) + Cov(Y, Z),协方差、相关系数、矩及其性质,49,Cov(X,Y)=E(XY) -E(X)E(Y),可见，若X 与 Y 独立， Cov(X,Y)= 0 .,3. 计算协方差的简单公式,由协方差的定义及期望的性质，可得,Cov(X,Y)=E (X-EX)(Y-EY) ,=EXY-YEX-XEY+EXEY,=E(XY)-EXEY,即,.,协方差、相关系数、矩及其性质,50,D(X+Y)= DX+DY+ 2Cov(X,Y),4. 随机变量和的方差与协方差的关系,特别地,协方差、相关系数、矩及其性质,51,例1 设,，求,. 解,.,协方差、相关系数、矩及其性质,52,协方差的大小在一定程度上反映了X和Y相互间的关系，但它还受X与Y本身度量单位的影响. 例如：,Cov(aX, aY)=a2Cov(X,Y),为了克服这一缺点，对协方差进行标准化，这就引入了相关系数 .,协方差、相关系数、矩及其性质,53,二、相关系数,为随机变量 X 和 Y 的相关系数 .,定义1 设(X,Y)为二维随机变量 , 若DX0,DY0,则称,定义2 当 时， 称X 与 Y不线性相关，,简称不相关 .,协方差、相关系数、矩及其性质,54,相关系数的性质：,存在常数 a,b(b0），,使得 PY= a + b X=1.,3. X和Y独立时， =0，但其逆不真.,4.设 ，则,（1）,协方差、相关系数、矩及其性质,55,求,解,所以,，,.,协方差、相关系数、矩及其性质,56,例 2 设,的密度函数为,求,解,由密度函数的对称性可以看出,，,.,协方差、相关系数、矩及其性质,57,定义1 设X是随机变量，k为正整数，若,存在，则称它为X的k阶原点矩，记为,存在，称它为X的k阶中心矩，记为,可见，均值 EX是X一阶原点矩，方差DX是X,的二阶中心矩。,三、 矩、协方差矩阵,定义2 设X是随机变量，k为正整数，若,协方差、相关系数、矩及其性质,58,定义3 设,是二维随机变量，称矩阵,维随机变量,的协方差矩阵为,.,同样地，可定义,协方差、相关系数、矩及其性质,59,. 解 由于,，,，,，,.,协方差、相关系数、矩及其性质,60,内容小结,机动 目录 上页 下页 返回 结束,作业 习题4-3,这一节介绍了协方差、相关系数，相关系数是,刻划两个变量间线性相关程度的一个重要的数字特征.,还学习了随机变量的原点矩和中心矩以及协方差矩阵 .,一般地 , 维随机变量的分布是不知道的 , 或者太复杂 , 以至于在数学上不易处理 , 因此在实际中协方差矩阵就显得重要了 .,协方差、相关系数、矩及其性质,61,