2016-2017学年高中数学第1章直线多边形圆1.2.4切割线定理学案北师大版选修

2.4切割线定理1.掌握切割线定理及其推论.2.会用切割线定理及推论解决问题.基础初探教材整理1切割线定理(1)文字叙述过圆外一点作圆的一条切线和一条割线，切线长是割线上从这点到两个交点的线段长的比例中项.(2)图形表示如图1276，O的切线PA，切点为A，割线PBC，则有PA2PBPC.图12761.PA为O的切线，A为切点，PO交O于B，PB4，PO8.5，则PA_.【解析】PB4，PO8.5，OB4.5.由切割线定理知，PA241352，PA2.【答案】2教材整理2切割线定理的推论(1)文字叙述过圆外一点作圆的两条割线，在一条割线上从这点到两个交点的线段长的积，等于另一条割线上对应线段长的积.(2)图形表示如图1277，PAB与PCD是O的两条割线，则有PAPBPCPD.图12772.PAB为过圆心O的割线，且PAOA4，PCD为O的另一条割线，且PCCD，则PC长为()A.4B.C.24D.2【解析】由题意知PAPBPCPD，设PCx，则PD2x，2xx412，x2，即PC2.【答案】D教材整理3切割线定理的逆定理(1)文字叙述给定O外一点P，若割线PAB交O于A，B两点，点T在O上，且PT2PAPB，则PT是O的切线.(2)图形表示如图1278，PAB是O的割线，点T在O上，若PT2PAPB，则PT是O的切线.图12783.如图1279所示，P是O外一点，PMN是O的割线，Q是O上一点，且PQ4，PM3，PN，则PQ与O的位置关系是()图1279A.相交 B.相切C.相离D.无法确定【解析】PQ24216，PMPN316PQ2PMPN.由切割线定理的逆定理知，PQ是O的切线.【答案】B质疑手记预习完成后，请将你的疑问记录，并与“小伙伴们”探讨交流：疑问1： 解惑： 疑问2： 解惑： 疑问3： 解惑： 小组合作型切割线定理如图1280，设ABC的外接圆的切线AE与BC的延长线交于点E，BAC的平分线与BC交于点D.图1280求证：ED2ECEB.【精彩点拨】由于EA2ECEB，故只需证EDEA.【自主解答】如题图，AE是圆的切线，ABCCAE.又AD是BAC的平分线，BADCAD，从而ABCBADCAECAD.ADEABCBAD，DAECAECAD，ADEDAE，故EAED.EA是圆的切线，由切割线定理知，EA2ECEB.而EAED，ED2ECEB.切割线定理给出线段之间的关系，在计算与证明有关线段关系时，应注意灵活运用.再练一题1.如图1281，圆O是ABC的外接圆，过点C的切线交AB的延长线于点D，CD2，ABBC3，则AC的长为_. 【导学号：96990029】图1281【解析】由切割线定理知CD2BDADBD(3BD)，即(2)2BD23BD，解得BD4或BD7(舍去).BDCADC，DCBCAD，CADBCD，即，解得AC.【答案】切割线定理的推论如图1282，PAB和PCD为圆的两条割线，交圆于A，B和C，D各点，若PA5，AB7，CD11.求ACBD.图1282【精彩点拨】线段AC，BD分别在PAC和PBD中，可考虑它们的相似关系.【自主解答】由切割线定理的推论知，PAPBPCPD即，又P为公共角，PACPDB.又PA5，AB7，CD11，PB12.由知512PC(PC11)，PC4或PC15(舍去)，PDPCCD41115.由得，即ACBD13.1.本题求解的关键是证明PACPDB，而证明的依据是切割线定理的推论.2.切割线定理的推论在证明、求值等方面有着广泛的应用，在证明三角形相似以及利用相似解决问题中起重要作用.再练一题2.如图1283所示，过点P的直线与O相交于A，B两点.若PA1，AB2，PO3，则O的半径等于_.图1283【解析】设O的半径为r(r0)，PA1，AB2，PBPAAB3.延长PO交O于点C，则PCPOr3r.设PO交O于点D，则PD3r.由圆的切割线定理的推论知，PAPBPDPC，13(3r)(3r)，9r23，r.【答案】定理的综合应用如图1284，P是O的直径CB的延长线上一点，PA和O相切于A，若PA15，PB5.图1284(1)求tanABC的值；(2)弦AD使BADP，求AD的长.【精彩点拨】求tanABC可利用ABC中边角关系求出；而AD的长，可综合利用切割线定理和图形中的相似三角形，建立边长关系求出.