2016-2017学年高中数学第二章平面向量章末分层突破学案北师大版必修4

【课堂新坐标】2016-2017学年高中数学 第二章 平面向量章末分层突破学案 北师大版必修4自我校对单位向量坐标表示数乘向量坐标夹角公式_平面向量的线性运算1.向量的加法、减法和数乘向量的综合运算通常叫作向量的线性运算2向量线性运算的结果仍是一个向量因此对它们的运算法则、运算律的理解和运用要注意大小、方向两个方面3向量共线定理和平面向量基本定理是进行向量合成与分解的核心，是向量线性运算的关键所在，常应用它们解决平面几何中的共线问题、共点问题4题型主要有证明三点共线、两直线平行、线段相等、求点或向量的坐标等已知OAB中，延长BA到C，使ABAC，D是将OB分成21的一个分点，DC和OA交于E，设a，b(如图21)，图21(1)用a，b表示向量，；(1)若，求实数的值【精彩点拨】(1)根据平行四边形法则求解(2)结合三角形法则与平行四边形法则及向量共线定理求解【规范解答】(1)A为BC的中点，()，22ab，2abb2ab.(2)若，则a(2ab)(2)ab.与共线，存在实数m，使得m，即(2)abm，(2m2)ab0.a，b不共线，解得.再练一题1(1)若a，b是不共线的两个向量，且a与b的起点相同，则实数t为何值时，a，tb，(ab)三个向量的终点在一条直线上？(2)已知A(1,1)，B(1,5)，C(x，5)，D(4,7)，与共线，求x的值【解】(1)由题易知，存在唯一实数.使得atbab，t，即当t时，三向量共线(2)(2,4)，(4x,12)，2124(4x)，x2.向量的夹角、垂直及长度问题1.求夹角问题求向量a，b夹角的步骤：(1)求|a|，|b|，ab；(2)求cos (夹角公式)；(3)结合的范围0，确定的大小因此求向量的夹角先转化为求向量夹角的余弦值，再结合夹角的范围确定夹角的大小若a(x1，y1)，b(x2，y2)，则cos .2垂直问题这类问题主要考查向量垂直的条件：若向量a(x1，y1)，b(x2，y2)，则abab0x1x2y1y20.3向量的模(1)|a|2a2，|a|.(2)若a(x，y)，则a2x2y2，|a|.(1)已知向量a与b的夹角为120，|a|3，|ab|，则|b|_.(2)已知向量a，b满足(a2b)(ab)6，且|a|1，|b|2，则a与b的夹角为_(3)若|a|1，|b|，(2ab)b，求a与b的夹角【精彩点拨】(1)利用模与数量积进行转化求解(2)结合已知条件利用向量的夹角公式计算(3)利用垂直关系结合数量积运算求解【规范解答】(1)因为|ab|，所以|ab|213，即(ab)213，|a|22ab|b|213.又因为a与b的夹角为120，|a|3，所以923|b|cos 120|b|213，|b|23|b|40，解得|b|4或|b|1(舍)(2)设a与b的夹角为，依题意有(a2b)(ab)a2ab2b272cos 6，所以cos ，因为0，所以.【答案】(1)4(2)(3)由(2ab)b，则(2ab)b0，即2abb20，所以2|a|b|cos |b|20，即2cos 20，所以cos .又0，.再练一题2已知cmanb，c(2，2)，ac，b与c的夹角为，bc4，|a|2，求实数m，n的值及a与b的夹角.【解】c(2，2)，|c|4.ac，ac0.bc|b|c|cos |b|44.|b|2.cmanb，c2macnbc，16n(4)，因此n4.在cmanb两边同乘以a，得08m4ab.在cmanb两边同乘以b，得mab12.由，得m，ab2，cos .0，或.向量的实际应用1.向量在平面几何中的应用，向量的加减运算遵循平行四边形法则或三角形法则，数乘运算和线段平行之间、数量积运算和垂直、夹角、距离问题之间联系密切，因此用向量方法可以解决平面几何中的相关问题2向量在解析几何中的应用，主要利用向量平行与垂直的坐标条件求直线的方程3在物理中的应用，主要解决力向量、速度向量等问题已知e1(1,0)，e2(0,1)，今有动点P从P0(1,2)开始，沿着与向量e1e2相同的方向做匀速直线运动，速度为|e1e2|；另一动点Q从Q0(2，1)开始，沿着与向量3e1e2相同的方向做匀速直线运动，速度为|3e12e2|，设P，Q在t0 s时分别在P0，Q0处，问当时，所需的时间为多少？