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专题10.1 椭圆试题 文【三年高考】1. 【2016高考新课标1文数】直线l经过椭圆的一个顶点和一个焦点,若椭圆中心到l的距离为其短轴长的,则该椭圆的离心率为（ ）（A） （B） （C） （D）【答案】B2. 【2016高考新课标文数】已知为坐标原点，是椭圆：的左焦点，分别为的左，右顶点.为上一点，且轴.过点的直线与线段交于点，与轴交于点.若直线经过的中点，则的离心率为（ ）（A）（B）（C）（D）【答案】A3【2016高考新课标2文数】已知是椭圆：的左顶点，斜率为的直线交与，两点，点在上，.（）当时，求的面积；（）当时，证明：.【解析】（）设，则由题意知.由已知及椭圆的对称性知，直线的倾斜角为，又，因此直线的方程为.将代入得，解得或，所以.因此的面积.（2） 将直线的方程代入得.由得，故.由题设，直线的方程为，故同理可得.由得，即.设，则是的零点，所以在单调递增，又，因此在有唯一的零点，且零点在内，所以.4【2016高考北京文数】已知椭圆C：过点A（2,0），B（0,1）两点.（I）求椭圆C的方程及离心率；（）设P为第三象限内一点且在椭圆C上，直线PA与y轴交于点M，直线PB与x轴交于点N，求证：四边形ABNM的面积为定值.5【2016高考天津文数】设椭圆（）的右焦点为，右顶点为，已知，其中 为原点，为椭圆的离心率.（）求椭圆的方程；（）设过点的直线与椭圆交于点（不在轴上），垂直于的直线与交于点，与轴交于点，若，且，求直线的斜率.【解析】（1）设，由，即，可得，又，所以，因此，所以椭圆的方程为.6. 【2015高考广东，文8】已知椭圆（）的左焦点为，则（ ）A B C D【答案】C【解析】由题意得：，因为，所以，故选C7.【2015高考福建，文11】已知椭圆的右焦点为短轴的一个端点为，直线交椭圆于两点若，点到直线的距离不小于，则椭圆的离心率的取值范围是（ ）A B C D【答案】A【解析】设左焦点为，连接，则四边形是平行四边形，故，所以，所以，设，则，故，从而，所以椭圆的离心率的取值范围是，故选A 8【2015高考浙江，文15】椭圆（）的右焦点关于直线的对称点在椭圆上，则椭圆的离心率是 【答案】9. 【2015高考安徽，文20】设椭圆E的方程为点O为坐标原点，点A的坐标为,点B的坐标为（0，b）,点M在线段AB上，满足直线OM的斜率为.（）求E的离心率e;（）设点C的坐标为（0，-b）,N为线段AC的中点，证明：MNAB.【解析】（）由题设条件知，点，又从而.进而，故.（）证：由是的中点知，点的坐标为，可得.又，从而有，由（）得计算结果可知所以，故.10. 【2014大纲，文9】已知椭圆C：的左右焦点为F1,F2离心率为，过F2的直线l交C与A、B两点，若AF1B的周长为，则C的方程为( )A. B. C. D. 【答案】A11.【2014辽宁，文15】 已知椭圆C：，点M与C的焦点不重合，若M关于C的焦点的对称点分别为A，B，线段MN的中点在C上，则 .【答案】12【解析】设MN的中点为G，则点G在椭圆C上，设点M关于C的焦点F1的对称点为A，点M关于C的焦点F2的对称点为B，则有|GF1|AN|，|GF2|BN|，所以|AN|BN|2(|GF1|GF2|)4a12.12.