【自主解答】(1)如图，连接AC，AB，BC为O的直径，BAC90.又PA是O的切线，BAPC.又PP，PABPCA，3.在RtABC中，tanABC3.(2)由切割线定理，得PA2PBPC，即PA2PB(PBBC).又PA15，PB5，BC40.设ABx，则AC3x.由勾股定理，AC2AB2BC2，即x2(3x)2402，得x4，x4(舍去).如图，连接BD，在PAB和ADB中，PABD，PBAD，PABADB.，AD12.1.在本题求解过程中，每一小题都用到了利用三角形相似寻找线段之间的关系.2.综合应用切割线定理及推论，利用三角形之间的关系，是解决直线与圆关系中的基本思路.再练一题3.如图1285，已知AC切O于C点，CP为O的直径，AB切O于D，与CP的延长线交于点B，若ACPC，求证：BD2BP.图1285【证明】如图，连接OD.设O的半径为R.AB切O于D，AC切O于C，ODAB，ACBC，BODBAC，BC2BD.BPC为割线，BD2BPBC2BDBP，BD2BP.探究共研型切割线定理及推论的条件探究1应用切割线定理及其推论的前提条件是什么？【提示】切割线定理是指一条切线和一条割线，而其推论则是指两条割线，只有弄清前提，才能正确运用定理.探究2应用切割线定理应注意什么？【提示】应用切割线定理应记清关系式，防止做题时出错.(1)如图所示，把PC2PAPB错写成PC2POPB；(2)如图所示，把关系式PT2PBPA错写成PT2PBBA，把关系式PBPAPDPC错写成PBBAPDDC.如图1286，AB是O的一条切线，切点为B，ADE，CFD，CGE都是O的割线，已知ACAB.图1286证明：(1)ADAEAC2；(2)FGAC.【精彩点拨】(1)利用切割线定理；(2)证ADCACE.【证明】(1)AB是O的一条切线，ADE是O的割线，由切割线定理得ADAEAB2.又ACAB，ADAEAC2.(2)由(1)得，又EACDAC，ADCACE.ADCACE.又ADCEGF，EGFACE.FGAC.1.割线定理、切割线定理常常与弦切角定理、相交弦定理、平行线分线段成比例定理、相似三角形知识结合在一起解决数学问题，有时切割线定理利用方程进行计算、求值等.2.切割线定理可以看成是割线定理的特殊情况，当两条割线中的一条变成切线时，即为切割线定理.再练一题4.(湖北高考)如图1287，P为O外一点，过P点作O的两条切线，切点分别为A，B.过PA的中点Q作割线交O于C，D两点.若QC1，CD3，则PB_. 【导学号：96990030】图1287【解析】由切割线定理得QA2QCQD4，解得QA2.则PBPA2QA4.【答案】4构建体系1.如图1288，AD，AE，BC分别与圆O切于点D，E，F，延长AF与圆O交于另一点G.给出下列三个结论：图1288ADAEABBCCA；AFAGADAE；AFBADG.其中正确结论的序号是()A.B.C.D.【解析】CFCE，BFBD，BCCEBD.ABBCCA(ABBD)(ACCE)ADAE，故结论正确.连接DF，则FDADGA.又AA，ADFAGD.AD2AFAG.又AEAD，ADAEAFAG.故结论正确，容易判断结论不正确，故选A.【答案】A2.PT切O于点T，割线PAB经过O点交O于A，B，若PT4，PA2，则cosBPT()A. B.C.D.【解析】如图所示，连接OT，根据切割线定理，可得PT2PAPB，即422PB，PB8，ABPBPA6，OTr3，POPAr5，cosBPT.【答案】A3.如图1289所示，已知PA是O的切线，切点为A，PA2，AC是O的直径，PC与O交于点B，PB1，则O的半径R_.【导学号：96990031】图1289【解析】由切割线定理知PA2PBPC，即22PC，PC4，AC2PC2PA2422212，AC2，O的半径R.【答案】4.如图1290，ABC中，C90，O的直径CE在BC上，且与AB相切于D点，若COOB13，AD2，则BE等于()图1290A. B.2C.2D.1【解析】连接OD，则ODBD，RtBODRtBAC，设O的半径为a，OCOB13，OEOC，BEEC2a，BO3a，BD2a，BC4a，由题知AD，AC均为O的切线，AD2，AC2.，即a，BE2.【答案】B我还有这些不足：(1) (2) 我的课下提升方案：(1) (2) - 12 -