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第6节曲线与方程 【选题明细表】知识点、方法题号曲线与方程1,3,6直接法求轨迹(方程)2,7,10,14,15定义法求轨迹(方程)4,5,8,11相关点法求轨迹(方程)12,13参数法求轨迹(方程)9,16基础对点练(时间:30分钟)1.方程(x2+y2-4)=0的曲线形状是(C)解析:原方程可化为或x+y+1=0.显然方程表示直线x+y+1=0和圆x2+y2-4=0在直线x+y+1=0的右上方部分,故选C.2.已知两定点A(-2,0),B(1,0),如果动点P满足|PA|=2|PB|,则动点P的轨迹是(B)(A)直线(B)圆(C)椭圆(D)双曲线解析:设P(x,y),则=2,整理得x2+y2-4x=0,又D2+E2-4F=160,所以动点P的轨迹是圆.3.(2015淄博模拟)方程xy2-x2y=8x的图象(B)(A)关于y轴对称(B)关于原点对称(C)关于直线x+y=0对称(D)关于直线x-y=0对称解析:方程中以-x代x,方程改变,故图象不关于y轴对称,A错误;方程中以-x代x,-y代y,方程不变,故图象关于原点对称,B正确;方程中以-x代y,-y代x,方程改变,故图象不关于x+y=0对称,C错误;方程中以x代y,y代x,方程改变,故图象不关于y=x对称,D错误.故选B.4.(2016银川模拟)已知点P是直线2x-y+3=0上的一个动点,定点M(-1,2),Q是线段PM延长线上的一点,且|PM|=|MQ|,则Q点的轨迹方程是(D)(A)2x+y+1=0(B)2x-y-5=0(C)2x-y-1=0(D)2x-y+5=0解析:设Q(x,y),则P为(-2-x,4-y),代入2x-y+3=0得Q点的轨迹方程为2x-y+5=0.5.设圆(x+1)2+y2=25的圆心为C,A(1,0)是圆内一定点,Q为圆周上任一点.线段AQ的垂直平分线与CQ的连线交于点M,则M的轨迹方程为(D)(A)-=1(B)+=1(C)-=1(D)+=1解析:因为M为AQ垂直平分线上一点,则|AM|=|MQ|,所以|MC|+|MA|=|MC|+|MQ|=|CQ|=5,故M的轨迹是以定点C,A为焦点的椭圆.所以a=,c=1,则b2=a2-c2=,所以椭圆的方程为+=1.6.(2015山西联考)已知圆锥曲线mx2+4y2=4m的离心率e为方程2x2-5x+2=0的根,则满足条件的圆锥曲线的个数为(B)(A)4(B)3(C)2(D)1解析:因为e是方程2x2-5x+2=0的根,所以e=2或e=.mx2+4y2=4m可化为+=1,当它表示焦点在x轴上的椭圆时,有=,所以m=3;当它表示焦点在y轴上的椭圆时,有=,所以m=;当它表示焦点在x轴上的双曲线时,可化为-=1,有=2,所以m=-12.所以满足条件的圆锥曲线有3个.7.在平面直角坐标系中,O为坐标原点,已知两点A(-2,1),B(-1,3),若点C满足=+,其中,0,1且+=1,则点C的轨迹方程是.解析:设C(x,y),则整理得将其代入+=1中整理得2x-y+5=0,又x=-2-=-2-(1-)=-1-2,-1,所以点C的轨迹方程是2x-y+5=0,x-2,-1.答案:2x-y+5=0,x-2,-18.ABC的顶点A(-5,0),B(5,0),ABC的内切圆圆心在直线x=3上,则顶点C的轨迹方程是.解析:如图,|AD|=|AE|=8, |BF|=|BE|=2,|CD|=|CF|,所以|CA|-|CB|=8-2=6,根据双曲线定义,所求轨迹是以A,B为焦点,实轴长为6的双曲线的右支,故方程为-=1(x3).答案:-=1(x3)9.(2015聊城一模)在平面直角坐标系中,O为坐标原点,A(1,0),B(2,2),若点C满足=+t(-),其中tR,则点C的轨迹方程是.解析:设C(x,y),则=(x,y),+t(-)=(1+t,2t),所以消去参数t得点C的轨迹方程为y=2x-2.答案:y=2x-210.已知两点M(-1,0),N(1,0),且点P使,成公差小于零的等差数列,求点P的轨迹方程.解:设点P的坐标为(x,y),则=(x+1,y)(2,0)=2(x+1),=(-1-x,-y)(1-x,-y)=x2+y2-1,=(-2,0)(x-1,y)=2(1-x),根据已知得2=+,即2(x2+y2-1)=2(1+x)+2(1-x),化简得x2+y2=3,又由公差小于0可知 2(1-x)-2(1+x)0,所以点P的轨迹方程为x2+y2=3(x0).11.(2015唐山一模)已知圆O:x2+y2=4,点A(,0),以线段AB为直径的圆内切于圆O,记点B的轨迹为. (1)求曲线的方程;(2)直线AB交圆O于C,D两点,当B为CD的中点时,求直线AB的方程.解:(1)设AB的中点为M,切点为N,连接OM,MN(图略),则|OM|+|MN|=|ON|=2,取A关于y轴的对称点A,连接AB,故|AB|+|AB|=2(|OM|+|MN|)=4.所以点B的轨迹是以A,A为焦点,长轴长为4的椭圆.其中,a=2,c=,b=1,则曲线的方程为+y2=1.