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第三节矩形、菱形和正方形,考点一矩形的判定和性质例1(2018山东临沂中考)将矩形ABCD绕点A顺时针旋转(0360)，得到矩形AEFG.(1)如图，当点E在BD上时，求证：FDCD；(2)当为何值时，GCGB？画出图形，并说明理由,【分析】(1)先运用SAS判定AEDFDE，可得DFAE，再根据AEABCD，即可得证；(2)当GBGC时，点G在BC的垂直平分线上，分两种情况讨论，依据DAG60，即可得到旋转角的度数,【自主解答】(1)由旋转可得AEAB，AEFABCDAB90，EFBCAD，AEBABE.又ABEEDA90AEBDEF，EDADEF.又DEED，AEDFDE(SAS)，DFEA.又AEABCD，CDDF.,(2)当GBGC时，点G在BC的垂直平分线上分两种情况讨论：如图，当点G在AD的右侧时，取BC的中点H，连结GH交AD于M，连结DG，CG，BG.,GCGB，GHBC，四边形ABHM是矩形，AMBHADAG，GM垂直平分AD，GDGADA，ADG是等边三角形，DAG60，旋转角60.,如图，当点G在AD的左侧时，连结CG，BG，DG.同理可得ADG是等边三角形，DAG60，旋转角36060300.,矩形的性质应用及判定方法(1)矩形性质的应用：从边上看，两组对边分别平行且相等；从角上看，矩形的四个角都是直角；从对角线上看，对角线互相平分且相等，同时把矩形分为四个面积相等的等腰三角形,(2)矩形的判定方法：若四边形可以证为平行四边形，则还需证明一个角是直角或对角线相等；若直角较多，可利用“三个角为直角的四边形是矩形”来证,1(2018浙江衢州中考)如图，将矩形ABCD沿GH折叠，点C落在点Q处，点D落在AB边上的点E处，若AGE32，则GHC等于()A112B110C108D106,D,2(2018山东青岛中考)已知：如图，ABCD，对角线AC与BD相交于点E，点G为AD的中点，连结CG，CG的延长线交BA的延长线于点F，连结FD.(1)求证：ABAF；(2)若AGAB，BCD120，判断四边形ACDF的形状，并证明你的结论,(1)证明：四边形ABCD是平行四边形，ABCD，ABCD，AFCDCG.GAGD，AGFCGD，AGFDGC，AFCD，ABAF.,(2)解：结论：四边形ACDF是矩形理由：AFCD，AFCD，四边形ACDF是平行四边形四边形ABCD是平行四边形，BADBCD120，FAG60.ABAGAF，,AFG是等边三角形，AGGF.AGFDGC，FGCG，AGGD，ADCF，四边形ACDF是矩形,考点二菱形的判定和性质例2(2018四川内江中考)如图，已知四边形ABCD是平行四边形，点E，F分别是AB，BC上的点，AECF，并且AEDCFD.求证：(1)AEDCFD；(2)四边形ABCD是菱形,【分析】(1)由全等三角形的判定定理ASA证得结论；(2)由“邻边相等的平行四边形为菱形”证得结论,【自主解答】(1)四边形ABCD是平行四边形，AC.在AED与CFD中，AEDCFD(ASA),(2)由(1)知AEDCFD，则ADCD.又四边形ABCD是平行四边形，四边形ABCD是菱形,菱形的性质应用及判定方法(1)判定一个四边形是菱形时，一是证明四条边相等；二是先证明它是平行四边形，进而再证明它是菱形(2)运用菱形的性质时，要注意菱形的对角线互相垂直这个条件；此外，菱形的对角线所在的直线是菱形的对称轴，运用这一性质可以求出线段和的最小值,3(2018江苏镇江中考)如图，点E，F，G分别在菱形ABCD的边AB，BC，AD上，AEAB，CFCB，AGAD.已知EFG的面积等于6，则菱形ABCD的面积等于_,27,4(2018广西柳州中考)如图，四边形ABCD是菱形，对角线AC，BD相交于点O，且AB2.(1)求菱形ABCD的周长；(2)若AC2，求BD的长,解：(1)四边形ABCD是菱形，AB2，菱形ABCD的周长248.(2)四边形ABCD是菱形，AC2，AB2，ACBD，AO1，,考点三正方形的判定和性质例3(2018山东聊城中考)如图，正方形ABCD中，E是BC上的一点，连结AE，过B点作BHAE，垂足为点H，延长BH交CD于点F，连结AF.(1)求证：AEBF.