【2014新课标2，文20】设，分别是椭圆：的左，右焦点，是上一点且与轴垂直直线与的另一交点为（）若直线的斜率为，求的离心率；（）若直线在轴上的截距为2，且，求，【解析】（）由题意得：，的斜率为， ，又，解之：或（舍）， 故：直线的斜率为时，的离心率为；（）由题意知：点在第一象限，直线的斜率为：，则：；在直线上，得，且，又在椭圆上，联立、解得：，.【三年高考命题回顾】纵观前三年各地高考试题, 对椭圆的考查，重点考查椭圆的定义、标准方程、几何性质及直线与椭圆的位置关系，高考中以选择题、填空、解答题的第一小题的形式考查椭圆的定义、标准方程及椭圆的几何性质，为容易题或中档题，以解答题的第二问的形式考查直线与椭圆的位置关系，一般是难题，分值一般为5-12分. 【2017年高考复习建议与高考命题预测】由前三年的高考命题形式可以看出 , 椭圆的定义、标准方程、几何性质及直线与椭圆的位置关系是高考考试的热点，考查方面离心率是重点，其它利用性质求椭圆方程，求焦点三角形的周长与面积，求弦长，求椭圆的最值或范围问题，过定点问题，定值问题等预测2017年高考，对椭圆的考查，仍重点考查椭圆的定义、标准方程、几何性质及直线与椭圆的位置关系，仍以选择题、填空、解答题的第一小题的形式考查椭圆的定义、标准方程及椭圆的几何性质，难度仍为容易题或中档题，以解答题的第二问的形式考查直线与椭圆的位置关系，难度仍难题，分值保持在5-12分.在备战2017年高考中，要熟记椭圆的定义，会利用定义解决椭圆上一点与椭圆的焦点构成的三角形问题，会根据题中的条件用待定系数法、定义法等方法求椭圆的标准方程，会根据条件研究椭圆的几何性质，会用设而不求思想处理直线与椭圆的位置关系，重点掌握与椭圆有关的最值问题、定点与定值问题、范围问题的处理方法，注意题中向量条件的转化与向量方法应用.【2017年高考考点定位】高考对椭圆的考查有三种主要形式：一是直接考查椭圆的定义与标准方程；二是考查椭圆的几何性质；三是考查直线与椭圆的位置关系，从涉及的知识上讲，常平面几何、直线方程与两直线的位置关系、圆、平面向量、函数最值、方程、不等式等知识相联系，字母运算能力和逻辑推理能力是考查是的重点.【考点1】椭圆的定义与标准方程【备考知识梳理】1.椭圆的定义：把平面内与两定点的距离之和等于常数（大于）的点的轨迹叫做椭圆，这两个定点叫椭圆的焦点，两焦点之间的距离叫焦距，符号表述为：(). 注意：（1）当时，轨迹是线段.(2)当时，轨迹不存在.2.椭圆的标准方程：（1） 焦点在轴上的椭圆的标准方程为；焦点在y轴上的椭圆的标准方程为.给定椭圆，要根据的大小判定焦点在那个坐标轴上，焦点在分母大的那个坐标轴上.(2)椭圆中关系为：.【规律方法技巧】1.利用椭圆的定义可以将椭圆上一点到两焦点的距离进行转化，对椭圆上一点与其两焦点构成的三角形问题，常用椭圆的定义与正余弦定理去处理.2.求椭圆的标准方程方法(1)定义法：若某曲线（或轨迹）上任意一点到两定点的距离之和为常数（常数大于两点之间的距离），符合椭圆的定义，该曲线是以这两定点为焦点，定值为长轴长的椭圆，从而求出椭圆方程中的参数，写出椭圆的标准方程.(2)待定系数法，用待定系数法求椭圆标准方程，一般分三步完成，定性-确定它是椭圆；定位判定中心在原点，焦点在哪条坐标轴上；定量-建立关于基本量的关系式，解出参数即可求出椭圆的标准方程.3.若若椭圆的焦点位置不定，应分焦点在x轴上和焦点在y轴上，也可设椭圆方程为，可避免分类讨论和繁琐的计算.【考点针对训练】1. 【2016届淮南市高三第二次模】以双曲线的左右焦点为焦点，离心率为的椭圆的标准方程为（ ）A B C D【答案】C【解析】由题意得，双曲线的焦点坐标为，即，又离心率为，即，解得，所以，所以椭圆的方程为，故选C2. 