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专题四 线段和的最小值问题纵观贵阳5年中考，2014年和2015年两年连续考查了利用对称求线段和最小值的几何问题设置在第24题、25题，以解答题的形式出现，分值为12分，难度较大预计2017贵阳中考还会设计利用图形变换考查此类问题的几何综合题，复习时要加大训练力度,中考重难点突破) 线段的最小值【经典导例】【例】(六盘水中考)(1)观察发现如图，若点A，B在直线m同侧，在直线m上找一点P，使APBP的值最小，做法如下：作点B关于直线m的对称点B，连接AB，与直线m的交点就是所求作的点P，线段AB的长度即为APBP的最小值 如图，在等边三角形ABC中，AB2，点E是AB的中点，AD是高，在AD上找一点P，使BPPE的值最小，做法如下：作点B关于AD的对称点，恰好与点C重合，连接CE交AD于一点，则这点就是所求作的点P，故BPPE的最小值为_(2)实践运用如图，已知O的直径CD为2，的度数为60，点B是的中点，在直径CD上作出点P，使BPAP的值最小，则BPAP的最小值为_ (3)拓展延伸如图，点P是四边形ABCD内一点，分别在边AB，BC上作出点M，点N，使PMPN的值最小，保留作图痕迹，不写作法【解析】(1)利用作法得到CE的长为BPPE的最小值；由AB2，点E是AB的中点，根据等边三角形的性质得到CEAB，BCEBCA30，BE1，再根据含30的直角三角形三边的关系得到CE的长度CE的长为BPPE的最小值在等边三角形ABC中，AB2，点E是AB的中点，CEAB，BCEBCA30，BE1，CEBE.故答案为；(2)过B点作弦BECD ，连接AE交CD于P点，连接OB，OE，OA，PB，根据垂径定得到CD平分BE，即点E与点B关于CD对称，则AE的长就是BPAP的最小值 【学生解答】解：(1)；(2)实践运用 如解图，过B作弦BECD，连接AE交CD于P点，连接OB，OE，OA，PB.BECD，CD平分BE，即点E与点B关于CD对称的度数为60，点B是的中点，BOC30，AOC60，EOC30，AOE603090，OAOE1，AEOA，AE的长就是BPAP的最小值故答案为； (3)分别作出点P关于AB和BC的对称点E和F，然后连接EF，EF交AB于点M，交BC于点N.拓展延伸如解图.1(2015绥化中考)如图，在矩形ABCD中，AB10，BC5.若点M，N分别是线段AC，AB上的两个动点，则BMMN的最小值是( B )A10 B8 C5 D6,(第1题图) ,(第2题图)2(2016贵阳模拟)如图，正方形ABCD的边长为4，点M在边DC上，且DM1，N为对角线AC上任意一点，则DNMN的最小值为( B )A3 B5C6 D无法确定 3(2016原创)如图，点P是边长为1的菱形ABCD对角线AC上一个动点，点M，N分别是AB，BC边上的中点，PMPN的最小值是( B )A2 B1 C. D.4(2016原创)几何模型： 条件：如下左图，A，B是直线l同旁的两个定点 问题：在直线l上确定一点P，使PAPB的值最小 方法：作点A关于直线l的对称点A，连接AB交l于点P，则PAPBAB的值最小(不必证明)模型应用：(1)如图，正方形ABCD的边长为2，E为AB中点，P是AC上一动点连接BD，由正方形对称性可知，B与D关于直线AC对称连接PE，PB，则PBPE的最小值是_；(2)如图，O的半径为2，点A，B，C在O上，OAOB，AOC60，P是OB上一动点，求PAPC的最小值；(3)如图，AOB30，P是AOB内一点，PO8，Q，R分别是OA，OB上的动点，求PQR周长的最小值 解：(1)；(2)如图，延长AO交O于点A，则点A，A关于直线OB对称，连接AC与OB相交于点P，连接AC.OAOC2，AOC60，AOC是等边三角形，AC2.AA4，ACA90，PAPCPAPCAC2，即PAPC的最小值是2； (3)如图，分别作P点关于OB，OA的对称点P1，P2，连接P1P2交OA于点Q，交OB于点R，OPOP1OP2，P1OBPOB，P2OAPOA，P1OP22AOB60，P1OP2是等边三角形，P1P2OP8，三角形PQR的周长PRPQRQP1RP2QRQP1P28，即PQR的周长的最小值为8.5(2014贵阳中考)如图，将一副直角三角形拼放在一起得到四边形ABCD，其中BAC45，ACD30，点E为CD边上的中点，连接AE，将ADE沿AE所在直线翻折得到ADE，DE交AC于F点若AB6 cm.(1)AE的长为_4_cm；(2)试在线段AC上确定一点P，使得DPEP的值最小，并求出这个最小值；(3)求点D到BC的距离 解：(1)4；(2)RtADC中，ACD30， ADC60. E为CD边上的中点， DEAE, ADE为等边三角形将ADE沿AE所在直线翻折得ADE, ADE为等边三角形， AED60， EACEADDAC30， EFA90， 即AC所在的直线垂直平分线段ED， 点E，D关于直线AC对称， 连接DD交AC于点P, 此时DPEP值为最小，且DPEPDD， ADE是等边三角形，ADAE4， DD2AD2612, 即DPEP最小值为12 cm；(3)连接CD，BD，过点D作DGBC于点G, AC垂直平分线ED， AEAD，CECD， AEEC，ADCD4， 在ABD和CBD中，ABDCBD(SSS), DBG45， DGGB, 设DG长为x cm，则CG长为(6x)cm，在RtGDC中，x2 (6x)2 (4)2 , 解得x13，x23(不合题意舍去), 点D到BC边的距离为(3)cm. 6(2016贵阳中考)如图，在矩形纸片ABCD中，AB4，AD12，将矩形纸片折叠，使点C落在AD边上的点M处，折痕为PE，此时PD3.(1)求MP的值；(2)在AB边上有一个动点F，且不与点A，B重合，当AF等于多少时，MEF的周长最小？(3)若点G，Q是AB边上的两个动点，且不与点A，B重合，GQ2，当四边形MEQG的周长最小时，求最小周长值(计算结果保留根号)解：(1)MP5；(2)如图1，作点M关于AB的对称点M，连接ME交AB于点F，则点F即为所求， 过点E作ENAD，垂足为N.AMADMPPD15534，AMAM4.矩形ABCD折叠，使点C落在AD边上的点M处，折痕为PE，CEPMEP，而CEPMPE，MEPMPE，MEMP5，在RtENM中，MN3，NM11.AFNE，AFMNEM，即，解得AF，即AF时，MEF的周长最小；(3)如图2，由(2)知点M是点M关于AB的对称点，连接MG，在EN上截取ER2，连接MR交AB于点G，再过点E作EQRG，交AB于点Q， EQRG，ERGQ，四边形ERGQ是平行四边形，QEGR.GMGM，MGQEGMGRMR，此时MGEQ最小，四边形MEQG的周长最小，在RtMRN中，NR422，MR5，ME5，GQ2，四边形MEQG的最小周长值是75.
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