资源描述
第3节椭圆【选题明细表】知识点、方法题号椭圆的定义与标准方程1,7椭圆的几何性质2,3,5,6,10,13直线与椭圆的位置关系4,8,9,11,12,14,15基础对点练(时间:30分钟)1.已知椭圆与双曲线-=1的焦点相同,且椭圆上任意一点到两焦点的距离之和为10,那么椭圆的离心率等于(B)(A)(B)(C)(D)解析:因为双曲线的焦点在x轴上,所以设椭圆的方程为+=1(ab0),因为椭圆上任意一点到两焦点的距离之和为10,所以根据椭圆的定义可得2a=10a=5,则c=4,e=.2.(2016广东四校联考)已知椭圆的方程为2x2+3y2=m(m0),则此椭圆的离心率为(B)(A)(B)(C)(D)解析:由题意得椭圆的标准方程为+=1,所以a2=,b2=,所以c2=a2-b2=,所以e2=,所以e=.3.(2015浙江金丽衢十二校二联)若椭圆C:+=1的焦点为F1,F2,点P在椭圆C上,且|PF1|=4,则F1PF2等于(C)(A)(B)(C)(D)解析:由题意得a=3,c=,则|PF2|=2.在F2PF1中,由余弦定理可得cosF2PF1=-.又因为F2PF1(0,),所以F2PF1=.故选C.4.(2015运城二模)已知椭圆+=1以及椭圆内一点P(4,2),则以P为中点的弦所在直线的斜率为(B)(A)(B)-(C)2(D)-2解析:设弦的端点A(x1,y1),B(x2,y2),则x1+x2=8,y1+y2=4,两式相减,得+=0,所以=-,所以k=-.5.若P是以F1,F2为焦点的椭圆+=1(ab0)上的一点,且=0,tan PF1F2=,则此椭圆的离心率为(A)(A)(B)(C)(D)解析:因为=0,所以PF1PF2,在RtPF1F2中,设|PF2|=1,则|PF1|=2,|F1F2|=,所以2a=|PF1|+|PF2|=3,2c=,故此椭圆的离心率e=.6.(2015沈阳二模)已知椭圆+=1(ab0)的左、右焦点分别为F1(-c,0),F2(c,0),若椭圆上存在点P使=,则该椭圆离心率的取值范围为(D)(A)(0,-1)(B)(,1)(C)(0,) (D)(-1,1)解析:根据正弦定理得=,(*)所以由=可得=,即=e,所以|PF1|=e|PF2|,又|PF1|+|PF2|=e|PF2|+|PF2|=|PF2|(e+1)=2a,则|PF2|=,因为a-c|PF2|a+c(不等式两边不能取等号,否则(*)式不成立),所以a-ca+c,即1-1+,所以1-e1+e,即解得-1eb0)的左、右焦点分别为F1,F2,离心率为e.直线l:y=ex+a与x轴、y轴分别交于点A,B,M是直线l与椭圆C的一个公共点,设|AM|=e|AB|,则该椭圆的离心率e=.解析:因为点A,B分别是直线l:y=ex+a与x轴、y轴的交点,所以点A,B的坐标分别是(-,0),(0,a).设点M的坐标是(x0,y0),由|AM|=e|AB|,得(*)因为点M在椭圆上,所以+=1,将(*)式代入,得+=1,整理得,e2+e-1=0,解得e=.答案:10. 如图所示,已知椭圆+=1(ab0),F1,F2分别为椭圆的左、右焦点,A为椭圆的上顶点,直线AF2交椭圆于另一点B.(1)若F1AB=90,求椭圆的离心率;(2)若椭圆的焦距为2,且=2,求椭圆的方程.解:(1)因为|AF1|=|AF2|=a,且F1AF2=90,|F1F2|=2c,所以2a2=4c2,所以a=c,所以e=.(2)由题知A(0,b),F2(1,0),设B(x,y),由=2,解得x=,y=-,代入+=1,得+=1,即+=1,解得a2=3,所以b2=a2-c2=2.所以椭圆方程为+=1.能力提升练(时间:15分钟)11.(2015宜宾二诊)已知直线l:y=kx与椭圆C:+=1(ab0)交于A,B两点,F为椭圆C的左焦点,且=0.