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平面向量的坐标表示及运算,复习,1,平面向量基本定理,如果e1,e2是同一平面内的两个不共线向量，那么对于这一平面内的任一向量a，有且只有一对实数1，2使a=1e1+2e2,2.共线向量定理向量a(a0)与b共线，当且仅当有唯一一个实数，使_,ba,(1)我们把不共线向量e1、e2叫做表示这一平面内所有向量的一组基底；(2)基底不唯一，关键是不共线；(3)由定理可将任一向量a在给出基底e1、e2的条件下进行分解；(4)基底给定时，分解形式唯一.1,2是被a,e1、e2唯一确定的数量。,a=1e1+2e2,复习,G=F1+F2,G=F1+F2叫做重力G的分解,类似地，由平面向量的基本定理，对平面上的任意向量a，均可以分解为不共线的两个向量1a1和2a2,使a=1a1+2a2,新课引入,G与F1,F2有什么关系?,把一个向量分解为两个互相垂直的向量,叫做把向量正交分解,若两个不共线向量互相垂直时,在平面上，如果选取互相垂直的向量作为基底时，会为我们研究问题带来方便。,A,如图，在直角坐标平面内，以原点O为起点作OA=a，则点A的位置由a唯一确定。,(x,y),因此，在平面直角坐标系内，每一个平面向量都可以用一对实数唯一表示。,向量的坐标表示,i=j=0=,(1,0)(0,1)(0,0),a=(x,y),a,b,相等的向量坐标相同,向量a、b有什么关系?,ab,能说出向量b的坐标吗?,b=(x,y),2.3.2（3）平面向量的坐标表示及运算,学习导航预习目标重点难点重点：向量的坐标表示难点：向量的坐标运算法则,1.平面向量的正交分解把一个向量分解成两个_的向量，叫做把向量正交分解2.平面向量的坐标表示(1)向量的直角坐标,互相垂直,在平面直角坐标系中，分别取与x轴、y轴方向相同的两个_i、j作为基底，对于平面内的一个向量a，由平面向量基本定理知，有且只有一对实数x，y使得a_，则把有序数对_叫做向量a的坐标,单位向量,xiyj,(x，y),(2)向量的坐标表示在向量a的直角坐标中，_叫做a在x轴上的坐标，_叫做a在y轴上的坐标,_叫做向量的坐标表示(3)在向量的直角坐标中，i(1，0)，j_，0(0，0),x,y,a(x，y),(0，1),想一想,3.平面向量的坐标运算,(x1x2，y1y2),(x1x2，y1y2),(x，y),做一做已知a(1，2)，b(1，3)，则a2b_解析：2b(2，6)，a2b(1，2)(2，6)(12，26)(1，8)答案：(1，8),已知，求的坐标.,O,x,y,B(x2,y2),A(x1,y1),结论:一个向量的坐标等于表示此向量的有向线段终点的坐标减去始点的坐标。,想一想,在直角坐标系xOy中，向量a，b，c的方向如图所示，且|a|2，|b|3，|c|4，分别计算出它们的坐标,【名师点评】向量的坐标表示是向量的另一种表示方法，当向量的始点在原点时，终点坐标即为向量的坐标,变式训练,设向量a、b的坐标分别是(1，2)，(3，5)，求ab，ab，3a，2a3b的坐标【解】ab(1，2)(3，5)(13，25)(2，3)；ab(1，2)(3，5)(13，25)(4，7),3a3(1，2)(3，6)；2a3b2(1，2)3(3，5)(2，4)(9，15)(29，415)(7，11),【名师点评】(1)如果两个向量是相等向量，那么它们的坐标一定对应相等当平面向量的起点在原点时，平面向量的坐标与表示向量的有向线段终点的坐标相同(2)证明一个四边形为平行四边形，可证明该四边形的一组对边所对应的向量相等,变式训练2.已知向量u(x，y)和向量v(y，2yx)的对应关系用vf(u)表示(1)若a(1，1)，b(1，0)，试求向量f(a)及f(b)的坐标；(2)求使f(c)(4，5)的向量c的坐标,2.若ab(3，4)，ab(5，2)，则向量a_，向量b_解析：ab(3，4)，ab(5，2),答案：(1，1)(4，3),方法技巧1.向量的正交分解是平面向量分解中常见的一种情形，即基底i，j垂直的情况单位正交基底坐标：i(1，0)，j(0，1),零向量坐标0(0，0).,2.向量的坐标运算主要是利用加、减、数乘运算法则进行若已知有向线段两端点的坐标，则应先求出向量的坐标，解题过程中要注意方程思想的运用及正确使用运算法则,失误防范1.点的坐标与向量坐标的联系与区别(1)表示形式不同，向量a(x，y)中间用等号连接，而点的坐标A(x，y)中间没有等号.(2)意义不同,点A(x，y)的坐标(x，y)表示点A在平面直角坐标系中的位置，a(x，y)的坐标(x，y)既表示向量的大小,也表示向量的方向,另外(x，y)既可以表示点，也可以表示向量，叙述时应指明点(x，y)或向量(x，y),(3)联系：当平面向量的起点在原点时，平面向量的坐标与向量终点的坐标相同2.已知两点坐标求向量的坐标时，一定要注意是用终点坐标减去起点坐标，同时要加强向量坐标与该向量起点,终点的关系的理解,以及坐标运算的灵活运用，向量的坐标运算可转化为实数的运算,小结,平面向量的正交分解,平面向量的坐标表示,平面向量的坐标运算,再见,
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