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第4节基本不等式【选题明细表】知识点、方法题号利用基本不等式比较大小、证明2,4,8,10利用基本不等式求最值1,3,5,7,13,14基本不等式的实际应用9,15基本不等式的综合应用6,11,12基础对点练(时间:30分钟)1.(2015遵义校级期末)下列各函数中,最小值为2的是(D)(A)y=x+(B)y=sin x+,x(0,2)(C)y=(D)y=+-2解析:当x=-1时,y=x+=-2,排除A;当sin x=-1时,y=sin x+=-2,排除B;当x=0时,y=,排除C;对于y=+-2,利用基本不等式可得y2-2=2,当且仅当x=4时,等号成立,故D满足条件.2.(2016福州一中月考)已知a,b(0,+),则下列不等式不一定成立的是(D)(A)a+b+2(B)(a+b)(+)4(C)2 (D)解析:A、因为a,b(0,+),所以a+b+2+2=2,当且仅当a=b=时等号成立,所以A成立;B、因为a,b(0,+),所以(a+b)(+)=1+12+2=4.当且仅当a=b=1时等号成立,所以B成立;C、因为a,b(0,+),所以=2,所以C成立;D、因为a,b(0,+),=,当且仅当a=b时等号成立,所以D不一定成立.3.(2015武清区模拟)已知x0,y0,lg 2x+lg 8y=lg 2,则+的最小值是(C)(A)2(B)2(C)4(D)2解析:因为lg 2x+lg 8y=lg 2,所以lg(2x8y)=lg 2,所以2x+3y=2,所以x+3y=1.因为x0,y0,所以+=(x+3y)(+)=2+2+2=4,当且仅当x=3y=时取等号.4.(2015高考陕西卷)设f(x)=ln x,0ab,若p=f(),q=f(),r=f(a)+f(b),则下列关系式中正确的是(C)(A)q=rp(C)p=rq解析:由题意得p=ln ,q=ln ,r=(ln a+ln b)=ln =p,因为0a,所以ln ln ,所以p=r0,b0)过点(1,1),则a+b的最小值等于(C)(A) 2(B)3(C)4(D)5解析:法一因为直线+=1(a0,b0)过点(1,1),所以+=1,所以1=+2=(当且仅当a=b=2时取等号),所以2.又a+b2(当且仅当a=b=2时取等号),所以a+b4(当且仅当a=b=2时取等号),故选C.法二因为直线+=1(a0,b0)过点(1,1),所以+=1,所以a+b=(a+b)(+)=2+2+2=4(当且仅当a=b=2时取等号),故选C.6.(2016银川一中高三第三次月考)已知x,y为正实数,且x,a1,a2,y成等差数列,x,b1,b2,y成等比数列,则的取值范围是(C)(A)R (B)(0,4(C)4,+)(D)(-,04,+)解析:由已知a1+a2=x+y,b1b2=xy,所以=+22+2=4,当且仅当x=y时取等号.故选C.7.(2016万州模拟)已知向量a=(x-1,2),b=(4,y),若ab,则16x+4y的最小值为.解析:因为ab,a=(x-1,2),b=(4,y),所以4(x-1)+2y=0,即4x+2y=4,因为16x+4y=24x+22y2=2=8,当且仅当24x=22y,即4x=2y=2时取等号.答案:88.若ab1,A=lg(),B=.C=(lg a+lg b),则A,B,C从小到大的顺序为.解析:因为ab1,所以lg a0,lg b0,则(lg a+lg b),即CB,lg()lg=lg(ab)=(lg a+lg b),所以AC,综上,ACB.答案:ACB9.某公司购买一批机器投入生产,据市场分析,每台机器生产的产品可获得的总利润y(单位:万元)与机器运转时间x(单位:年)的关系为y=-x2+18x-25(xN*),则当每台机器运转年时,年平均利润最大,最大值是万元.解析:每台机器运转x年的年平均利润为=18-(x+),而x0,故18-2=8,当且仅当x=5时等号成立,此时年平均利润最大,最大值为8万元.答案:5810.(2016开封模拟)已知a,b都是正实数,且a+b=1.