若ABF(0,则椭圆C的离心率的取值范围为(D)(A)(0,(B)(0,(C),(D),1)解析: 设椭圆C的右焦点为F,连接AF,BF,因为=0,所以AFBF,又直线l:y=kx过原点O,所以根据椭圆的对称性知点A,B关于原点对称,所以四边形AFBF是矩形,所以|AB|=|FF|=2c(其中c=),所以在直角三角形AFB中,|AF|=|AB|sinABF=2csinABF,|BF|=|AB|cosABF=2ccosABF,又根据椭圆的定义知|AF|+|AF|=2a,所以2csinABF+2ccosABF=2a,所以离心率e=,又ABF(0,所以ABF+,所以b0)的左、右焦点分别为F1,F2,焦距为2c.若直线y=(x+c)与椭圆的一个交点M满足MF1F2=2MF2F1,则该椭圆的离心率等于.解析:已知F1(-c,0),F2 (c,0),直线y=(x+c)过点F1,且斜率为,所以倾斜角MF1F2=60.因为MF2F1=MF1F2=30,所以F1MF2=90,所以|MF1|=c,|MF2|=c.由椭圆定义知|MF1|+|MF2|=c+c=2a,所以离心率e=-1.答案:-113.已知椭圆+=1(ab0),M,N是椭圆上关于原点对称的两点,P是椭圆上任意一点,且直线PM,PN的斜率分别为k1,k2,若|k1k2|=,则椭圆的离心率e=.解析:设P(x,y),M(x0,y0),N(-x0,-y0),则k1=,k2=,由题意有|k1k2|=|=|=,因为P,M,N在椭圆上,所以+=1,+=1,两式相减得+=0,即=-,所以=,即=,解得e=.答案:14.(2015长春调研)已知椭圆+=1(ab0)的离心率为,右焦点到直线x+y+=0的距离为2.(1)求椭圆的方程;(2)过点M(0,-1)作直线l交椭圆于A,B两点,交x轴于N点,且满足=-,求直线l的方程.解:(1)设椭圆的右焦点为(c,0)(c0),则=2,c+=2,c=或c=-3(舍去).又离心率=,则=,故a=2,b=,故椭圆的方程为+=1.(2)设A(x1,y1),B(x2,y2),N(x0,0),因为=-,所以(x1-x0,y1)=-(x2-x0,y2),y1=-y2. 易知当直线l的斜率不存在或斜率为0时,不成立,于是设直线l的方程为y=kx-1(k0),联立方程消去x得(4k2+1)y2+2y+1-8k2=0, 因为0,所以直线与椭圆相交,于是y1+y2=-, y1y2=, 由得,y2=,y1=-,代入整理得8k4+k2-9=0,k2=1,k=1,所以直线l的方程是y=x-1或y=-x-1.15.(2015兰州模拟)已知椭圆方程为+x2=1,斜率为k(k0)的直线l过椭圆的上焦点且与椭圆交于P,Q两点,线段PQ的垂直平分线与y轴相交于点M(0,m).(1)求m的取值范围;(2)求MPQ面积的最大值.解:(1)设直线l的方程为y=kx+1,由可得(k2+2)x2+2kx-1=0.设P(x1,y1),Q(x2,y2),则x1+x2=,x1x2=-.可得y1+y2=k(x1+x2)+2=.设线段PQ的中点为N,则点N的坐标为(,),由题意有kMNk=-1,可得k=-1,可得m=,又k0,所以0m.故m的取值范围为(0,).(2)设椭圆的焦点为F,由(1)可得k2=-2,则SMPQ=|FM|x1-x2|=|1-m|=|1-m|=,所以MPQ的面积为(0m0,即m(-2,2)且m0,x1+x2=-2m,x1x2=2m2-4,所以SAOB=|m|x1-x2|=|m|=|m|=2,当且仅当m2=4-m2,即m=时,AOB的面积取得最大值,且最大值为2.2.已知点P是椭圆+=1上的动点,且与椭圆的四个顶点不重合,F1,F2分别是椭圆的左、右焦点,O为坐标原点,若点M是F1PF2的平分线上的一点,且F1MMP,则|OM|的取值范围是(A)(A)(0,4)(B)(0,4(C)(2,4)(D)(2,4解题关键:利用极限思想当点P分别趋近于上顶点和右顶点时点M趋近于点O和点F1.解析: 由椭圆的对称性,只需研究动点P在第一象限内的情况,当点P趋近于椭圆的上顶点时,点M趋近于点O,此时|OM|趋近于0;当点P趋近于椭圆的右顶点时,点M趋近于点F1,此时|OM|趋近于=4,所以|OM|的取值范围为(0,4).10
展开阅读全文