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2抛物线2.1抛物线及其标准方程课时目标1.掌握抛物线的定义、四种不同标准形式的抛物线方程、准线、焦点坐标及对应的几何图形.2.会利用定义求抛物线方程1抛物线的定义平面内与一个定点F和一条定直线l(l不过F)的距离_的点的集合叫做抛物线，点F叫做抛物线的_，直线l叫做抛物线的_2抛物线的标准方程(1)方程y22px，x22py(p0)叫做抛物线的标准方程(2)抛物线y22px(p0)的焦点坐标是_，准线方程是_，开口方向_(3)抛物线y22px(p0)的焦点坐标是_，准线方程是_，开口方向_(4)抛物线x22py(p0)的焦点坐标是_，准线方程是_，开口方向_(5)抛物线x22py(p0)的焦点坐标是_，准线方程是_，开口方向_一、选择题1抛物线y2ax(a0)的焦点到其准线的距离是()A. B. C|a| D2与抛物线y2x关于直线xy0对称的抛物线的焦点坐标是()A(1,0) B(，0) C(0,0) D(0，)3抛物线y22px(p0)上一点M到焦点的距离是a(a)，则点M的横坐标是()Aa BaCap Dap4已知抛物线的方程为标准方程，焦点在x轴上，其上点P(3，m)到焦点F的距离为5，则抛物线方程为()Ay28x By28xCy24x Dy24x5方程|xy3|表示的曲线是()A圆 B椭圆 C直线 D抛物线6已知点P是抛物线y22x上的一个动点，则点P到点(0,2)的距离与点P到该抛物线准线的距离之和的最小值为()A. B3 C. D.题号123456答案二、填空题7抛物线x212y0的准线方程是_8若动点P在y2x21上，则点P与点Q(0，1)连线中点的轨迹方程是_9已知抛物线x2y1上一定点A(1,0)和两动点P，Q，当PAPQ时，点Q的横坐标的取值范围是_三、解答题10已知抛物线的顶点在原点，对称轴为x轴，抛物线上的点M(3，m)到焦点的距离等于5，求抛物线的方程和m的值，并写出抛物线的焦点坐标和准线方程11.平面上动点P到定点F(1,0)的距离比P到y轴的距离大1，求动点P的轨迹方程能力提升12已知抛物线y22px(p0)的准线与圆(x3)2y216相切，则p的值为()A. B1 C2 D413AB为抛物线yx2上的动弦，且|AB|a (a为常数且a1)，求弦AB的中点M离x轴的最近距离1理解抛物线定义，并能判定一些有关抛物线的点的轨迹问题2四个标准方程的区分：焦点在一次项字母对应的坐标轴上，开口方向由一次项系数的符号确定当系数为正时，开口方向为坐标轴的正方向；系数为负时，开口方向为坐标轴的负方向3焦点在y轴上的抛物线的标准方程x22py通常又可以写成yax2，这与以前学习的二次函数的解析式是完全一致的，但需要注意的是，由方程yax2来求其焦点和准线时，必须先化成标准形式2抛物线21抛物线及其标准方程知识梳理1相等焦点准线2(2)(，0)x向右(3)(，0)x向左(4)(0，)y向上(5)(0，)y向下作业设计1B因为y2ax，所以p，即该抛物线的焦点到其准线的距离为.2Dy2x关于直线xy0对称的抛物线为x2y，2p，p，焦点为.3B由抛物线的定义知：点M到焦点的距离a等于点M到抛物线的准线x的距离，所以点M的横坐标即点M到y轴的距离为a.4B点P(3，m)在抛物线上，焦点在x轴上，所以抛物线的标准方程可设为y22px(p0)由抛物线定义知|PF|35.所以p4，所以抛物线的标准方程是y28x.5D原方程变形为，它表示点M(x，y)与点F(3,1)的距离等于点M到直线x y30的距离根据抛物线的定义，知此方程表示的曲线是抛物线6A如图所示，由抛物线的定义知，点P到准线x的距离d等于点P到焦点的距离|PF|.因此点P到点(0,2)的距离与点P到准线的距离之和可转化为点P到点(0,2)的距离与点P到点F的距离之和，其最小值为点M(0,2)到点F的距离，则距离之和的最小值为 .7y3解析抛物线x212y0，即x212y，故其准线方程是y3.8y4x29(，31，)解析由题意知，设P(x1，x1)，Q(x2，x1)，又A(1,0)，PAPQ，0，即(1x1,1x)(x2x1，xx)0，也就是(1x1)(x2x1)(1x)(xx)0.x1x2，且x11，上式化简得x2x1(1x1)1，由基本不等式可得x21或x23.10解设抛物线方程为y22px (p0)，则焦点F，由题意，得解得或故所求的抛物线方程为y28x，m2.抛物线的焦点坐标为(2,0)，准线方程为x2.11解方法一设P点的坐标为(x，y)，则有|x|1，两边平方并化简得y22x2|x|.y2即点P的轨迹方程为y24x (x0)或y0 (x0)方法二由题意，动点P到定点F(1,0)的距离比到y轴的距离大1，由于点F(1,0)到y轴的距离为1，故当x0时，直线y0上的点适合条件；当x0时，原命题等价于点P到点F(1,0)与到直线x1的距离相等，故点P在以F为焦点，x1为准线的抛物线上，其轨迹方程为y24x.故所求动点P的轨迹方程为y24x (x0)或y0 (x0)的准线与圆(x3)2y216相切于点(1,0)，所以1，p2.13解设A、M、B点的纵坐标分别为y1、y2、y3.A、M、B三点在抛物线准线上的射影分别为A、M、B，如图所示由抛物线的定义，知|AF|AA|y1，|BF|BB|y3，y1|AF|，y3|BF|.又M是线段AB的中点，y2(y1y3)(2a1)等号在AB过焦点F时成立，即当定长为a的弦AB过焦点F时，M点与x轴的距离最近，最近距离为(2a1)- 5 -
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