【精彩点拨】求出t s后，P，Q两点坐标由数量积为0建立方程求解【规范解答】e1e2(1,1)，|e1e2|，其单位向量为；3e12e2(3,2)，|3e12e2|，其单位向量为，如图依题意，|t，|t，|(t，t)，|(3t,2t)由P0(1,2)，Q0(2，1)，得P(t1，t2)，Q(3t2,2t1)，(1，3)，(2t1，t3)由于，0，即2t13t90，解得t2，即当时，所需时间为2 s.再练一题3.已知ABC是等腰直角三角形，B90，D是BC边的中点，BEAD，垂足为E，延长BE交AC于F，连接DF，求证：ADBFDC.图22【证明】如图，以B为原点，BC所在直线为x轴建立直角坐标系，设A(0,2)，C(2,0)，则D(1,0)，(2，2)设，则(0,2)(2，2)(2，22)又因为(1,2)，由题设，所以0，所以22(22)0，所以，所以，所以.又因为(1,0)，所以cosADB，cosFDC.又因为ADB，FDC(0，)，所以ADBFDC.待定系数法在向量中的应用1.待定系数法是数学中一种非常重要的方法，对于一些数学问题，若已知所求结果具有的某种形式，则可引入一些尚待确定的系数(参数)来表示该结果，通过变形比较，建立含有参数(待定字母)的方程(组)进行求解2待定系数法在向量中有着广泛的应用，如两向量平行，垂直或平面向量基本定理等就是这种形式的体现如图23，在ABC中，M是BC的中点，N在AC上且AN2NC，AM与BN交于点P，求APPM的值图23【精彩点拨】本题主要考查三角形法则、平面向量共线基本定理，适当选取基底表示出，因为点A，P，M共线，若有，则为APPM的值【规范解答】设e1，e2，3e2e1，2e1e2.A，P，M与B，P，N共线，(e13e2)，(2e1e2)，(2e1e2)(e13e2)2e13e2，APPM41.再练一题4设平面内给定的三个向量a(3,2)，b(1,2)，c(4,1)，求满足ambnc的实数m，n的值【解】ambnc，(3,2)m(1,2)n(4,1)(4nm,2mn)，解得1(2015陕西高考)对任意向量a，b，下列关系式中不恒成立的是()A|ab|a|b|B|ab|a|b|C(ab)2|ab|2D(ab)(ab)a2b2【解析】根据ab|a|b|cos ，又cos 1，知|ab|a|b|，A恒成立当向量a和b方向不相同时，|ab|a|b|，B不恒成立根据|ab|2a22abb2(ab)2，C恒成立根据向量的运算性质得(ab)(ab)a2b2，D恒成立【答案】B2(2015安徽高考)ABC是边长为2的等边三角形，已知向量a，b满足2a，2ab，则下列结论正确的是()A|b|1BabCab1 D(4ab)【解析】在ABC中，由2ab2ab，得|b|2.又|a|1，所以ab|a|b|cos 1201，所以(4ab)(4ab)b4ab|b|24(1)40，所以(4ab)，故选D.【答案】D3(2015福建高考)已知，|，|t.若点P是ABC所在平面内的一点，且，则的最大值等于()A13 B15C19 D21【解析】，故可以A为原点，AB，AC所在直线为坐标轴建立平面直角坐标系，不妨设B，C(t,0)，则(4,1)，故点P的坐标为(4,1).(t4，1)4t171721713.当且仅当4t，即t时(负值舍去)取得最大值13.【答案】A4(2015天津高考)在等腰梯形ABCD中，已知ABDC，AB2，BC1，ABC60.动点E和F分别在线段BC和DC上，且，则的最小值为_【解析】在等腰梯形ABCD中，由ABDC，AB2，BC1，ABC60可得ADDC1.建立平面直角坐标系如图所示，则A(0,0)，B(2,0)，C，D，(2,0)，(1,0)，E.，F.2.当且仅当，即时取等号，符合题意的最小值为.【答案】10