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第2节等差数列【选题明细表】知识点、方法题号等差数列的判定与证明13,14等差数列的基本运算1,3,10等差数列的性质2,4,8,9等差数列的单调性、最值5,7,12等差数列的综合应用6,11,15基础对点练(时间:30分钟)1.(2016昆明一中月考)设Sn为等差数列an的前n项和,若a3=3,S9-S6=27,则该数列的首项a1等于(D)(A)-(B)-(C)(D)解析:由得解得a1=.故选D.2.(2015河北石家庄二模)已知数列an为等差数列,且a1+a7+a13=4,则a2+a12的值为(B)(A)(B)(C)2(D)4解析:因为a1+a7+a13=3a7=4,所以a7=.所以a2+a12=2a7=2=.3.(2016云南第二次检测)设Sn是等差数列an的前n项和,若=,则等于(D)(A)(B)(C)4(D)5解析:因为=,所以=,解得a1=-.所以=5.4.(2015郑州第一次质量预测)已知数列an是等差数列,其前n项和为Sn,若a1a2a3=10,且=,则a2等于(A)(A)2(B)3(C)4(D)5解析:因为S5=5a3,又=,所以=,所以a1a3=5,又a1a2a3=10,所以a2=2.5.设等差数列an的前n项和为Sn,若a2=-9, a3+a7=-6,则当Sn取得最小值时,n等于(D)(A)9(B)8(C)7(D)6解析:因为a3+a7=2a5=-6,所以a5=-3,所以d=2,所以a6=-1,a7=1,所以S6最小.故选D.6.(2015高考北京卷)设an是等差数列.下列结论中正确的是(C)(A)若a1+a20,则a2+a30(B)若a1+a30,则a1+a20(C)若0a1(D)若a10解析:因为an为等差数列,所以2a2=a1+a3.当a2a10时,得公差d0,所以a30,所以a1+a32,所以2a22,即a2,故选C.7.(2016湖南省师范大学附属中学高三上月考)已知数列an为等差数列,其前n项和为Sn,且1+0的n的最大值为.解析:因为Sn有最大值,则数列an单调递减.又0,a110,且a10+a110,S20=20=10(a10+a11)0,故n的最大值为19.答案:198.(2016黑龙江高三模拟)等差数列an中,a4+a8+a12=6,则a9-a11=.解析:法一因为a4+a8+a12=6,所以3a8=6,所以a8=2.所以a9-a11=a1+8d-(a1+10d)=a1+d=(a1+7d)=a8=.法二因为a4+a8+a12=6,所以3a8=6,所以a8=2.所以a9-a11=(3a9-a11)=(a9+a7+a11-a11)= (a9+a7)=a8=.答案:9.由正数组成的等差数列an和bn的前n项和分别为Sn和Tn,且=,则=.解析:由S5=5a3,T5=5b3,得=.答案:10.(2016河北模拟)若等差数列an的公差d1,nN*).(1)求a1,a2及通项an;(2)设Sn为数列an的前n项和,则数列S1,S2,S3,中哪一项最小?解:(1)因为数列an满足a3=-13,an=an-1+4,所以an-an-1=4,即数列an为等差数列且公差为d=4,所以a2=a3-d=-13-4=-17,a1=a2-d=-17-4=-21,所以通项an=a1+(n-1)d=-21+4(n-1)=4n-25.(2)令an=4n-250可解得n,所以数列an的前6项为负值,从第7项开始为正数,所以数列S1,S2,S3,中S6最小.能力提升练(时间:15分钟)12.(2015甘肃二诊)设等差数列an的前n项和为Sn,且满足S170,S180,所以a90,又S18=9(a1+a18)=9(a9+a10)0,所以a100,0,0,0,0,而S1S2a2a9,所以,中最大的项为.13.正项数列an满足:a1=1,a2=2,2=+(nN*,n2),则a7=.解析:因为2=+ (nN*,n2),所以数列是以=1为首项,以d=-=4-1=3为公差的等差数列,所以=1+3(n-1)=3n-2,所以an=,n1.所以a7=.答案:14.已知等差数列的前三项依次为a,4,3a,前n项和为Sn,且Sk=110.(1)求a及k的值;(2)设数列bn的通项公式bn=,证明数列bn是等差数列,并求其前n项和Tn.解:(1)设该等差数列为an,则a1=a,a2=4,a3=3a,由已知有a+3a=8,得a1=a=2,公差d=4-2=2,所以Sk=ka1+d=2k+2=k2+k.由Sk=110,得k2+k-110=0,解得k=10或k=-11(舍去),故a=2,k=10.(2)由(1)得Sn=n(n+1),则bn=n+1,故bn+1-bn=(n+2) -(n+1)=1,即数列bn是首项为2,公差为1的等差数列,所以Tn=.15.(2015南昌模拟)已知数列an满足a1=1,an=(nN*,n2),数列bn满足关系式bn=(nN*).(1)求证:数列bn为等差数列;(2)求数列an的通项公式.(1)证明:因为bn=,且an=,所以bn+1=.所以bn+1-bn=-=2.又b1=1,所以数列bn是首项为1,公差为2的等差数列.(2)解:由(1)知数列bn的通项公式为bn=1+(n-1)2=2n-1,又bn=,所以an=.所以数列an的通项公式为an=.精彩5分钟1.(2015江西校级二模)已知函数f(x)=x2-2x+4,数列an是公差为d的等差数列,若a1=f(d-1),a3=f(d+1),则an的通项公式为(B)(A)an=2n-2(B)an=2n+1(C)an=2n+3(D)an=n+2解题关键:解决本题的关键是构建方程求出d.解:因为f(x)=x2-2x+4,所以a1=f(d-1)=(d-1)2-2(d-1)+4=d2-4d+7,a3=f(d+1)=(d+1)2-2(d+1)+4=d2+3,所以a3-a1=4d-4,即2d=4d-4,解得d=2,所以a1=3,所以an=3+2(n-1)=2n+1.2.等差数列an满足a3=3,a6=-3,则数列an的前n项和Sn的最大值为.解题关键:解出a1和d,采用Sn=An2+Bn利用函数求最值,也可利用通项公式求最值.解析:法一由a3=3,a6=-3得,解得所以Sn=na1+d=-n2+8n=-(n-4)2+16.所以当n=4时Sn取最大值16.法二由a3=3,a6=-3得解得所以an=9-2n.则n4时,an0,当n5时,an0,故前4项和最大且S4=47+(-2)=16.答案:166
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