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第4节函数y=Asin(x+)的图象及应用 【选题明细表】知识点、方法题号三角函数图象及变换1,2,3,5,7,10,12三角函数模型及应用6,9,14综合问题4,8,11,13,15基础对点练(时间:30分钟)1.(2016广州质检)为了得到函数y=2sin(2x-)的图象,可以将函数y=2sin 2x的图象(A)(A)向右平移个单位长度(B)向右平移个单位长度(C)向左平移个单位长度(D)向左平移个单位长度解析:y=2sin(2x-)=2sin 2(x-).可由函数y=2sin 2x的图象向右平移个单位长度得到.2.(2016太原质检)已知函数f(x)=sin(x+)(0,|)的最小正周期是,若将f(x)的图象向右平移个单位后得到的图象关于原点对称,则函数f(x)的图象(B)(A)关于直线x=对称(B)关于直线x=对称(C)关于点(,0)对称(D)关于点(,0)对称解析:因为f(x)的最小正周期为,所以=,=2,所以f(x)的图象向右平移个单位后得到g(x)=sin2(x-)+=sin(2x-+)的图象,又g(x)的图象关于原点对称,所以-+=k,kZ,所以=+k,kZ,又|,所以|+k|1,所以T2,D不符合要求;对于B,振幅大于1,周期小于2,符合要求;对于A,应该0a2,但此图周期恰为2,不可能;对于C,-1a1,图象不满足此要求.故选B.4.(2016郑州检测)如图,函数f(x)=Asin(x+) (其中A0,0,|)的部分图象与坐标轴的三个交点P,Q,R满足P(1,0),M(2,-2)为线段QR的中点,则A的值为(C) (A)2 (B) (C) (D)4解析:依题意得,点Q的横坐标是4,R的纵坐标是-4,所以T=2|PQ|=6,Asin=-4,f()=A,所以=,Asin(+)=A,所以sin(+)=1,又|,所以+,所以+=,=-,所以Asin(-)=-4,A=,故选C.5.(2015河南六市第三次联考)为了得到函数y=sin(x+)的图象,可将函数y=sin x的图象向左平移m个单位长度,或向右平移n个单位长度(m,n均为正数),则|m-n|的最小值是(A)(A)(B)(C)(D)2解析:由y=sin x左移+2k1,k1N个单位,可以得到y=sin(x+)的图象,所以m=+2k1,k1N.同理可以向右平移n=+2k2,k2N个单位.即|m-n|=|2(k1-k2)-|.所以当k1-k2=1时,|m-n|的最小值为.6.(2015宁夏石嘴山高三联考)一个大风车的半径为8 m,12 min旋转一周,它的最低点P0离地面2 m,风车翼片的一个端点P从P0开始按逆时针方向旋转,则点P离地面距离h(m)与时间t(min)之间的函数关系式是(B) (A)h(t)=-8sint+10(B)h(t)=-8cost+10(C)h(t)=-8sint+8(D)h(t)=-8cost+8解析:设h(t)=Acos t+B,由题=12,所以=.又因为最大、最小值分别为18,2,所以所以h(t)=-8cost+10.7.将函数y=sin(2x+)(0)的图象向左平移个单位后,所得的函数恰好是偶函数,则的值是.解析:函数y=sin(2x+)的图象向左平移个单位后,得y=sin(2x+),则+=k+,kZ.又00,0,| )在一个周期内的图象如图所示,M,N分别是最大、最小值点,且=0,则A=.解析:由图象知T=4(-)=,所以=2.又M(,A),N(,-A),由已知=0,得(,A)(,-A)=0,解得A=,所以A=.答案:9.(2016龙岩调研)某城市一年中12个月的平均气温与月份的关系可近似地用函数y=a+Acos(x-6)(x=1,2,3,12)来表示,已知6月份的月平均气温最高为28,12月份的月平均气温最低为18,则10月份的平均气温为.解析:因为当x=6时,y=a+A=28;当x=12时,y=a-A=18,所以a=23,A=5,所以y=f(x)=23+5cos(x-6),所以当x=10时,f(10)=23+5cos(4)=23-5=20.5.答案:20.510.(2016潍坊质检)已知函数f(x)=2sin(2x+).(1)求f(x)的最小正周期和最大值;(2)画出函数y=f(x)在0,上的图象,并说明y=f(x)的图象是由y=sin 2x的图象怎样变换得到的.