【2016届广西柳州高中高三4月高考模拟】已知为椭圆的两个焦点，点在椭圆上，且的面积为，则 .【答案】.【考点2】椭圆的几何性质【备考知识梳理】1.椭圆的几何性质焦点在x轴上焦点在y轴上图形标准方程焦点(c,0)(0，c)焦距|F1F2|2c(c2a2b2)范围|x|a；|y|b|x|b；|y|a顶点长轴顶点(a,0)，短轴顶点(0，b)长轴顶点(0，a)，短轴顶点(b,0)对称性曲线关于x轴、y轴、原点对称曲线关于x轴、y轴、原点对称离心率e(0，1)，其中c2.点与椭圆关系（1）点在椭圆内；（2）点在椭圆上；（3）点在椭圆外.【规律方法技巧】1.求解与椭圆性质有关的问题时要结合图像进行分析，即使不画图形，思考时也要联想到图像.当涉及到顶点、焦点、长轴、短轴等椭圆的基本量时，要理清它们之间的关系，挖掘出它们之间的内在联系.2.椭圆取值范围实质实质是椭圆上点的横坐标、纵坐标的取值范围，在求解一些最值、取值范围以及存在性、判断性问题中有着重要的应用.3.求离心率问题，关键是先根据题中的已知条件构造出的等式或不等式，结合化出关于的式子，再利用，化成关于的等式或不等式，从而解出的值或范围.离心率与的关系为：=.4.椭圆上一点到椭圆一个焦点的距离的取值范围为.4.椭圆的通径（过焦点垂直于焦点所在对称轴的直线被椭圆截得的弦叫通径）长度为，是过椭圆焦点的直线被椭圆所截得弦长的最小值.【考点针对训练】1. 【2016届湖北省级示范高中联盟高三模拟】椭圆的左焦点为为上顶点，为长轴上任意一点，且在原点的右侧，若的外接圆圆心为，且，椭圆离心率的范围为（ ）A B C D【答案】A 2. 【2016届福建福州三中高三最后模拟】椭圆的左、右焦点为，过作直线垂直于轴，交椭圆C于A，B两点，若若为等腰直角三角形，且，则椭圆C的离心率为（ ）A B C D【答案】A【解析】 轴， 为等腰直角三角形， ， ，化为 解得 故选：A【考点3】直线与椭圆的位置关系【备考知识梳理】 直线方程与椭圆方程联立，消元后得到一元二次方程，若判别式0，则直线与椭圆交；若=0，则直线与椭圆相切；若0，则直线与椭圆相离.【规律方法技巧】1. 直线方程与椭圆方程联立，消元后得到一元二次方程，则一元二次方程的根是直线和椭圆交点的横坐标或纵坐标，常设出交点坐标，用根与系数关系将横坐标之和与之积表示出来，这是进一步解题的基础2直线ykxb(k0)与圆锥曲线相交于A(x1，y1)，B(x2，y2)两点，则弦长|AB| |x1x2| |y1y2|.3对中点弦问题常用点差法和参数法.【考点针对训练】1. 【2016届广东省华南师大附中高三5月测试】已知椭圆，直线与椭圆交于，两点，点，且，则直线的方程为 【答案】或 2. 【2016届湖北省八校高三二联】定义：在平面内，点到曲线上的点的距离的最小值称为点到曲线的距离.在平面直角坐标系中，已知圆：及点，动点到圆的距离与到点的距离相等，记点的轨迹为曲线.（）求曲线的方程；（）过原点的直线（不与坐标轴重合）与曲线交于不同的两点，点在曲线上，且，直线与轴交于点，设直线的斜率分别为，求【应试技巧点拨】焦点三角形问题的求解技巧(1)所谓焦点三角形，就是以椭圆的焦点为顶点，另一个顶点在椭圆上的三角形(2)解决此类问题要注意应用三个方面的知识：椭圆的定义；勾股定理或余弦定理；基本不等式与三角形的面积公式离心率的求法椭圆的离心率就是的值，有些试题中可以直接求出的值再求离心率，在有些试题中不能直接求出的值，由于离心率是个比值，因此只要能够找到一个关于或的方程，通过这个方程解出或，利用公式求出，对双曲线来说，对椭圆来说，.3 有关弦的问题(1)有关弦长问题，应注意运用弦长公式及根与系数的关系，“设而不求”；有关焦点弦长问题，要重视椭圆定义的运用，以简化运算斜率为的直线与圆锥曲线交于两点，则所得弦长或，其中求与时通常使用根与系数的关系，即作如下变形：，.