2016-2017学年高中数学第2章几个重要的不等式学业分层测评12数学归纳法北师大版选修

【课堂新坐标】2016-2017学年高中数学 第2章 几个重要的不等式 学业分层测评12 数学归纳法 北师大版选修4-5 (建议用时：45分钟)学业达标一、选择题1某个与正整数n有关的命题，如果当nk(kN，且k1)时命题成立，则一定可推得当nk1时，该命题也成立现已知n5时，该命题不成立，那么应有()A当n4时该命题成立B当n6时该命题成立C当n4时该命题不成立D当n6时该命题不成立【解析】当n4时命题成立，由递推关系知，n5时命题成立，与题中条件矛盾所以n4时，该命题不成立【答案】C2已知数列an中，a11，当n2时，an2an11，依次计算a2，a3，a4后，猜想an的一个表达式是()An21B(n1)21C2n1D2n11【解析】由a11，当n2时，an2an11得a22a112113，a32a212317，a42a3127115.猜想an2n1.【答案】C3用数学归纳法证明“n3(n1)3(n2)3(nN)能被9整除”，要利用归纳法假设证nk1时的情况，只需展开()A(k3)3B(k2)3C(k1)3D(k1)3(k2)3【解析】假设nk时，原式k3(k1)3(k2)3能被9整除，当nk1时，(k1)3(k2)3(k3)3为了能用上面的归纳假设 ，只需将(k3)3展开，让其出现k3，且展开式中除k3以外的各项和也能被3整除【答案】A4记凸k边形的内角和为f(k)，则凸k1边形的内角和f(k1)f(k)()A.BC2D【解析】nk到nk1时，内角和增加.【答案】B5用数学归纳法证明“当n为正奇数时，xnyn能被xy整除”的第二步是()A假设n2k1时正确，再推n2k3时正确(其中kN)B假设n2k1时正确，再推n2k1时正确(其中kN)C假设nk时正确，再推nk1时正确(其中kN)D假设nk(k1)时正确，再推nk2时正确(其中kN)【解析】n为正奇数，n2k1(kN)即假设n2k1时正确，再推n2k1时正确【答案】B二、填空题6探索表达式A(n1)(n1)！(n2)(n2)！22！11！(n1且nN)的结果时，第一步n_时，A_.【解析】第一步n2时， A(21)(21)！1.【答案】217用数学归纳法证明“12222n12n1(nN)”的过程中，第二步假设nk时等式成立，则当nk1时应得到_. 【导学号：94910037】【解析】nk时， 命题为“12222k12k1”，nk1时为使用归纳假设，应写成12222k12k2k12k，又考虑到目的，最终应为2k11.【答案】12222k12k2k118在数列an中，a1，且Snn(2n1)an.通过求a2，a3，a4，猜想an的表达式是_【解析】a2S2S12(221)a2，a2，同理a3，a4.归纳知an.【答案】an三、解答题9证明：12223242(2n1)2(2n)2n(2n1)(nN)【证明】(1)当n1时，左边12223，右边1(211)3，等式成立(2)假设nk时，等式成立，就是12223242(2k1)2(2k)2k(2k1)当nk1时，12223242(2k1)2(2k)2(2k1)2(2k2)2k(2k1)(2k1)2(2k2)2k(2k1)(4k3)(2k25k3)(k1)2(k1)1，所以nk1时等式也成立综合(1)(2)可知，等式对任何nN都成立10已知数列an的前n项和为Sn，且Sn，an的等差中项为1.(1)写出a1，a2，a3；(2)猜想an的表达式，并用数学归纳法证明【解】(1)由题意Snan2，可得a11，a2，a3.(2)猜想an.下面用数学归纳法证明：当n1时，a11，1，等式成立假设当nk时，等式成立，即ak，则当nk1时，由Sk1ak12，Skak2，得(Sk1Sk)ak1ak0，即2ak1ak，所以ak1ak，即当nk1时，等式成立由可知，对nN，an.能力提升(1)(2)(3)图2311如图231所示的是一系列有机物的结构简图，图中的“小黑点”表示原子，两黑点间的“短线”表示化学键，按图中结构第n个图的化学键个数为()A6n个B(4n2)个C(5n1)个D(5n1)个【解析】图(1)有6个化学键，图(2)有11个化学键，图(3)有16个化学键，可猜想第n个图有5n1个化学键【答案】D2若不等式对于一切nN恒成立，则自然数m的最小值为() 【导学号：94910038】A8B9C10D12【解析】令bn，则bk1bk0，bk1bk，数列bn为递减数列要bn恒成立，只需b1，7，m的最小值为8.【答案】A3用数学归纳法证明“nN，n(n1)(2n1)能被6整除”时，某同学证法如下：(1)n1时，1236能被6整除，n1时，命题成立(2)假设nk时成立，即k(k1)(2k1)能被6整除，那么nk1时，(k1)(k2)(2k3)(k1)(k2)k(k3)k(k1)(k2)(k1)(k2)(k3)k，k1，k2和k1，k2，k3分别是三个连续自然数，其积能被6整除故nk1时命题成立综合(1)，(2)，对一切nN，n(n1)(2n1)能被6整除这种证明不是数学归纳法，主要原因是_【答案】没用上归纳假设4已知点的序列An(xn,0)，nN，其中x10，x2a(a0)，A3是线段A1A2的中点，A4是线段A2A3的中点， ，An是线段An2An1的中点，.(1)写出xn与xn1，xn2之间的关系式(n3)；(2)设anxn1xn，计算a1，a2，a3，由此推测数列an的通项公式，并加以证明【解】(1)当n3时，xn.(2)a1x2x1a，a2x3x2x2(x2x1)a，a3x4x3x3(x3x2)a，由此推测ana(nN)用数学归纳法证明：当n1时，a1x2x1aa，公式成立，假设当nk(k1，kN)时， 公式成立，即aka成立那么当nk1时，ak1xk2xk1xk1(xk1xk)akaa，当nk1时，公式仍成立根据可知对任意nN，公式ana成立6