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第十一篇计数原理、概率、随机变量及其分布(必修3、选修23)第1节分类加法计数原理与分步乘法计数原理【选题明细表】知识点、方法题号分类加法计数原理1,2,4,13,14分步乘法计数原理3,5,6,8,9,10,11,15两个计数原理的综合7,12,16基础对点练(时间:30分钟)1.小明同学的书架上层放有8本不同的数学书,下层放有10本不同的英语书,小明要从中拿出一本书,则共有不同的拿法的种数为(C)(A)8 (B)10(C)18 (D)80解析:从上层拿有8种不同的拿法,从下层拿有10种不同的拿法,根据分类加法计数原理,共有8+10=18(种)不同的拿法.2.一件工作可以用2种方法完成,有3人会用第1种方法完成,另外5人会用第2种方法完成,从中选出1人来完成这件工作,不同选法的种数是(A)(A)8(B)15(C)16(D)30解析:由分类加法计数原理知有3+5=8(种).3.小刚同学要从6个不同的人文课外活动小组和4个不同的自然课外小组中各选择一个参加,则他有不同的选择方法数为(D)(A)4 (B)6 (C) 10 (D)24解析:各选择一个小组参加,可以分为两个步骤完成.第一步从人文小组选择一个,有6种不同选法;第二步从自然小组选择一个,有4种不同选法.根据分步乘法计数原理,共有不同选法64=24(种).4.从甲地到乙地,一天中有5次火车,12次客车,3次飞机航班,还有6次轮船,某人某天要从甲地到乙地,共有不同走法的种数是(A)(A)26(B)60(C)18(D)1 080解析: 由分类加法计数原理知有5+12+3+6=26(种)不同走法.5.从集合0,1,2,3,4,5,6中任取两个互不相等的数a,b组成复数a+bi,其中虚数有(C)(A)30个(B)42个(C)36个(D)35个解析:b有6种取法,a也有6种取法,由分步乘法计数原理共可以组成66=36(个)虚数.6.5位同学报名参加两个课外活动小组,每位同学限报其中的一个小组,则不同的报名方法共有(D)(A)10种(B)20种(C)25种(D)32种解析:可以分五步完成报名工作,即5位同学依次报名完毕后,这件事情就完成了,而每位同学的报名方式有两种,由分步乘法计数原理可以解决.5位同学报名参加两个课外活动小组,每位同学限报其中的一个小组,则不同的报名方法共有25=32(种).7.芳芳同学有4件不同颜色的衬衣,3件不同花样的裙子,另有两套不同样式的连衣裙.“五一”节需选择一套服装参加歌舞演出,则芳芳同学不同的选择方式的种数为(B)(A)24(B)14(C)10(D)9解析:两个原理的联合运用,43+2=14(种).8.十字路口来往的车辆,如果不允许回头,共有 种行车路线.解析:由分步乘法计数原理知43=12(种).答案:129.4张卡片的正、反面分别写有0与1,2与3,4与5,6与7,将其中3张卡片排放在一起,则可组成不同的三位数的个数为.解析:分三步确定百位、十位、个位,注意到百位不能为0,且正反两面可用.第一步:百位可放8-1=7(个)数;第二步:十位可放6个数;第三步:个位可放4个数.根据分步乘法计数原理,可以组成764=168(个)三位数.答案:16810.正整数180的正约数的个数为.解析:180=22325,其正约数的构成是2i3j5k形式的数,其中i=0,1,2,j=0,1,2,k=0,1,故其不同的正约数有332=18(个).答案:18能力提升练(时间:15分钟)11.用数字1,2,3,4,5组成的无重复数字的四位偶数的个数为(C)(A)8(B)24(C)48(D)120解析:偶数的个位数是偶数,分四步完成.第一步,安排个位,有2种不同的安排方法;第二步,安排十位,有4种不同的安排方法;第三步,安排百位,有3种不同的安排方法;第四步,安排千位,有2种不同的安排方法.根据分步乘法计数原理,共可组成2432=48个不同的四位偶数.12.如图,用4种不同的颜色涂入图中的矩形A,B,C,D中,要求相邻的矩形涂色不同,则不同的涂法有(A)(A)72种(B)48种(C)24种(D)12种解析:先分两类.一是四种颜色都用,这时A有4种涂法,B有3种涂法,C有2种涂法,D有一种涂法,共有4321=24(种)涂法;二是用三种颜色,这时A,B,C的涂法有432=24(种),D只要不与C同色即可,故D有两种涂法.