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专题08 平面向量1已知向量，则ABC等于()A30B45C60D120答案A解析|1，|1，cosABC，ABC30.2已知非零向量m，n满足4|m|3|n|，cosm，n.若n(tmn)，则实数t的值为()A4B4C.D答案B3已知ABC是边长为1的等边三角形，点D，E分别是边AB，BC的中点，连接DE并延长到点F，使得DE2EF，则的值为()AB.C.D.答案B解析如图所示，.又D，E分别为AB，BC的中点，且DE2EF，所以，所以.又，则()2222.又|1，BAC60，故11.故选B.4如图，在ABC中，DEBC交AC于E，BC边上的中线AM交DE于N，设a，b，用a，b表示向量.则等于()A.(ab) B.(ab)C.(ab) D.(ab)答案C解析因为DEBC，所以DNBM，则ANDAMB，所以.因为，所以.因为M为BC的中点，所以()(ab)，所以(ab)故选C.5如图，BC、DE是半径为1的圆O的两条直径，2，则等于()ABCD答案B解析2，圆O的半径为1，|，()()2()()201.6在ABC中，(cos32，cos58)，(sin60sin118，sin120sin208)，则ABC的面积为()A.B.C.D.答案B解析|1，所以|.则cos32cos28sin32sin28(cos32cos28sin32sin28)cos(3228)cos60，故cos，.又，0，180，所以，60，故B180，18060120.故ABC的面积为S|sinB1sin120.故选B.7如图，在半径为1的扇形AOB中，AOB60，C为弧上的动点，AB与OC交于点P，则的最小值是_答案8已知向量a，b，|a|1，|b|2.若对任意单位向量e，均有|ae|be|，则ab的最大值是_答案解析由已知可得：|ae|be|aebe|(ab)e|，由于上式对任意单位向量e都成立|ab|成立6(ab)2a2b22ab12222ab.即652ab，ab.易错起源1、平面向量的线性运算例1、(1)设0，向量a(sin2，cos)，b(cos，1)，若ab，则tan_.(2)(2016课标全国乙)设D为ABC所在平面内一点，3，则()A.B.C.D.答案(1)(2)A【变式探究】(1)在ABC中，AB2，BC3，ABC60，AD为BC边上的高，O为AD的中点，若，则等于()A1B.C.D.(2)如图，正方形ABCD中，点E是DC的中点，点F是BC的一个三等分点，那么等于()A.B.C.D.答案(1)D(2)D解析(1)，2，即.故.(2)在CEF中，有.因为点E为DC的中点，所以.因为点F为BC的一个三等分点，所以.所以，故选D.【名师点睛】(1)对于平面向量的线性运算，要先选择一组基底；同时注意共线向量定理的灵活运用(2)运算过程中重视数形结合，结合图形分析向量间的关系【锦囊妙计，战胜自我】1在平面向量的化简或运算中，要根据平面向量基本定理选好基底，变形要有方向不能盲目转化2在用三角形加法法则时，要保证“首尾相接”，结果向量是第一个向量的起点指向最后一个向量终点所得的向量；在用三角形减法法则时，要保证“同起点”，结果向量的方向是指向被减向量易错起源2、平面向量的数量积例2、(1)如图，在平行四边形ABCD中，已知AB8，AD5，3，2，则的值是_(2)若b，|a|2|b|，且(ab)b2，则向量a，b的夹角为()A.B.C.D.答案(1)22(2)C(2)b2cos2cos2cos2sin21，所以|b|1，|a|2.由(ab)b2，可得abb22，故ab.故cosa，b.又a，b0，所以a，b，故选C.【变式探究】(1)已知点A，B，C，D在边长为1的方格点图的位置如图所示，则向量在方向上的投影为()AB1CD.(2)已知正方形ABCD的边长为1，点E是AB边上的动点，则的值为_；的最大值为_答案(1)A(2)11解析(1)不妨以点A为坐标原点，建立如图所示的平面直角坐标系，易得(2,3)，(4,2)，所以向量在方向上的投影为.故选A.(2)方法一分别以射线AB，AD为x轴，y轴的正方向建立平面直角坐标系，则A(0，0)，B(1,0)，C(1,1)，D(0,1)，设E(t,0)，t0,1，则(t，1)，(0，1)，所以(t，1)(0，1)1.因为(1,0)，所以(t，1)(1,0)t1，故的最大值为1.方法二由图知，无论E点在哪个位置，在方向上的投影都是CB1，|11，当E运动到B点时，在方向上的投影最大即为DC1，()max|11.【名师点睛】 (1)数量积的计算通常有三种方法：数量积的定义，坐标运算，数量积的几何意义；(2)可以利用数量积求向量的模和夹角，向量要分解成题中模和夹角已知的向量进行计算【锦囊妙计，战胜自我】1数量积的定义：ab|a|b|cos.2三个结论(1)若a(x，y)，则|a|.(2)若A(x1，y1)，B(x2，y2)，则|.(3)若a(x1，y1)，b(x2，y2)，为a与b的夹角，则cos.易错起源3、平面向量与三角函数例3、已知函数f(x)2cos2x2sinxcosx(xR)(1)当x0，)时，求函数f(x)的单调递增区间；(2)设ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且c3，f(C)2，若向量m(1，sinA)与向量n(2，sinB)共线，求a，b的值解(1)f(x)2cos2xsin2xcos2xsin2x12sin(2x)1，令2k2x2k，kZ，解得kxk，kZ，因为x0，)，所以f(x)的单调递增区间为0，(2)由f(C)2sin(2C)12，得sin(2C)，而C(0，)，所以2C(，)，所以2C，解得C.