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第7节立体几何中的向量方法第一课时证明平行和垂直【选题明细表】知识点、方法题号利用向量解决平行问题1,2利用向量解决垂直问题3,41.已知正方体ABCDA1B1C1D1的棱长为2,E, F分别是BB1,DD1的中点.求证:FC1平面ADE.证明: 如图所示,建立空间直角坐标系Dxyz,则有D(0,0,0),A(2,0, 0),C(0,2,0),C1(0,2,2),E(2,2,1),F(0,0,1).=(0,2,1),=(2,0,0),=(0,2,1).设n=(x,y,z)是平面ADE的一个法向量,则即解得令z=2,则y=-1.所以n=(0,-1,2).因为n=-2+2=0.所以n.因为FC1平面ADE,所以FC1平面ADE.2.已知正方体ABCDA1B1C1D1的棱长为1,E,F,G分别为AB,AD,AA1的中点,求证:平面EFG平面B1CD1.证明: 建立如图所示的空间直角坐标系Dxyz,则A(1,0,0),B(1,1,0),C(0,1, 0),D(0,0,0),A1(1,0,1),B1(1,1,1),D1(0,0,1).得E(1,0),F(,0,0),G(1,0,),=(-,-,0),=(0,-,).设n1=(x1,y1,z1)为平面EFG的法向量,设n2=(x2,y2,z2)为平面B1CD1的法向量.则即令x1=1,可得y1=-1,z1=-1,同理可得x2=1,y2=-1,z2=-1.即n1=(1,-1,-1),n2=(1,-1,-1).由n1=n2,得平面EFG平面B1CD1.3. 如图所示,正三棱柱ABCA1B1C1的所有棱长都为2,D为CC1的中点.求证:AB1平面A1BD.证明: 如图所示,取BC的中点O,连接AO.因为ABC为正三角形,所以AOBC.因为在正三棱柱ABCA1B1C1中,平面ABC平面BCC1B1,所以AO平面BCC1B1.取B1C1的中点O1,以O为原点,以,为x轴,y轴,z轴的正方向建立空间直角坐标系,则B(1,0,0),D(-1,1,0),A1(0,2,),A(0,0,),B1(1,2,0).= (-1,2,),=(-2,1,0).设平面A1BD的法向量为n=(x,y, z),则n,n,故令x=1,得y=2,z=-,故n=(1,2,-)为平面A1BD的一个法向量,而=(1,2,-),所以n,即AB1平面A1BD.4.(2016安阳模拟)在四棱锥PABCD中,底面ABCD为正方形,PD平面ABCD,E,F分别为棱AD,PB的中点,且PD=AD.求证:平面CEF平面PBC.证明: 建立如图所示的空间直角坐标系,设A(1,0,0),则P(0,0,1),C(0,1,0),B(1,1,0),E(,0,0),F(,),设平面CEF的一个法向量为n1=(x,y,z).则得取x=1,则n1=(1,-),同理,求得平面PBC的一个法向量为n2=(0,).因为n1n2=10+-=0,所以n1n2.所以平面CEF平面PBC.【教师备用】 (2016四平模拟)如图,在棱长为1的正方体ABCDA1B1C1D1中,E,F,G分别为A1B1,B1C1,C1D1的中点.(1)求证:AG平面BEF;(2)试在棱BB1上找一点M,使DM平面BEF,并证明你的结论.(1)证明:以D为坐标原点,DA,DC, DD1所在直线分别为x轴,y轴和z轴建立空间直角坐标系,则A(1,0,0),B(1,1,0),E(1,1),F(,1,1),G(0, ,1),=(-,0),= (-,0,1),而=(-1,1),所以=+,故与平面BEF共面,又因为AG不在平面BEF内,所以AG平面BEF.(2)解:设M(1,1,m),则=(1,1,m),由=0,=0,所以-+m=0m=,所以M为棱BB1的中点时,DM平面BEF.4
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