(2)因为B为CD的中点,所以OBCD,则.设B(x0,y0),则x0(x0-)+=0.又+=1,解得x0=,y0=.则kOB=,kAB=,则直线AB的方程为y=(x-),即x-y-=0或x+y-=0.能力提升练(时间:15分钟)12.(2016洛阳模拟)设过点P(x,y)的直线分别与x轴的正半轴和y轴的正半轴交于A,B两点,点Q与点P关于y轴对称,O为坐标原点.若=2,且=1,则点P的轨迹方程是(A)(A)x2+3y2=1(x0,y0)(B)x2-3y2=1(x0,y0)(C)3x2-y2=1(x0,y0)(D)3x2+y2=1(x0,y0)解析:设A(a,0),B(0,b),a0,b0,由=2,得(x,y-b)=2(a-x,-y),即a=x0,b=3y0.点Q(-x,y),故由=1,得(-x,y)(-a,b)=1,即ax+by=1.将a,b代入ax+by=1得所求的轨迹方程为x2+3y2=1(x0,y0).13.(2015东营模拟)如图所示,在平面直角坐标系xOy中,A(1,0),B(1,1),C(0,1).映射f将xOy平面上的点P(x,y)对应到另一个平面直角坐标系uOv上的点P(2xy,x2-y2),则当点P沿着折线ABC运动时,在映射f的作用下,动点P的轨迹是(D) 解析:当P沿AB运动时,x=1,设P(x,y),则(0y1)所以y=1-(0x2,0y1).当P沿BC运动时,y=1,则(0x1),所以y=-1(0x2,-1y0),由此可知P的轨迹如D所示,故选D.14.有一动圆P恒过定点F(a,0)(a0)且与y轴相交于点A、B,若ABP为正三角形,则点P的轨迹方程为.解析:设P(x,y),动圆P的半径为R,由于ABP为正三角形,所以P到y轴的距离d=R,即|x|=R.而R=|PF|=,所以|x|=.整理得(x+3a)2-3y2=12a2,即-=1.答案:-=115.(2015长春高三调研)已知平面上的动点P (x, y)及两个定点A(-2,0),B(2,0),直线PA,PB的斜率分别为k1,k2且k1k2=-.(1)求动点P的轨迹C方程;(2)设直线l:y=kx+m与曲线 C交于不同两点M,N,当OMON时,求O点到直线l的距离(O为坐标原点).解:(1)设P(x,y),由已知得=-,整理得x2+4y2=4,即+y2=1(x2).(2)设M(x1,y1),N(x2,y2)消去y得(4k2+1)x2+8kmx+4m2-4=0,由=(8km)2-4(4k2+1)(4m2-4)0,得4k2+1-m20.x1+x2=-,x1x2=,因为OMON,所以x1x2+y1y2=0,即x1x2+(kx1+m)(kx2+m)=(1+k2)x1x2+km(x1+x2)+m2=0,所以(1+k2)+km(-)+m2=0,所以m2=(k2+1)满足4k2+1-m20,所以O点到l的距离为d=,即d2=,所以d=.16.(2015湖州模拟)已知以C(2,0)为圆心的圆C和两条射线y=x(x0)都相切,设动直线l与圆C相切,并交两条射线于A,B,求线段AB中点M的轨迹方程.解:设直线l的方程为y=kx+b.A(x1,y1),B(x2,y2),M(x,y),由得A(,) (k0).由得B(,),所以由得k=,b=,因为圆C与y=x都相切,所以圆C的半径r=.因为AB:kx-y+b=0与圆C相切,所以=,即2k2+4kb+b2-2=0,将代入得(y2-x2)2+4x(y2-x2)-2(y2-x2)=0,因为y2x2,所以y2-x2+4x-2=0,即(x-2)2-y2=2(y0),当lx轴时,线段AB的中点M(2,0)也符合上面的方程,其轨迹在AOB内.精彩5分钟1.(2016泉州模拟)若曲线C上存在点M,使M到平面内两点A(-5,0),B(5,0)距离之差为8,则称曲线C为“好曲线”,以下曲线不是“好曲线”的是(B)(A)x+y=5(B)x2+y2=9(C)+=1(D)x2=16y解题关键:先确定M的轨迹,再研究各选项与M的轨迹的交点情况,即可得结论.解析:因为M到平面内两点A(-5,0),B(5,0)距离之差为8,所以M的轨迹是以A(-5,0),B(5,0)为焦点的双曲线的右支,方程为-=1(x4).A.直线x+y=5过点(5,0),满足题意;B. x2+y2=9圆心为(0,0),半径为3,与M的轨迹没有交点,不满足题意;C.+ =1的右顶点(5,0)满足题意;D.将方程x2=16y代入-=1,可得y-=1,即y2-9y+9=0,此方程有解,满足题意.故选B.2.(2015延庆一模)曲线|x|+y2-3y=0的对称轴方程是,y的取值范围是.解题关键:以-x代替x,方程不变,可得曲线的对称轴方程,由方程y2-3y=-|x|0,可求y的取值范围.解析:以-x代替x,方程不变,所以曲线|x|+y2-3y=0的对称轴方程是x=0,由方程可得y2-3y=-|x|0,所以0y3,即y的取值范围是0,3.答案:x=00,39
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