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第3节等比数列【选题明细表】知识点、方法题号等比数列的判定与证明6,11,14等比数列的基本运算1,5,8,10等比数列的性质2,7,9等差、等比数列的综合4,12等比数列与其他知识的综合3,13,15基础对点练(时间:30分钟)1.已知数列an是等比数列,a1=,a4=-1,则a6等于(A)(A)-4(B)4(C)-8(D)8解析:设an的公比为q,由=q3,得q=-2,所以a6=a1q5=-4.2.(2016哈尔滨六中高三期中)已知数列an满足1+log3an=log3an+1 (nN*),a2+a4+a6=9,则(a5+a7+a9)等于(C)(A)-(B)(C)-5(D)5解析:因为1+log3an=log3an+1(nN*),所以3an=an+1,即数列an为公比q=3的等比数列,则a5+a7+a9=q3(a2+a4+a6)=243,所以(a5+a7+a9)=243=-5.3.(2015宁夏石嘴山高三联考)在各项均为正数的等比数列an中,a2a10=9,则a5+a7(A)(A)有最小值6(B)有最大值6(C)有最大值9(D)有最小值3解析:依题意知,an0,又a2a10=9,所以a5a7=9.所以a5+a72=6.(当且仅当a5=a7时,取等号)故a5+a7有最小值6.4.(2016南昌二中高三月考)等差数列an中,2a3-+2a11=0,数列bn为等比数列,且b7=a7,则b6b8的值为(C)(A)4(B)2(C)16(D)8解析:因为数列an为等差数列,所以2a7=a3+a11,因为2a3-+2a11=0,所以4a7-=0,因为a70,所以a7=4,因为数列bn是等比数列,所以b6b8=16,故选C.5.(2015南昌校级二模)已知等比数列an的前n项和为Sn,且a1+a3=,a2+a4=,则等于(C)(A)4n-1(B)4n-1(C)2n-1(D)2n-1解析:设等比数列an的公比为q,所以q=,所以a1+a3=a1(1+q2)=a1(1+)=,解得a1=2,所以an=2()n-1=()n-2,Sn=,所以=2n-1.6.(2016奉贤区模拟)已知数列an的首项a1=1,an+1=3Sn(nN*),则下列结论正确的是(B)(A)数列an是等比数列(B)数列a2,a3,an是等比数列(C)数列an是等差数列(D)数列a2,a3,an是等差数列解析:由an+1=3Sn(n1),得an=3Sn-1(n2),两式作差得an+1-an=3an(n2),即an+1=4an(n2),因为a1=1,an+1=3Sn(n1),所以a2=3,所以数列a2,a3,an是公比为4的等比数列.7.等比数列an的首项a1=-1,前n项和为Sn,若=,则an的通项公式an=.解析:因为=,所以=-,因为S5,S10-S5,S15-S10成等比数列,且公比为q5,所以q5=-,q=-,则an=-1-n-1=-n-1.答案:- (-)n-18.已知等比数列an的公比为正数,且a2a6=9a4,a2=1,则a1=.解析:由a2a6=9a4得a2(a2q4)=9a2q2,解得q2=9,所以q=3或q=-3(舍去),所以由a2=a1q,得a1=.答案:9.(2016南昌二中高三上第三次月考)等比数列an的公比为q,其前n项的积为Tn,并且满足条件a11,a99a100-10,0.给出下列结论:0q1;a99a101-11成立的最大自然数n等于198,其中正确的结论是.解析:中(a99-1)(a100-1)1,a99a1001,所以a991,0a1001,所以q=(0,1),所以正确;中a99a101=a1001,所以a99a1011,所以正确; 中T100=T99a100,0a1001,所以T1001,T199=a1a2a199=(a1a199)(a2a198)(a99a101)a1000,因为S3-3a1-2a2=0,所以a1+a2+a3-3a1-2a2=0,所以a3-2a1-a2=0,所以a1q2-2a1-a1q=0,消去a1可解得q=2或q=-1(舍去),又因为存在两项an,am使得=4a1,所以aman=16,所以qm+n-2=16,所以qm+n-2=16,即2m+n-2=16,所以m+n-2=4,所以(m+n)=1,所以+=(+)(m+n)= (5+)(5+2)=,当且仅当=,即m=2且n=4时取等号,所以+的最小值是.14.(2014高考江西卷)已知数列an的前n项和Sn=,nN*.(1)求数列an的通项公式;(2)证明:对任意的n1,都存在mN*,使得a1,an,am成等比数列.(1)解:由Sn=,得a1=S1=1,当n2时,an=Sn-Sn-1=3n-2,所以数列an的通项公式为:an=3n-2.(2)证明:要使得a1,an,am成等比数列,只需要=a1am,即(3n-2)2=1(3m-2),即m=3n2-4n+2,而此时mN*,且mn.所以对任意的n1,都存在mN*,使得a1,an,am成等比数列.15.(2015宜昌校级二模)在等比数列an中,其前n项和为Sn,已知a3=,S3=,(1)求数列an的通项公式;(2)是否存在正整数n,使得Sn-Sn+2=成立,若存在,求出n的值,若不存在,请说明理由.解:(1)设等比数列的公比为q,依题意,有a1q2=,a1+a1q+a1q2=,解得a1=,q=1或a1=6,q=-,故数列an的通项公式为an=或an=6(-)n-1.(2)假设存在正整数n,使得Sn-Sn+2=成立,当a1=,q=1时,由Sn-Sn+2=n-(n+2)=,无解;当a1=6,q=-时,Sn=41-(-)n,由Sn-Sn+2=(-)n=-n=5.综合知,存在正整数n=5,使得Sn-Sn+2=成立.精彩5分钟1.(2015上饶二模)三个实数a,b,c成等比数列,若a+b+c=1成立,则b的取值范围是(D)(A)(0,(B)-1,(C)-,0)(D)-1,0)(0,解题关键:把a,c用b与公比q表示,由a+b+c=1进而得出b关于q的函数,利用基本不等式即可求出范围.解析:因为三个实数a,b,c成等比数列,可设,b,bq,因为a+b+a=1成立,所以+b+bq=1,所以b=,因为q+(-,-22,+),所以b-1,0)(0,.2.(2015日照二模)函数y=的图象上存在不同的三点到原点的距离构成等比数列,则以下不可能成为等比数列的公比的数是(D)(A)(B)(C)(D)解题关键:由图象上的点到原点的距离的最大、最小值,求出公比的最大、最小值.解析:函数y=等价于表示圆心在(5,0),半径为3的上半圆(如图所示),圆上点到原点的最短距离为2(点(2,0)处),最大距离为8(点(8,0)处),若存在三点成等比数列,则最大的公比q应有8=2q2,即q2=4,q=2,最小的公比应满足2=8q2,即q2=,解得q=.又不同的三点到原点的距离不相等,故q1,所以公比的取值范围为q2,且q1.7
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