(2)若正方形边长是5，BE2，求AF的长,【分析】(1)根据ASA证明ABEBCF，可得结论；(2)根据(1)得ABEBCF，则CFBE2，最后利用勾股定理可得AF的长,【自主解答】(1)四边形ABCD是正方形，ABBC，ABEBCF90，BAEAEB90.BHAE，BHE90，AEBEBH90，BAEEBH.在ABE和BCF中，,ABEBCF(ASA)，AEBF.,(2)ABBC5，由(1)得ABEBCF，CFBE2，DF523.四边形ABCD是正方形，ABAD5，ADF90，由勾股定理得AF,判定正方形的方法及其特殊性(1)判定一个四边形是正方形，可以先判定四边形为矩形，再证邻边相等或者对角线互相垂直；或先判定四边形为菱形，再证有一个角是直角或者对角线相等(2)正方形既是特殊的矩形，又是特殊的菱形，具有它们的所有性质,5(2018山东青岛中考)已知正方形ABCD的边长为5，点E，F分别在AD，DC上，AEDF2，BE与AF相交于点G，点H为BF的中点，连结GH，则GH的长为_,6(2018浙江舟山中考)如图，等边AEF的顶点E，F在矩形ABCD的边BC，CD上，且CEF45.求证：矩形ABCD是正方形,证明：四边形ABCD是矩形，BDC90.AEF是等边三角形，AEAF，AEFAFE60.CEF45，CFECEF45，AFDAEB180456075，AEBAFD(AAS)，ABAD，矩形ABCD是正方形,考点四四边形综合题百变例题(2018山东枣庄中考改编)如图，将矩形ABCD沿AF折叠，使点D落在BC边上的点E处，过点E作EGCD交AF于点G，连结DG.(1)求证：四边形EFDG是菱形；(2)探究线段EG，GF，AF之间的数量关系，并说明理由；(3)若AG，EG，求BE的长,【分析】(1)根据翻折的性质和平行线的性质证明即可；(2)连结DE，交AF于点O.由菱形的性质可知GFDE，OGOFGF，然后证明DOFADF，由相似三角形的性质可证明DF2FOAF，于是可得到EG，AF，GF的数量关系；,(3)过点G作GHDC，垂足为H.利用(2)的结论可求得FG，然后在ADF中依据勾股定理可求得AD的长，然后再证明FGHFAD，利用相似三角形的性质可求得GH的长，最后依据BEADGH求解即可,【自主解答】(1)GEDF，EGFDFG.由翻折的性质可知GDGE，DFEF，DGFEGF，DGFDFG，GDDF，DGGEDFEF，四边形EFDG是菱形,(2)EG2GFAF.理由如下：如图，连结DE，交AF于点O.,(3)如图，过点G作GHDC，垂足为点H.,变式1：如图，若点G在BE上，AD10，AB6，CE2，将ABG沿AG折叠，点B恰好落在线段AE上的点H处求证：(1)FAG45；(2)SABGSEGH；(3)BGCEGE.,证明：由题意可知，BGGH，AEAD10，AHAB6，12，34.,(1)1234BAD90，23BAD9045，即FAG45.(2)AE10，AH6，HEAEAH1064.设BGx，GHBGx，GEADBGEC10x28x.在RtGHE中，GE2GH2HE2，,(8x)2x242，x3，即GHBG3，SABGABBG639，SGHEGHHE346，SABGSEGH.(3)GE8x835，BGEC325，BGCEGE.,变式2：如图，矩形ABCD中，AD10，AB6，若点M是BC边上一点，连结AM，把B沿AM折叠，使点B落在点B处，当CMB为直角三角形时，求BM的长,解：如图，当点B落在矩形内部时，连结AC，,在RtABC中，AB6，BC10，ACB沿AM折叠，使点B落在点B处，ABMB90.当CMB为直角三角形时，只能得到MBC90，点A，B，C共线，即B沿AM折叠，使点B落在对角线AC上的点B处，MBMB，ABAB6，CB26.,设BMx，则MBx，CM10x，在RtCMB中，MC2MB2CB2，(10x)2x2(26)2，解得x,如图，当点B落在AD边上时，此时四边形ABMB为正方形，BMAB6.综上所述，BM的长为或6.,易错易混点一正难则反，避实就虚例1我国著名数学家华罗庚曾说过：“数形结合百般好，隔裂分家万事休”如图，在一个边长为1的正方形纸板上，依次贴上面积为的矩形彩色纸片(n为大于1的整数)请用“数形结合”的思想，依数形变化的规律，计算.,易错易混点二矩形的判定掌握不牢固例2如图，在ABCD中，对角线AC与BD相交于点O，ABO是等边三角形，AB1，求ABCD的面积,
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