当斜率不存在时，可求出交点坐标，直接运算(利用两点间距离公式)(2)弦的中点问题有关弦的中点问题，应灵活运用“点差法”，“设而不求法”来简化运算4.直线与椭圆的位置关系在直线与椭圆的位置关系问题中，一类是直线和椭圆关系的判断，利用判别式法.另一类常与“弦”相关：“平行弦”问题的关键是“斜率”、“中点弦”问题关键是“韦达定理”或“小小直角三角形”或“点差法”、“长度（弦长）”问题关键是长度（弦长）公式.在求解弦长问题中，要注意直线是否过焦点，如果过焦点，一般可采用焦半径公式求解；如果不过，就用一般方法求解.要注意利用椭圆自身的范围来确定自变量的范围，涉及二次方程时一定要注意判别式的限制条件.5.避免繁复运算的基本方法可以概括为：回避，选择，寻求.所谓回避，就是根据题设的几何特征，灵活运用曲线的有关定义、性质等，从而避免化简方程、求交点、解方程等繁复的运算.所谓选择，就是选择合适的公式，合适的参变量，合适的坐标系等，一般以直接性和间接性为基本原则.因为对普通方程运算复杂的问题，用参数方程可能会简单；在某一直角坐标系下运算复杂的问题，通过移轴可能会简单；在直角坐标系下运算复杂的问题，在极坐标系下可能会简单“所谓寻求”.6注意椭圆的范围，在设椭圆上点的坐标时，则，这往往在求与点有关的最值问题中特别有用，也是容易忽略导致求最值错误的原因7注意椭圆上点的坐标范围，特别是把椭圆上某一点坐标视为某一函数问题求解，求函数的单调区间，最值有重要意义 二年模拟1. 【2016届海南省农垦中学高三第九次月考】设斜率为的直线与椭圆交于不同的两点P,Q，若点P、Q在x轴上的射影恰好为椭圆的两个焦点，则该椭圆的离心率为（ ）A、 B、 C、 D、【答案】B2. 【2016届河南省新乡卫辉一中高考押题一】已知某椭圆的方程为，上顶点为，左顶点为，设是椭圆上的任意一点，且面积的最大值为，若已知，点为椭圆上的任意一点，则的最小值为（ ）A2 B C3 D【答案】B【解析】设，因此面积为，从而，当且仅当时取等号，选B. 3. 【2016届河北省衡水中学高三下练习五】椭圆的离心率是，则实数为（ ）A B C或 D或【答案】C 4. 【2016届福建省厦门市高三5月月考】已知点，是椭圆上的动点，且，则的取值范围是（ ）A B C D【答案】B【解析】设,因,且,故，所以，,故应选B. 5. 【2016届福建省泉州市高三5月质检】已知椭圆,其长轴长为且离心率为,在椭圆上任取一点, 过点作圆的两条切线,切点分别为,则的最小值为（ ）A B C D【答案】B6. 【2016届河南省郑州一中高三考前冲刺四】若P为椭圆上任意一点，EF为圆的任意一条直径，则的取值范围是_.【答案】【解析】因为 又因为椭圆的，为椭圆的右焦点，故答案为： 7. 【2016届河南省禹州市名校高三三模】已知为椭圆的右焦点, 点,点为椭圆上任意一点, 且的最小值为,则 【答案】【解析】由，得，由于，所以椭圆的焦点在轴上.设椭圆的左焦点为，则，那么 ，解得 8. 【2016届四川南充高中高三4月模拟三】如图，为椭圆的长轴的左、右端点，为坐标原点，为椭圆上不同于的三点，直线围成一个平行四边形，则 .【答案】9. 【2016届湖北省黄冈中学高三5月一模】已知椭圆的左焦点为，离心率为，直线与椭圆相交于两点，当轴时，的周长最大值为8.