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第4节双曲线【选题明细表】知识点、方法题号双曲线定义和标准方程1,6,9,11,14双曲线的几何性质2,3,4,5,7,10,12双曲线的综合问题8,13,15基础对点练(时间:30分钟)1.已知方程-=1表示双曲线,则的取值范围是(C)(A)(-,-2) (B)(1,+)(C)(-,-2)(-1,+)(D)(-1,+)解析:根据题意知(2+)(1+)0,解得-1或2,所以e=.故选C.4.(2016邯郸模拟)已知点A,B是双曲线-=1的左、右顶点,P为双曲线上除顶点外的一点,记kPA,kPB分别表示直线PA,PB的斜率,若kPAkPB=,则该双曲线的离心率为(C)(A)3(B)2(C)(D)解析:由题意知A(-a,0),B (a,0),设P(m,n),所以kPAkPB=,又点P在双曲线上,所以-=1,化简得n2=,所以kPAkPB=.所以e=.故选C.5.(2015石家庄二检)已知F是双曲线-=1(a0)的右焦点,O为坐标原点,设P是双曲线C上一点,则POF的大小不可能是(C)(A)15(B)25(C)60(D)165解析:因为两条渐近线y=x的倾斜角分别为30,150,所以0POF30或150POF180,故选C.6.(2016宜春模拟)已知双曲线-=1的一个焦点与抛物线y2=4x的焦点重合,且双曲线的离心率等于,则该双曲线的方程为(D)(A)5x2-=1(B)-=1(C)-=1 (D)5x2-=1解析:因为抛物线的焦点为F(1,0),所以c=1.又=,所以a=,所以b2=c2-a2=1-=.故所求方程为5x2-=1.7.(2015高考四川卷)过双曲线x2-=1的右焦点且与x轴垂直的直线,交该双曲线的两条渐近线于A,B两点,则|AB|等于(D)(A)(B)2 (C)6(D)4解析:双曲线x2-=1的右焦点为F(2,0),其渐近线方程为xy=0.不妨设A(2,2),B(2,-2),所以|AB|=4,故选D.8.(2015银川一模)若点A(m,0)到双曲线-y2=1的一个顶点的距离是A到双曲线上各点的距离的最小值,则m的取值范围是(B)(A)-3,3(B)-,(C)-2,2(D)-,解析: 由题意知,a=2,b=1,c=,双曲线的左、右顶点分别为M(-2,0),N(2,0),显然当-2m0时,点A(m,0)到双曲线左顶点的距离最短;当02时,设双曲线右支上任意一点P(x,y),|PA|2=(x-m)2+y2=(x-m)2+-1|AN|2=(2-m)2,化简得(2x-4)mx2-5,当x=2时,不等式恒成立,当x2时,m(x+2),故m;同理,当m0,b0),因为点A在双曲线上,所以=1,即a2=9.因为A,B两点恰好将此双曲线的焦距三等分.所以双曲线的焦点为(0,-9),(0,9).a2+b2=81,所以b2=72.此双曲线的标准方程为-=1.答案:-=112. (2015贵阳监测)已知点P是双曲线C:-=1(a0,b0)左支上一点,F1,F2是双曲线的左、右两个焦点,且PF1PF2,PF2与两条渐近线相交于M,N两点(如图),点N恰好平分线段PF2,则双曲线的离心率是.解析:由题意可知,ON为PF1F2的中位线,所以PF1ON,所以tanPF1F2=tanNOF2=kON=,所以解得又|PF2|-|PF1|=2a,所以2b-2a=2a,b=2a,c=a,e=.答案:13.(2016大连双基测试)已知离心率e=的双曲线C:- =1(a0,b0)的右焦点为F,O为坐标原点,以OF为直径的圆与双曲线C的一条渐近线相交于O,A两点,若AOF的面积为4,则a的值为.