解:(1)f(x)=2sin(2x+),则f(x)的最小正周期T=.当2x+=2k+(kZ),即当x=k+(kZ)时,f(x)max=2.(2)列表如下:2x+2x0f(x)20-20根据列表,描点、连线,作图如下.y=f(x)的图象是由y=sin 2x的图象经过以下变换得到的:先将y=sin 2x的图象向左平移个单位,得到y=sin(2x+)的图象,再将y=sin(2x+)的图象上所有点的纵坐标伸长为原来的2倍,横坐标不变,得到y=2sin(2x+)的图象.11.(2016临沂质检)已知函数f(x)=2cos2x-1+2cos xsin x(01),直线x=是f(x)图象的一条对称轴.(1)试求的值;(2)已知函数y=g(x)的图象是由y=f(x)图象上各点的横坐标伸长到原来的2倍,然后再向左平移个单位长度得到的,若g(2+)=,(0, ),求sin 的值.解:(1)f(x)=2cos2x-1+2cos xsin x=cos 2x+sin 2x=2sin(2x+).由于直线x=是函数f(x)=2sin(2x+)图象的一条对称轴,所以sin(+)=1.所以+=k+(kZ).所以=k+(kZ).又01,所以-k.又因为kZ,从而k=0,所以=.(2)由(1)知f(x)=2sin(x+),由题意可得g(x)=2sin(x+)+,即g(x)=2cos x.因为g(2+)=2cos(+)=,所以cos(+)=.又(0, ),所以+0)个单位,向右平移n(n0)个单位,所得到的两个图象都与函数y=sin(2x+)的图象重合,则m+n的最小值为(C)(A)(B)(C)(D)解析:利用图象变换的结论,函数y=sin 2x(xR)的图象向左平移m(m0)个单位,得函数y=sin2(x+m)=sin(2x+2m)的图象,向右平移n(n0)个单位,得函数y=sin2(x-n)=sin(2x-2n)的图象,它们都与函数y=sin(2x+)的图象重合,则最小的m,n应该为2m=,2-2n=,从而m+n=.14.如图所示,某市拟在长为8 km的道路OP的一侧修建一条运动赛道,赛道的前一部分为曲线段OSM,该曲线段为函数y=Asin x(A0,0),x0,4的图象,且图象的最高点为S(3,2),赛道的后一部分为折线段MNP,求A,的值和M,P两点间的距离. 解:依题意,有A=2,=3,又T=,所以=,所以y=2sinx,x0,4,所以当x=4时,y=2sin=3,所以M(4,3),又P(8,0),所以MP=5(km),即M,P两点间的距离为5 km.15.(2015锦州月考)如图是函数f(x)=Asin(x+) (A0,0,0)的部分图象,M,N是它与x轴的两个交点,D,C分别为它的最高点和最低点,点F(0,1)是线段MD的中点,=.(1)求函数f(x)的解析式;(2)求函数f(x)的单调递增区间.解:(1)由已知F(0,1)是线段MD的中点,可知A=2,因为=(T为f(x)的最小正周期),所以T=,=3,所以f(x)=2sin(3x+).设D点的坐标为(xD,2),则由已知得点M的坐标为(-xD,0),所以xD-(-xD)=T=,则xD=,则点M的坐标为(-,0),所以sin(-)=0.因为00,且|)的部分图象如图所示,则函数f(x)的一个单调递增区间是(D) (A)-,(B)-,-(C)-,(D)-,解题关键:注意数形结合思想在本题中的应用,分析给出的数据与周期的关系以及的取值.解析:由函数的图象可得T=-,所以T=,则=2.又图象过点(,2),所以2sin(2+)=2,所以=-+2k,kZ.因为|0,|)的最小正周期是,若其图象向右平移个单位后得到的函数为奇函数,则函数f(x)的图象(D)(A)关于点(,0)对称(B)关于直线x=对称(C)关于点(,0)对称(D)关于直线x=对称解题关键:解决本题的关键是平移之后得到函数为奇函数,可以求得,从而求得解析式.解析:由函数的最小正周期是可知=2,所以有f(x)=sin(2x+),向右平移个单位后有f(x)=sin2(x-)+=sin(2x+-)是奇函数,所以-=k(kZ).因为|,所以=-,所以f(x)=sin(2x-),关于点(,0)对称,关于直线x=对称.10
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