故不同的涂法共有24+242=72(种).13.将1,2,3,4,5,6,7,8,9这9个数字填在如图的9个空格中,要求每一行从左到右、每一列从上到下分别依次增大,当3,4固定在图中的位置时,填写空格的方法数为(B)(A)4(B)6(C)9(D)12解析:如图所示,根据题意,1,2,9三个数字的位置是确定的,余下的数中,5只能在a,c位置,8只能在b,d位置,依(a,b,c,d)顺序,具体有(5,8,6,7),(5,6,7,8),(5,7,6,8),(6,7,5,8),(6,8,5,7),(7,8,5,6),合计6种.14.椭圆+=1的焦点在x轴上,且m1,2,3,4,5,n1,2,3,4,5,6,7,则满足条件的椭圆的个数为.解析:因为方程表示焦点在x轴上的椭圆,则mn0.以m的取值进行分类.当m=1时,n值不存在;当m=2时,n可取1,只有1种选择;当m=3时,n可取1,2,有2种选择;当m=4时,n可取1,2,3,有3种选择;当m=5时,n可取1,2,3,4,有4种选择;由分类加法计数原理可知,符合条件的椭圆共有10个.答案:1015.从集合A=1,2,3,4到集合b=a,b,c可以建立种不同的映射,从集合B到集合A可以建立种不同的映射.解析:根据映射的定义,集合A中的元素1有3种对应方法,元素2,3,4也各有3种对应方法,只有这四个元素都找到了对应的元素这个映射才算完成,根据分步乘法计数原理共有3333=81(种)不同的映射;同理集合B到集合A可以建立444=64(种)不同的映射.答案:816416.某出版社的7名工人中,有3人只会排版,2人只会印刷,还有2人既会排版又会印刷,现从7人中安排2人排版,2人印刷,有种不同的安排方法.解析:首先分类的标准要正确,可以选择“只会排版”“只会印刷”“既会排版又会印刷”中的一个作为分类的标准.下面选择“既会排版又会印刷”作为分类的标准,按照被选出的人数,可将问题分为三类: 第一类:2人全不被选出,即从只会排版的3人中选2人,有3种选法;只会印刷的2人全被选出,有1种选法,由分步乘法计数原理知共有31=3种选法. 第二类:2人中被选出一人,有2种选法.若此人去排版,则再从会排版的3人中选1人,有3种选法,只会印刷的2人全被选出,有1种选法,由分步乘法计数原理知共有231=6种选法;若此人去印刷,则再从会印刷的2人中选1人,有2种选法,从会排版的3人中选2人,有3种选法,由分步乘法计数原理知共有232=12(种)选法.再由分类加法计数原理知共有6+12=18(种)选法. 第三类:2人全被选出,同理共有1+232+3=16(种)选法. 所以共有3+18+16=37(种)选法.答案:37精彩5分钟1.我们把各位数字之和为6的四位数称为“六合数”(如2 013是“六合数”),则“六合数”中千位为2的“六合数”共有(B)(A)18个(B)15个(C)12个(D)9个解题关键:除千位外其余三位数字之和为4进行分类.解析:首位数字为2,则其余三位数字之和为4.数字0,0,4的有3个,0,1,3的有6个,0,2,2有3个,1,1,2的有3个.共有15个.2.一张五元人民币换成一毛、两毛、五毛的纸币,换法的总数是(C)(A)144(B)145(C)146(D)147解题关键:按五毛纸币的枚数分类,分类后注意一毛纸币是取奇数还是偶数.解析:归结为方程x+2y+5z=50的非负整数解的组数.如果z=0,则x+2y=50,此时x只能是偶数,x=0,2,4,50,共26种可能;如果z=1,则x+2y=45,此时x只能是奇数,x=1,3,5,45,共23种可能;如果z=2,则x+2y=40,此时x只能是偶数,x=0,2,4,40,共21种可能;如果z=3,则x+2y=35,此时x只能是奇数,共18种可能;如果z=4,则x+2y=30,此时x只能是偶数,共16种可能;如果z=5,则x+2y=25,此时x只能是奇数,共13种可能;如果z=6,则x+2y=20,此时x只能是偶数,共11种可能;如果z=7,则x+2y=15,此时x只能是奇数,共8种可能;如果z=8,则x+2y=10,此时x只能是偶数,共6种可能;如果z=9,则x+2y=5,此时x只能是奇数,共3种可能;如果z=10,则x+2y=0,只有1种可能.综上可知总数为1+3+6+8+11+13+16+18+21+23+26=146.4
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