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第二课时求空间角与距离【选题明细表】知识点、方法题号利用向量法求直线与平面所成角2利用向量法求距离1综合应用3,4【教师备用】 (2016邢台摸底考试)如图,已知四棱锥PABCD的底面为菱形,BCD=120,AB=PC=2,AP=BP=.(1)求证:ABPC;(2)求二面角BPCD的余弦值.(1)证明:取AB的中点O,连接PO,CO,AC,因为APB为等腰三角形,所以POAB,又四边形ABCD是菱形,BCD=120,所以ACB是等边三角形,所以COAB.又COPO=O,所以AB平面PCO,又PC平面PCO,所以ABPC.(2)解:易求得PO=1,OC=,所以OP2+OC2=PC2,所以OPOC.以O为坐标原点,以OC所在直线为x轴,OB所在直线为y轴,OP所在直线为z轴,建立空间直角坐标系如图所示.则A(0,-1,0),B(0,1,0),C(,0,0),P(0,0, 1),D(,-2,0),=(,-1,0), =(,0,-1),=(0,2,0).设平面DCP的法向量n=(x,y,z),则即令x=1,得所以n=(1,0,),设平面PCB的法向量m=(a,b,c),即令a=1,则b=c=,所以m=(1,),所以cos=,由图易知二面角BPCD的平面角为钝角.所以二面角BPCD的余弦值为-.1. (2016郑州第一次质量预测)如图,在四棱锥PABCD中,底面ABCD为直角梯形,ADBC,PD底面ABCD,ADC=90,AD=2BC,Q为AD的中点,M为棱PC的中点.(1)证明PA平面BMQ;(2)已知PD=DC=AD=2,求点P到平面BMQ的距离.(1)证明:连接AC交BQ于N,连接MN,因为ADC=90,Q为AD的中点,所以N为AC的中点,又M为PC的中点,MN为PAC的中位线,故MNPA,又MN平面BMQ,所以PA平面BMQ. (2)解:以D为坐标原点,DA,DC,DP所在直线分别为x轴,y轴,z轴建立空间直角坐标系,D(0,0,0),A(2,0, 0),C(0,2,0),P(0,0,2),Q(1,0,0),B(1,2,0),M(0,1,1).所以=(0,-1,1), =(-1,1,1),=(-1,-1,1),设n=(x,y,z)是平面BQM的法向量,则n,n,所以即令z=1,则x=1,y=0,所以n=(1,0,1),则P点到平面BQM的距离为d=.2.(2015高考新课标全国卷) 如图,长方体ABCDA1B1C1D1中,AB=16,BC=10,AA1=8,点E,F分别在A1B1,D1C1上,A1E=D1F=4.过点E,F的平面与此长方体的面相交,交线围成一个正方形.(1)在图中画出这个正方形(不必说明画法和理由);(2)求直线AF与平面所成角的正弦值.解:(1)交线围成的正方形EHGF如图.(2)作EMAB,垂足为M,则AM=A1E=4,EM=AA1=8.因为EHGF为正方形,所以EH=EF=BC=10.于是MH=6,所以AH=10.以D为坐标原点,的方向为x轴正方向,建立如图所示的空间直角坐标系Dxyz,则A(10,0,0),H(10,10,0),E(10,4,8),F(0,4,8),=(10,0,0),=(0,-6,8).设n=(x,y,z)是平面EHGF的法向量,则即所以可取n=(0,4,3).又=(-10,4,8),故|cos|=.所以AF与平面所成角的正弦值为.3. (2016贵阳监测考试)如图,已知四棱锥PABCD中,PA平面ABCD,ADBC,ADCD,且ABAC,AB=AC=PA=2,E是BC的中点.(1)求异面直线AE与PC所成的角;(2)求二面角DPCA的平面角的余弦值.解: (1)如图所示,以A点为原点建立空间直角坐标系Axyz,则B(2,0,0),C(0,2,0),P(0,0, 2).故E(1,1,0),=(1,1,0),=(0,2,-2),cos=,即=60,故异面直线AE与PC所成的角为60.(2)因为AB=AC=2,ABAC,所以ABC=ACB=45,因为ADBC,所以DAC=ACB=45,又ADCD,所以AD=CD=,所以D(-1,1,0),又C (0,2,0),所以=(-1,-1,0),=(0,2,-2).设n=(x,y,z)是平面PCD的法向量,则n,n,即n=0,n=0,所以令x=-1得y=1,z=1,则n=(-1,1,1),|n|=.又AB平面PAC,所以=(2,0,0)是平面PAC的一个法向量,所以cos=-,所以二面角DPCA的平面角的余弦值为.4. (2015河南三市第三次调研)在三棱锥PABC中,PA底面ABC,PB=PC=,BC=4,PA=m(m0).(1)当m为何值时,点A到平面PBC的距离最大,并求出最大值;(2)当点A到平面PBC的距离取得最大值时, 求二面角APBC的余弦值.解:(1)设D为BC的中点,连接AD,PD,因为PA平面ABC,所以PABC.在等腰三角形PBC中,因为BD=DC,所以BCPD,又因为PDPA=P,所以BC平面PAD,又因为BC平面PBC,所以平面PBC平面PAD.在平面PAD中,过A作AMPD于M,则AM平面PBC.即AM为点A到平面PBC的距离.在PDB中,PD=3.在RtPAD中,AD=,且PAAD=PDAM,所以AM=,当且仅当m2=18-m2,即m=3时等号成立.故当m=3时,点A到平面PBC的距离最大,最大值为.(2)当m=3时,AD=3,过D作DEAP,以点D为坐标原点,分别以DA,DB,DE所在直线为x,y,z轴,建立空间直角坐标系如图所示.则A(3,0,0),P(3,0,3),B(0,2,0),C(0,-2,0),所以=(0,0,3),=(3,-2,3),=(0,4,0).设平面PAB的法向量p=(x,y,z).则即即取p=(,1,0).同理,平面PBC的一个法向量q=(1,0,-1).cos=.所以二面角APBC的余弦值为.7
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