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专题09 等差数列与等比数列1已知等差数列an前9项的和为27，a108，则a100等于()A100B99C98D97答案C解析由等差数列性质，知S99a527，得a53，而a108，因此公差d1，a100a1090d98，故选C.2设等差数列an的前n项和为Sn，且a10，a3a100，a6a70的最大自然数n的值为()A6B7C12D13答案C解析a10，a6a70，a70，a1a132a70，S130的最大自然数n的值为12.3已知各项不为0的等差数列an满足a42a3a80，数列bn是等比数列，且b7a7，则b2b12等于()A1B2C4D8答案C解析设等差数列an的公差为d，因为a42a3a80，所以a73d2a3(a7d)0，即a2a7，解得a70(舍去)或a72，所以b7a72.因为数列bn是等比数列，所以b2b12b4.4已知各项都为正数的等比数列an满足a7a62a5，存在两项am，an使得4a1，则的最小值为()A.B.C.D.答案A5定义在(，0)(0，)上的函数f(x)，如果对于任意给定的等比数列an，f(an)仍是等比数列，则称f(x)为“保等比数列函数”现有定义在(，0)(0，)上的如下函数：f(x)x2；f(x)2x；f(x)；f(x)ln|x|.则其中是“保等比数列函数”的f(x)的序号为()ABCD答案C解析等比数列性质，anan2a，f(an)f(an2)aa(a)2f2(an1)；f(an)f(an2)f2(an1)；f(an)f(an2)ln|an|ln|an2|(ln|an1|)2f2(an1)故选C.6已知an为等差数列，Sn为其前n项和若a16，a3a50，则S6_.答案6解析a3a52a40，a40.又a16，a4a13d0，d2.S666(2)6.7已知an是等差数列，Sn是其前n项和若a1a3，S510，则a9的值是_答案20解析设等差数列an公差为d，由题意可得：解得则a9a18d48320.8设等比数列an满足a1a310，a2a45，则a1a2an的最大值为_答案64解析设等比数列an的公比为q，解得a1a2an(3)(2)(n4)nN*，当n3或4时，取到最小值6，此时取到最大值2664，a1a2an的最大值为64.9若等比数列an的各项均为正数，且a10a11a9a122e5，则lna1lna2lna20_.答案50解析数列an为等比数列，且a10a11a9a122e5，a10a11a9a122a10a112e5，a10a11e5，lna1lna2lna20ln(a1a2a20)ln(a10a11)10ln(e5)10lne5050.10已知数列an，bn满足a1，anbn1，bn1 (nN*)，则b2015_.答案解析anbn1，且bn1，bn1，a1，且a1b11，b1，bn1，1.又b1，2.数列是以2为首项，1为公差的等差数列，n1，bn.则b2015.易错起源1、等差数列、等比数列的运算例1、(1)已知数列an中，a3，a7，且是等差数列，则a5等于()A. B. C. D.(2)已知等比数列an的各项都为正数，其前n项和为Sn，且a1a79，a42，则S8等于()A15(1) B15C15D15(1)或15(1)答案(1)B(2)D解析(1)设等差数列的公差为d，则4d，4d，解得d2.2d10，解得a5.(2)由a42，得a1a7a8，故a1，a7是方程x29x80的两根，所以或因为等比数列an的各项都为正数，所以公比q0.当时q，所以S815(1)；当时，q，所以S815.故选D.【变式探究】(1)已知an是等差数列，公差d不为零若a2，a3，a7成等比数列，且2a1a21，则a1_，d_.(2)已知数列an是各项均为正数的等比数列，a1a21，a3a42，则log2_.答案(1)1(2)1006【名师点睛】在进行等差(比)数列项与和的运算时，若条件和结论间的联系不明显，则均可化成关于a1和d(q)的方程组求解，但要注意消元法及整体计算，以减少计算量【锦囊妙计，战胜自我】1通项公式等差数列：ana1(n1)d；等比数列：ana1qn1.2求和公式等差数列：Snna1d；等比数列：Sn(q1)3性质若mnpq，在等差数列中amanapaq；在等比数列中amanapaq.易错起源2、等差数列、等比数列的判定与证明例2、已知数列an的前n项和为Sn (nN*)，且满足anSn2n1.(1)求证：数列an2是等比数列，并求数列an的通项公式；(2)求证：. (2)，()()().【变式探究】(1)已知数列an中，a11，an12an3，则an_.(2)已知数列bn的前n项和为Tn，若数列bn满足各项均为正项，并且以(bn，Tn) (nN*)为坐标的点都在曲线ayx2xb (a为非零常数)上运动，则称数列bn为“抛物数列”已知数列bn为“抛物数列”，则()Abn一定为等比数列Bbn一定为等差数列Cbn只从第二项起为等比数列Dbn只从第二项起为等差数列答案(1)2n13(2)B解析(1)由已知可得an132(an3)，又a134，故an3是以4为首项，2为公比的等比数列an342n1，an2n13.