因为向量m(1，sinA)与向量n(2，sinB)共线，所以.由正弦定理得，由余弦定理得c2a2b22abcos，即a2b2ab9.联立，解得a，b2.【变式探究】已知平面向量a(sinx，cosx)，b(sinx，cosx)，c(cosx，sinx)，xR，函数f(x)a(bc)(1)求函数f(x)的单调递减区间；(2)若f，求sin的值解(1)因为a(sinx，cosx)，b(sinx，cosx)，c(cosx，sinx)，所以bc(sinxcosx，sinxcosx)，f(x)a(bc)sinx(sinxcosx)cosx(sinxcosx)则f(x)sin2x2sinxcosxcos2xsin2xcos2xsin.则当2k2x2k，kZ，即kxk，kZ时，函数f(x)为减函数所以函数f(x)的单调递减区间是，kZ.(2)由(1)知，f(x)sin，又f，则sin，sin.因为sin2cos21，所以cos.又sinsinsincoscossin，所以当cos时，sin；当cos时，sin.【名师点睛】在平面向量与三角函数的综合问题中，一方面用平面向量的语言表述三角函数中的问题，如利用向量平行、垂直的条件表述三角函数式之间的关系，利用向量模表述三角函数之间的关系等；另一方面可以利用三角函数的知识解决平面向量问题，在解决此类问题的过程中，只要根据题目的具体要求，在向量和三角函数之间建立起联系，就可以根据向量或者三角函数的知识解决问题【锦囊妙计，战胜自我】平面向量作为解决问题的工具，具有代数形式和几何形式的“双重型”，高考常在平面向量与三角函数的交汇处命题，通过向量运算作为题目条件1在ABC中，已知D是AB边上一点，若2，则等于()A.B.CD答案A解析在ABC中，已知D是AB边上一点，2，()，.2ABC是边长为2的等边三角形，已知向量a，b满足2a，2ab，则下列结论正确的是()A|b|1BabCab1D(4ab)答案D3在等腰ABC中，BAC90，ABAC2，2，3，则的值为()ABC.D.答案A解析由已知得到()()22，ABC是等腰直角三角形，BAC90，ABAC2，所以220022，故选A.4已知向量a，b满足(a2b)(ab)6，且|a|1，|b|2，则a与b的夹角为()A.B.C.D.答案B解析设a与b的夹角为，(a2b)(ab)6，且|a|1，|b|2，1ab86，ab1|a|b|cos，cos，又0，故选B.5已知平面向量a、b(a0，ab)满足|a|3，且b与ba的夹角为30，则|b|的最大值为()A2B4C6D8答案C解析令a，b，则ba，如图，b与ba的夹角为30，OBA30，|a|3，由正弦定理得，|b|6sinOAB6，故选C.6若点M是ABC所在平面内的一点，且满足53，则ABM与ABC的面积比值为_答案解析设AB的中点为D，由53，得3322，即32.如图所示，故C，M，D三点共线，且，也就是ABM与ABC对于边AB的两高之比为35，则ABM与ABC的面积比值为.7设向量(5cos，4sin)，(2,0)，则|的取值范围是_答案4,6解析(3cos，4sin)，|2(3cos)2(4sin)26cos8sin2610sin()26，其中tan，16|236，4|6.8设向量a(a1，a2)，b(b1，b2)，定义一种向量积ab(a1b1，a2b2)，已知向量m(2，)，n(，0)，点P(x，y)在ysinx的图象上运动，Q是函数yf(x)图象上的点，且满足mn(其中O为坐标原点)，则函数yf(x)的值域是_答案，9已知函数f(x)sinxcosxsin2x(xR)(1)当x时，求函数f(x)的最小值和最大值；(2)设ABC的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且c，f(C)2，若向量m(1，a)与向量n(2，b)共线，求a，b的值解(1)函数f(x)sinxcosxsin2x (xR)，f(x)sin2xsin2xcos2x1sin1.x，2x，sin1，1sin12，f(x)的最小值是1，最大值是2.(2)f(C)sin12，sin1，0C，2C，2C，解得C.向量m(1，a)与向量n(2，b)共线，b2a0，即b2a.由余弦定理得，c2a2b22abcos，即a2b2ab3.由得a1，b2.10已知向量a(cos，sin)，b(cosx，sinx)，c(sinx2sin，cosx2cos)，其中0x.(1)若，求函数f(x)bc的最小值及相应x的值；(2)若a与b的夹角为，且ac，求tan2的值解(1)b(cosx，sinx)，c(sinx2sin，cosx2cos)，f(x)bccosxsinx2cosxsinsinxcosx2sinxcos2sinxcosx(sinxcosx)令tsinxcosx，则2sinxcosxt21，且1t.则yt2t12，1t，t时，ymin，此时sinxcosx，即sin，x，x，x，x.函数f(x)的最小值为，相应x的值为.(2)a与b的夹角为，coscoscosxsinsinxcos(x)0x，0x，x.ac，cos(sinx2sin)sin(cosx2cos)0，sin(x)2sin20，即sin2sin20.sin2cos20，tan2.16
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