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第5节抛物线 【选题明细表】知识点、方法题号抛物线的定义与应用4,8,14抛物线的标准方程及应用1,2,7直线与抛物线的位置关系3,5,9抛物线的综合应用6,10,11,12,13,15基础对点练(时间:30分钟)1.(2015沈阳质量监测)抛物线y=4ax2(a0)的焦点坐标是(C)(A)(0,a) (B)(a,0)(C) (0, )(D) (,0)解析:将y=4ax2(a0)化为标准方程得x2=y(a0),所以焦点坐标为(0, ).2.(2016唐山一模)已知抛物线的焦点F(a,0)(a0),过其焦点且斜率为1的直线交抛物线于A,B两点,若线段AB的中点的纵坐标为2,则该抛物线的准线方程为(B)(A)x=1(B)x=-1(C)x=2(D)x=-2解析:设A(x1,y1),B(x2,y2),由题意知直线AB的方程为y=x-,与y2=2px联立得y2-2py-p2=0,所以y1+y2=2p,由题意知y1+y2=4,所以p=2,所以抛物线的方程为y2=4x,其准线方程为x=-1,故选B.4.(2016郑州第一次质量预测)已知点P(a,b)是抛物线x2=20y上一点,焦点为F,|PF|=25,则|ab|等于(D)(A)100(B)200(C)360(D)400解析:根据抛物线的定义可知,准线方程为y=-5,|PF|=b+5=25,所以b=20.又点P(a,b)是抛物线x2=20y上一点,所以a2=2020,所以a=20,所以|ab|=400.5.直线l:x-y-m=0经过抛物线C:y2=2px(p0)的焦点,l与C交于A,B两点,若|AB|=6,则p的值为(B)(A)(B)(C)1(D)2解析:因为直线l过抛物线的焦点,所以m=.联立得,x2-3px+=0.设A(x1,y1),B(x2,y2),则x1+x2=3p,故|AB|=x1+x2+p=4p=6,p=.6.(2016云南统一检测)已知抛物线C的顶点是原点O,焦点F在x轴的正半轴上,经过F的直线与抛物线C交于A,B两点,如果=-12,那么抛物线C的方程为(C)(A)x2=8y(B)x2=4y(C)y2=8x(D)y2=4x解析:由题意,设抛物线方程为y2=2px(p0),直线方程为x=my+,联立消去x得y2-2pmy-p2=0,设A(x1,y1),B(x2,y2),则y1+y2=2pm,y1y2=-p2,得=x1x2+y1y2=(my1+) (my2+)+y1y2=m2y1y2+(y1+y2)+y1y2=-p2=-12p=4,即抛物线C的方程为y2=8x.7.(2015高考陕西卷)若抛物线y2=2px(p0)的准线经过双曲线x2-y2=1的一个焦点,则p=.解析:y2=2px的准线方程为x=-,又p0,所以x=-必经过双曲线x2-y2=1的左焦点(-,0),所以-=-,p=2.答案:28.已知以F为焦点的抛物线y2=4x上的两点A,B满足=3,则弦AB的中点到准线的距离为.解析:如图,F为抛物线的焦点,作AH垂直准线于点H,交y轴于点D,作BG垂直准线于点G,交y轴于点C. 因为y2=4x,所以p=2,|OF|=1,设直线AB为y=k(x-1),代入抛物线方程得k2x2-(2k2+4)x+k2=0,所以xAxB=1.因为=,所以=,联立解得xA=3,xB=,所以AB中点到准线的距离为=.答案:9.(2015洛阳统考)过抛物线y2=4x的焦点F的直线交抛物线于A,B两点,若|AF|=5,则|BF|=.解析:由题意,设A(x1,y1),B(x2,y2),则|AF|=x1+1=5x1=4,=4x1=16,根据对称性,不妨取y1=4,所以直线AB:y=x-,代入抛物线方程可得,4x2-17x+4=0,所以x2=,所以|BF|=x2+1=.