(1)求证:+4;(2)求(a+)2+(b+)2的最小值.(1)证明:+=+=2+2+2=4,当且仅当a=b=时等号成立.(2)解: (a+)2+(b+)2=.所以(a+)2+(b+)2,当且仅当a=b=时等号成立.故所求最小值为.11.(2015滕州校级模拟)已知不等式x2-5ax+b0的解集为x|x4或x1.(1)求实数a,b的值;(2)若0x1,f(x)=+,求f(x)的最小值.解:(1)由题意可得解得所以实数a,b的值分别为1,4.(2)由(1)知f(x)=+ ,因为0x1,所以01-x0,0,所以f(x)=+= (+)x+(1-x)=5+5+2=9,当且仅当=,即x=时,等号成立.所以f(x)的最小值为9.能力提升练(时间:15分钟)12.(2015郑州模拟)已知正项等比数列an满足:a7=a6+2a5,若存在两项am,an,使得aman=16,则+的最小值为(A)(A)(B)(C)(D)不存在解析:设正项等比数列an的公比为q,易知q1,由a7=a6+2a5,得到a6q=a6+2,解得q=2,因为aman=16,所以a12m-1a12n-1=16,所以m+n=6 (m0,n0),所以+=(m+n) (+)=(5+)(5+2)=,当且仅当=,且m+n=6,即m=2,n=4时等号成立.13.(2016衡水中学高二上第二次调研)已知m,nR+,mn,x,y(0,+),则有+,当且仅当=时等号成立,用此结论,可求函数f(x)=+,x(0,1)的最小值为.解析:由题意可得f(x)=+=+=,当且仅当=,即x=时取到等号,所以函数的最小值为.答案:14.(2015郑州模拟)已知a,b,c为正实数.(1)若ab(a+b)=2,求a+b的最小值;(2)若abc(a+b+c)=1,求(a+b)(b+c)的最小值.解:(1)因为2=ab(a+b)()2(a+b),所以a+b2,当且仅当a=b=1时取等号,所以a+b的最小值为2.(2)因为(a+b)(b+c)=b(a+b+c)+ac2=2,当且仅当b(a+b+c)=ac且abc(a+b+c)=1时取等号,所以(a+b)(b+c)的最小值是2.15.(2015高邮校级模拟)某人购置一块占地1 800平方米的矩形地块,中间建三个矩形温室大棚,大棚周围均是宽为1米的小路(阴影部分所示),大棚所占地面积为S平方米,其中ab=12.(1)试用x,y表示S;(2)若要使S最大,则x,y的值各为多少?解:(1)由题可得xy=1 800,b=2a,则y=a+b+3=3a+3,所以S=(x-2)a+(x-3)b=(3x-8)a=(3x-8)=1 808-3x-y.(2)S=1 808-3x-=1 808-(3x+)1 808-2=1 808-240=1 568,当且仅当3x=,即x=40,y=45时,S取得最大值.精彩5分钟1.(2015高考福建卷)已知,|=,|=t.若点P是ABC所在平面内的一点,且=+,则的最大值等于(A)(A)13(B)15(C)19(D)21解题关键:求解本题的关键是由联想到建立平面直角坐标系转化为坐标运算,利用基本不等式求最值.解析:以A为原点,AB所在直线为x轴,AC所在直线为y轴建立平面直角坐标系,则B(,0)(t0),C(0,t),P(1,4),=(-1,-4)(-1,t-4)=17-(4t+)17-22=13(当且仅当t=时,取“=”),故的最大值为13,故选A.2.(2015合肥二模)对x,4,x2m(x-1)恒成立,则实数m的取值范围是(D)(A)(-,5-5(B)(-,(C)(-,10) (D)(-,10解题关键:分离参数m,将不等式变形为mx2,然后配凑成可利用基本不等式的形式,求出函数f(x)=x2的最小值即可.分离参数法是解决恒成立问题的常用方法.解析:对x,4,x2m(x-1)恒成立,等价于mx2=(x-1)+22+2=10,当且仅当x-1=,即x=2,4时上式等号成立,所以m10.即实数m的取值范围是(-,10.8
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