解析:因为e=,所以=,=,设|AF|=m,则|OA|=2m,SAOF=m2m=4,所以m=2,由勾股定理,得c=2,又=,所以a=4.答案:4【教师备用】 (2016日照模拟)已知F1,F2为双曲线-=1(a0,b0)的焦点,过F2作垂直于x轴的直线交双曲线于点P和Q.且F1PQ为正三角形,则双曲线的渐近线方程为.解析:设F2(c,0)(c0),P(c,y0),代入双曲线方程得y0=,因为PQx轴,所以|PQ|=.在RtF1F2P中,PF1F2=30,所以|F1F2|=|PF2|,即2c=.又因为c2=a2+b2,所以b2=2a2或2a2=-3b2(舍去).因为a0,b0,所以=.故所求双曲线的渐近线方程为y=x.答案:y=x能力提升练(时间:15分钟)14.(2015开封摸底考试)从双曲线-=1(a0,b0)的左焦点F引圆x2+y2=a2的切线,切点为T,延长FT交双曲线右支于P点,若M为线段FP的中点,O为坐标原点,则|MO|-|MT|与b-a的关系为(C)(A)|MO|-|MT|b-a(B)|MO|-|MT|0,y00)满足=,则-等于(C)(A)-1(B)1(C)2(D)4解析:由条件,得F1(-3,0),F2(3,0).因为=,所以=即=5,化简整理,得y0=x0+, 又P在双曲线上,所以把代入双曲线-=1,解得x0=3(负值舍去),所以P(3,),所以直线PF1的方程为5x-12y+15=0,所以点M到直线PF1的距离d=1.易知点M到x轴、直线PF2的距离均为1,所以点M是PF1F2的内心,所以-=(|-|)1=41=2,故选C.【教师备用】如图,已知双曲线-=1(a0,b0)上有一点A,它关于原点的对称点为B,点F为双曲线的右焦点,且满足AFBF,设ABF=(,),则双曲线的离心率e的取值范围为.解析:设左焦点为F,令|AF|=r1,|AF|=r2,则|BF|=|FA|=r2,所以r2-r1=2a,因为点A关于原点O的对称点为B,AFBF,所以|OA|=|OB|=|OF|=c,所以+=4c2,所以r1r2=2(c2-a2),因为SABF=2SAOF,所以r1r2=2c2sin 2,所以r1r2=2c2sin 2,所以c2sin 2=c2-a2,所以e2=,因为 ,所以sin 2,所以e2=2,(+1)2,所以e,+1.答案:,+1精彩5分钟1.过双曲线-=1(a0,b0)的左焦点F作圆O:x2+y2=a2的两条切线,切点为A,B,双曲线左顶点为C,若ACB=120,则双曲线的渐近线方程为(A)(A)y=x(B)y=x(C)y=x(D)y=x解题关键:数形结合求出a,c的关系.解析: 如图所示,连接OA,OB,设双曲线-=1(a0,b0)的焦距为2c(c0),则C(-a,0),F(-c,0).由双曲线和圆的对称性知,点A与点B关于x轴对称,则ACO=BCO=ACB=120=60.因为|OA|=|OC|=a,所以ACO为等边三角形,所以AOC=60.因为FA与圆O切于点A,所以OAFA,在RtAOF中,AFO=90-AOF=90-60=30,所以|OF|=2|OA|,即c=2a,所以b=a,故双曲线-=1(a0,b0)的渐近线方程为y=x,即y=x.故选A.2.若双曲线-=1(a0,b0)上存在点P,满足以|OP|为边长的正方形的面积等于2ab(其中点O为坐标原点),则该双曲线的离心率的取值范围是.解题关键:设出点P坐标,建立关于a, b的关系式,再利用|OP|2a2即可求解.解析:设P(x0,y0),则以|OP|为边长的正方形的面积S=|OP|2=+=2ab,又+a2,所以2aba2,则,故e2=1+()2,所以e,+).答案:,+)8
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