（1）求椭圆的方程；（2）若直线过点，求当面积最大时直线的方程.【解析】（1）设椭圆的右焦点为，由椭圆的定义，得，而的周长为，当且仅当过点时，等号成立，所以，即，又离心率为，所以，所以椭圆的方程为.（2）设直线的方程为，与椭圆方程联立得.设，则，且，所以，令，则式可化为.当且仅当，即时，等号成立.所以直线的方程为或. 10. 【2016届天津市和平区高三第四次模拟】椭圆的上顶点为是椭圆上一点，以为直径的圆经过椭圆的右焦点（）求椭圆的方程；（）若动直线与椭圆只有一个公共点，且轴上存在着两个定点，它们到直线的距离之积等于1，求出这两个定点的坐标（）当直线的斜率存在时，设其方程为，代入椭圆方程，消去，整理，得由，得假设存在着定点满足题设条件、到直线的距离分别为、，则由，对于恒成立，可得解得或故满足条件当直线的斜率不存在时，经检验，仍符合题意11.【2015届湖北省襄阳市第五中学高三第一学期11月质检】若椭圆的中心在原点，一个焦点为（0，2），直线y=3x+7与椭圆相交所得弦的中点的纵坐标为1，则这个椭圆的方程为（ ）A B C D【答案】D【解析】椭圆的中心在原点，一个焦点为（0，2），所以椭圆的焦点在轴上，且，故能排除A，B，C答案为D.12.【2015届黑龙江省哈尔滨市三中高三第四次模拟】设、是椭圆的左、右焦点，过的直线交椭圆于两点，若，且轴，则（ ） A B C D【答案】C13. 【江苏省启东中学2015届高三下学期期初调研】已知点是椭圆 上的一点，是椭圆的两个焦点，若的内切圆的半径为，则此椭圆的离心率为 【答案】；【解析】一方面的面积为；另一方面的面积为，又，椭圆的离心率为.14.【2015届黑龙江省哈尔滨市三中高三第四次模拟】如图，已知椭圆的中心在坐标原点，焦点在轴上，它的一个顶点为（0，），且离心率等于，过点（0，2）的直线与椭圆相交于，不同两点，点在线段上（）求椭圆的标准方程；（）设，试求的取值范围（）设，若直线与轴重合，则，得，得；若直线与轴不重合，则设直线的方程为，与椭圆方程联立消去得，得， ， 由得，整理得，将代入得，又点在直线上，所以，于是有，因此，由得，所以，综上所述，有 15.【2015届清华附中考前适应性练习】已知椭圆：的上顶点为，两个焦点为、，为正三角形且周长为6（）求椭圆的标准方程；（）已知圆:，若直线与椭圆只有一个公共点，且直线与圆相切于点；求的最大值拓展试题以及解析1. 已知椭圆的离心率为，直线与以的长轴为直径的圆交于两点,且曲线恰好将线段三等分,则的值为( )A B C D【答案】C【入选理由】本题考查椭圆的方程、直线和椭圆的位置关系、椭圆的简单几何性质等基础知识，意在考查数形结合思想，转化与化归思想，综合分析问题、解决问题的能力以及运算求解能力，直线与椭圆的位置关系，是高考考查的热点，故选此题.2如图，已知椭圆上有一个点，它关于原点的对称点为，点为椭圆的右焦点，且满足，当时，椭圆的离心率为_.【答案】【入选理由】本题考查椭圆的方程，椭圆的定义，解直角三角形，三角恒等变形，椭圆的简单几何性质等基础知识，意在考查数形结合思想，转化与化归思想，综合分析问题、解决问题的能力，以及运算求解能力，椭圆的简单几何性质，是高考考查的热点，故选此题.3.