答案:10.(2015唐山统考)已知抛物线y2=2px(p0),过点C(-2,0)的直线l交抛物线于A,B两点,坐标原点为O,=12.(1)求抛物线的方程;(2)当以AB为直径的圆与y轴相切时,求直线l的方程.解:(1)设l:x=my-2,代入y2=2px,得y2-2pmy+4p=0.(*)设A(x1,y1),B(x2,y2),则y1+y2=2pm,y1y2=4p,则x1x2=4.因为=12,所以x1x2+y1y2=12,即4+4p=12.得p=2,抛物线的方程为y2=4x.(2)(1)中(*)式可化为y2-4my+8=0,y1+y2=4m,y1y2=8.设AB的中点为M,则|AB|=2xM=x1+x2=m(y1+y2)-4=4m2-4,又|AB|=|y1-y2|=,由得(1+m2)(16m2-32)=(4m2-4)2,解得m2=3,m=.所以直线l的方程为x+y+2=0或x-y+2=0.能力提升练(时间:15分钟)11.(2015高考浙江卷)如图,设抛物线y2=4x的焦点为F,不经过焦点的直线上有三个不同的点A,B,C,其中点A,B在抛物线上,点C在y轴上,则BCF与ACF的面积之比是(A) (A)(B)(C)(D)解析:由题可知抛物线的准线方程为x=-1.如图所示,过A作AA2y轴于点A2,过B作BB2y轴于点B2, 则=.12.(2015高考四川卷)设直线l与抛物线y2=4x相交于A,B两点,与圆(x-5)2+y2=r2(r0)相切于点M,且M为线段AB的中点,若这样的直线l恰有4条,则r的取值范围是(D)(A)(1,3)(B)(1,4)(C)(2,3)(D)(2,4)解析:当直线l的斜率不存在时,这样的直线l恰有2条,即x=5r,所以0r2,又4x0,即r2-412,所以0r4,又0r2,所以2r0,即1-b0)于A,B两点,直线l2:x=-2交x轴于点Q.(1)设直线QA,QB的斜率分别为k1,k2,求k1+k2的值;(2)点P为抛物线C上异于A,B的任意一点,直线PA,PB交直线l2于M,N两点,=2,求抛物线C的方程.解:(1)设直线l1的方程为x=my+2,A(x1,y1),B(x2,y2),联立得y2-2pmy-4p=0,y1+y2=2pm,y1y2=-4p.k1+k2=+=+=0.(2)设P(x0,y0),则直线PA:y-y1=(x-x1),当x=-2时,yM=,同理yN=.因为=2,所以4+yNyM=2.即=-2,即=-2,即=-2,p=,抛物线C的方程为y2=x.精彩5分钟1.已知F为抛物线C:y2=4x的焦点,点E在C的准线上,且在x轴上方,线段EF的垂直平分线与C的准线交于点Q(-1, ),与C交于点P,则点P的坐标为(D)(A)(1,2) (B)(2,2)(C)(3,2)(D)(4,4)解题关键:设出E点坐标,利用|EQ|=|QF|解出E点坐标,再利用kEF与kQP的关系写出QP方程联立方程组求解.解析:由题意,得抛物线的准线方程为x=-1,F(1,0).设E(-1,y),因为PQ为EF的垂直平分线,所以|EQ|=|FQ|,即y-=,解得y=4,所以kEF=-2,kPQ=,所以直线PQ的方程为y-=(x+1),即x-2y+4=0.由解得即点P的坐标为(4,4),故选D.2.(2015郑州模拟)已知实数m是2和8的等比中项,则抛物线y=mx2的焦点坐标为.解题关键:先利用等比数列求得m,再利用抛物线方程求得焦点坐标.解析:实数m为2和8的等比中项,所以m2=28=16,所以m=4,又因为焦点在y轴上的抛物线的标准方程为x2=2py,所以p=,所以=,又因为焦点在y轴上,所以该抛物线的焦点坐标为(0,).答案: (0,)9
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