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第三课时利用导数证明不等式专题【选题明细表】知识点、方法题号构造法证明不等式1,4等价转化法证明不等式2赋值法证明不等式31.(2015高考福建卷)已知函数f(x)=ln x-.(1)求函数f(x)的单调递增区间;(2)证明:当x1时,f(x)1,当x(1,x0)时,恒有f(x)k(x-1).(1)解:f(x)=-x+1=,x(0,+),由f(x)0,得解得0x.故f(x)的单调递增区间是(0,).(2)证明:令F(x)=f(x)-(x-1),x(0,+),则F(x)=.当x(1,+)时,F(x)1时,F(x)1时,f(x)1满足题意.当k1时,对于x1,有f(x)x-1k(x-1),则f(x)1满足题意.当k1时,令G(x)=f(x)-k(x-1),x(0,+),则G(x)=-x+1-k=,由G(x)=0得,-x2+(1-k)x+1=0,解得x1=1.当x(1,x2)时,G(x)0,故G(x)在1,x2)内单调递增,从而当x(1,x2)时,G(x)G(1)=0,即f(x)k(x-1),综上,k的取值范围是(-,1).2.(2015皖南八校联考)已知函数f(x)=xln x+mx(mR)的图象在点(1,f(1)处的切线的斜率为2.(1)求实数m的值;(2)设g(x)=,讨论g(x)的单调性;(3)已知m,nN*且mn1,证明.(1)解:因为f(x)=xln x+mx,所以f(x)=1+ln x+m.由题意f(1)= 1+ln 1+m=2,得m=1.(2)解:g(x)=(x0,x1),所以g(x)=.设h(x)=x-1-ln x,h(x)=1-.当x1时,h(x)=1-0,h(x)是增函数,h(x)h(1)=0,所以g(x)=0,故g(x)在(1,+)上为增函数;当0x1时,h(x)= 1-h(1)=0,所以g(x)=0,故g(x)在(0,1)上为增函数;所以g(x)在区间(0,1)和(1,+)上都是单调递增的.(3)证明:由已知可知要证,即证-ln n-ln m,即证ln mln n,即证,即证g(m)g(n),又mn1(m,nN*),由(2)知g(m)g(n)成立,所以.3.(2016东北三省四市教研联合体模拟)已知函数f(x)=aln x-ax-3(a0).(1)讨论f(x)的单调性;(2)求证ln (22+1)+ln (32+1)+ln (42+1)+ln (n2+1)0),当a0时,f(x)的单调增区间为(0,1,单调减区间为1,+);当af(1),即-ln x+x-10,所以ln xx-1对一切x(1,+)成立.因为n2,nN*,则有ln (+1)=-,要证ln (22+1)+ln (32+1)+ln (42+1)+ln (n2+1)1+2ln n!(n2,nN*),只需证ln (+1)+ln (+1)+ln (+1)1(n2,nN*),ln (+1)+ln (+1)+ln (+1) (1-)+(-)+(-)=1-1时,.(1)解:因为f(x)=,由已知f(e)=-,所以-=-.得a=1.所以f(x)=.f(x)=-(x0).当x(0,1)时,f(x)0,f(x)为增函数;当x(1,+)时,f(x)0,f(x)为减函数.所以x=1是函数f(x)的极大值点.又f(x)在(m,m+1)上存在极值,所以m1m+1,即0m,即为,令g(x)=,则g(x)=再令(x)=x-ln x,则(x)=1-=.因为x1,所以(x)0,所以(x)在(1,+)上是增函数,所以(x)(1)=10,所以g(x)0,所以g(x)在(1,+)上是增函数,所以x1时,g(x)g(1)=2.故.令h(x)=.则h(x)=2=因为x1,所以1-ex0,所以h(x)1时,h(x)h(x),即.5
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