已知椭圆的离心率为，长轴上个等分点从左到右依次为点，过点作斜率为的直线，交椭圆于两点，点在轴上方；过点作斜率为的直线，交椭圆于两点，点在轴上方；以此类推，过点作斜率为的直线，交椭圆于两点，点在轴上方，则条直线的斜率乘积为【答案】【解析】因为椭圆的离心率为，所以，又，所以，设 ，由椭圆对称性知,从而条直线的斜率乘积配成组，每组乘积皆为，因此结果为【入选理由】本题考查椭圆的方程，直线的斜率，椭圆的简单几何性质等基础知识，意在考查数形结合思想，转化与化归思想，综合分析问题、解决问题的能力，以及运算求解能力，本题初看似乎很难，细细分析，利用椭圆的对称性很容易解出，本题构思巧妙，是一个好题，故选此题.4.设椭圆，定义椭圆的“隐圆”方程为，若抛物线的准线恰好过椭圆的一个焦点，且椭圆短轴的一个端点和其两个焦点构成直角三角形.（）求椭圆的方程和“隐圆”的方程；（）过“隐圆”上任意一点作“隐圆”的切线与椭圆交于两点，为坐标原点.(i)证明:为定值；(ii)连接并延长交“隐圆”于点，求面积的取值范围.（）（i）当直线的斜率不存在时，不妨设直线AB方程为，则，所以，当直线的斜率存在时，设其方程设为，设，联立方程组得,即, =,即， ，因为直线与隐圆相切，所以 ，为定值 ；【入选理由】本题考查椭圆的方程，直线和椭圆的位置关系,椭圆的简单几何性质,新定义,圆的性质,焦三角等基础知识，意在考查数形结合思想，转化与化归思想，综合分析问题、解决问题的能力，以及运算求解能力，本题构思巧妙，是一个好题，故选此题.5.已知椭圆：的右焦点到直线的距离为,且椭圆的一个长轴端点与一个短轴端点间的距离为（1）求椭圆的方程；（2）如图，连接椭圆短轴端点与椭圆上不同于的两点，与以椭圆短轴为直径的圆分别交于两点，且恰好经过圆心，求面积的最大值【入选理由】本题考查椭圆的方程，直线和椭圆的位置关系,椭圆的简单几何性质,基本不等式等基础知识，意在考查数形结合思想，转化与化归思想，综合分析问题、解决问题的能力，以及运算求解能力，本题是一个常规题，直线与椭圆的位置关系，是高考考查的热点，故选此题.6.已知椭圆的离心率为，直线与轴分别交于点.（）求证：直线与椭圆有且仅有一个交点；（）设为直线与椭圆的交点，若，求椭圆的离心率；（）求证：直线上的点到椭圆两焦点距离和的最小值为【入选理由】本题考查椭圆的方程，直线和椭圆的位置关系,椭圆的简单几何性质, 函数最值基础知识，意在考查数形结合思想，转化与化归思想，综合分析问题、解决问题的能力，以及运算求解能力，本题是一个常规题，第二问出题形式新颖，故选此题.7.已知、分别是离心率为的椭圆：的左、右焦点，是椭圆上一点，线段的中点为，（O为坐标原点）的周长为3.()求椭圆的标准方程；()过作与轴不垂直的直线交椭圆于两点，若，求实数的取值范围.【入选理由】本题考查椭圆的方程，椭圆的定义，直线和椭圆的位置关系,椭圆的简单几何性质基础知识，意在考查数形结合思想，转化与化归思想，综合分析问题、解决问题的能力，以及运算求解能力，本题是一个常规题，求参数范围是高考考试的重点，故选此题.8.椭圆的左、右焦点分别为、，为椭圆上任意一点，的最大值4，离心率为.（）求椭圆的方程；（）已知过（0,1）作一条直线与椭圆相交于两点，求面积的取值范围【解析】（）由题知，解得，所以=4，所以椭圆的方程为. （）可设直线的方程为，代入方程整理得，,设直【入选理由】本题考查椭圆的方程，直线和椭圆的位置关系,椭圆的简单几何性质,三角形的面积,函数与导数,函数的单调性,函数的最值基础知识，意在考查数形结合思想，转化与化归思想，综合分析问题、解决问题的能力，以及运算求解能力，本题是一个常规题，但综合性比较强,特别是与导数结合出题,是一个好题，故选此题.
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