九年级数学上册 24.1.3 弧、弦、圆心角导学案 （新版）新人教版

24.1.3 弧、弦、圆心角 1.通过学习圆的旋转性，理解圆的弧、弦、圆心角之间的关系. 2.运用上述三者之间的关系来计算或证明有关问题. 自学指导 自学教材第83至84页内容，回答下列问题. 知识探究 1.顶点在圆心的角叫做圆心角，能够重合的圆叫做等圆；能够重合的弧叫做等弧；圆绕其圆心旋转任意角度都能够与原来的的图形重合，这就是圆的旋转性. 2.在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，所对的弦也相等. 3.在同圆或等圆中，两个圆心角，两条弦，两条弧中有一组量相等，它们所对应的其余各组量也相等. 4.在O中，AB、CD是两条弦. (1)如果AB=CD，那么=，AOB=COD； (2)如果=，那么AB=CD，AOB=COD； (3)如果AOB=COD，那么AB=CD，=. 自学反馈 1.如图，AD是O的直径，AB=AC，CAB=120，根据以上条件写出三个正确结论.(半径相等除外) (1)ACOABO； (2)AD垂直平分BC； (3)=. 2.如图，在O中，=，ACB=60，求证：AOB=BOC=AOC.证明：=，AB=AC. 又ACB=60，ABC为等边三角形，AB=AC=BC，AOB=BOC=AOC. 第2题图 第3题图 3.如图，(1)已知=.求证：AB=CD. (2)如果AD=BC，求证：=. 证明：(1)=，+=+，=，AB=CD. (2)AD=BC，=，+=+，即=.活动1 小组讨论 例1 在O中，一条弦AB所对的劣弧为圆周的，则弦AB所对的圆心角为90. 整个圆周所对的圆心角即以圆心为顶点的周角. 例2 在半径为2的O中，圆心O到弦AB的距离为1，则弦AB所对的圆心角的度数为120. 例3 如图，在O中，=，ACB=75，求BAC的度数. 解：30. 例4 已知：如图，AB、CD是O的弦，且AB与CD不平行，M、N分别是AB、CD的中点，AB=CD，那么AMN与CNM的大小关系是什么？为什么？ (1)OM、ON具备垂径定理推论的条件. (2)同圆或等圆中，等弦的弦心距也相等. 解：AMN=CNM.AB=CD，M、N为AB、CD中点.OM=ON，OMAB，ONCD.OMA=ONC，OMN=ONM，OMA-OMN=ONC-ONM.即AMN=CNM.活动2 跟踪训练 1.如图，AB是O的直径，=，COD=35，求AOE的度数. 解：75. 第1题图 第2题图 2.如图所示，CD为O的弦，在CD上截取CE=DF，连结OE、OF，并且它们的延长线交O于点A、B. (1)试判断OEF的形状，并说明理由； (2)求证：=. 解：(1)OEF为等腰三角形. 理由：过点O作OGCD于点G.则CG=DG.CE=DF，CG-CE=DG-DF.EG=FG.OGCD，OG为线段EF的中垂线.OE=OF.OEF为等腰三角形. (2)证明：连结AC、BD.由(1)知OE=OF，又OA=OB，AE=BF，OEF=OFE.CEA=OEF，DFB=OFE，CEA=DFB.在CEA与DFB中，AE=BF，CEA=BFD，CE=DF，CEADFB.AC=BD.=. (1)过圆心作垂径.(2)连结AC、BD，通过证弦等来证弧等. 3.已知如图，AB是O的直径，M、N是AO、BO的中点.CMAB，DNAB，分别与圆交于C、D点.求证：=.证明：连结AC、OC、OD、BD. M、N为AO、BO中点，OM=ON，AM=BN.CMAB，DNAB，CMO=DNO=90.在RtCMO与RtDNO中，OM=ON，OC=OD，RtCMORtDNO.CM=DN.在RtAMC和RtBND中，AM=BN，AMC=BND，CM=DN，AMCBND.AC=BD.=. 连结AC、OC、OD、BD，构造三角形.活动3 课堂小结 圆心角定理是圆中证弧等、弦等、弦心距等、圆心角等的常用方法. 教学至此，敬请使用学案当堂训练部分.