(2)由已知条件可知，若数列bn为“抛物数列”，设数列bn的前n项和为Tn，则数列bn满足各项均为正项，并且以(bn，Tn)(nN*)为坐标的点都在曲线ayx2xb (a为非零常数)上运动，即aTnbbnb，当n1时，aT1bb1bab1bb1bbb1b0abab12b0，即b1；当n2时，由aTnbbnb，及aTn1bbn1b，两式相减得abn(bb)(bnbn1)(bb)(bnbn1)0，由各项均为正项，可得bnbn11(n2)，由等差数列的定义可知bn一定为等差数列【名师点睛】 (1)判断一个数列是等差(比)数列，也可以利用通项公式及前n项和公式，但不能作为证明方法(2)q和aan1an1(n2)都是数列an为等比数列的必要不充分条件，判断时还要看各项是否为零【锦囊妙计，战胜自我】数列an是等差数列或等比数列的证明方法(1)证明数列an是等差数列的两种基本方法：利用定义，证明an1an(nN*)为一常数；利用中项性质，即证明2anan1an1(n2)(2)证明an是等比数列的两种基本方法：利用定义，证明(nN*)为一常数；利用等比中项，即证明aan1an1(n2)易错起源3、等差数列、等比数列的综合问题例3、已知等差数列an的公差为1，且a2a7a126.(1)求数列an的通项公式an与前n项和Sn；(2)将数列an的前4项抽去其中一项后，剩下三项按原来顺序恰为等比数列bn的前3项，记bn的前n项和为Tn，若存在mN*，使对任意nN*，总有SnTm恒成立，求实数的取值范围解(1)由a2a7a126得a72，a14，an5n，从而Sn.(2)由题意知b14，b22，b31，设等比数列bn的公比为q，则q，Tm81()m，()m随m增加而递减，Tm为递增数列，得4Tm8.又Sn(n29n)(n)2，故(Sn)maxS4S510，若存在mN*，使对任意nN*总有SnTm，则106.即实数的取值范围为(6，)【变式探究】已知数列an的前n项和为Sn，且Sn13(an1)，nN*.(1)求数列an的通项公式；(2)设数列bn满足若bnt对于任意正整数n都成立，求实数t的取值范围【名师点睛】(1)等差数列与等比数列交汇的问题，常用“基本量法”求解，但有时灵活地运用性质，可使运算简便(2)数列的项或前n项和可以看作关于n的函数，然后利用函数的性质求解数列问题(3)数列中的恒成立问题可以通过分离参数，通过求数列的值域求解【锦囊妙计，战胜自我】解决等差数列、等比数列的综合问题，要从两个数列的特征入手，理清它们的关系；数列与不等式、函数、方程的交汇问题，可以结合数列的单调性、最值求解1在等差数列an中，若a4a6a8a10a12120，则2a10a12的值为()A20B22C24D28答案C解析由a4a6a8a10a12(a4a12)(a6a10)a85a8120，解得a824，a8a122a10，2a10a12a824.2已知在等差数列an中，a1120，d4，若Snan (n2)，则n的最小值为()A60B62C70D72答案B解析由题意可知，Snna1d2n2122n，ana1(n1)d1244n，由Snan得2n2126n124，解得n1或n62，又n2，n62，故选B.3在等比数列an中，a14，公比为q，前n项和为Sn，若数列Sn2也是等比数列，则q等于()A2B2C3D3答案C解析由题意可得q1，由数列Sn2是等比数列，可得S12，S22，S32成等比数列，所以(S22)2(S12)(S32)，所以(64q)224(1qq2)12，q3(q0舍去)故选C.4某公司为激励创新，计划逐年加大研发资金投入若该公司2015年全年投入研发资金130万元，在此基础上，每年投入的研发资金比上一年增长12%，则该公司全年投入的研发资金开始超过200万元的年份是(参考数据：lg1.120.05，lg1.30.11，lg20.30)()A2018年B2019年C2020年D2021年答案B解析设x年后该公司全年投入的研发资金为200万元，由题可知，130(112%)x200，解得xlog1.123.80，因资金需超过200万，则x取4，即2019年故选B.5函数f(x)若数列an满足anf(n) (nN*)，且an是递增数列，则实数a的取值范围是()A.B.C(2,3) D(1,3)答案C解析因为anf(n) (nN*)，an是递增数列，所以函数f(x)为增函数需满足三个条件解不等式组得实数a的取值范围是(2,3)，故选C.6若数列n(n4)n中的最大项是第k项，则k_.答案4解析设最大项为第k项，则有故k4.7数列an中，a12，a23，an (nN*，n3)，则a2017_.答案2解析因为a12，a23，所以a3，a4，a5，a6，a72，a83，所以数列an是以6为周期的周期数列，所以a2017a33661a12.8已知数列an的首项为a12，且an1(a1a2an) (nN*)，记Sn为数列an的前n项和，则Sn_，an_.答案2n19已知数列an是等比数列，并且a1，a21，a3是公差为3的等差数列(1)求数列an的通项公式；(2)设bna2n，记Sn为数列bn的前n项和，证明：Sn.(1)解设等比数列an的公比为q，因为a1，a21，a3是公差为3的等差数列，所以即解得a18，q.所以ana1qn18()n124n.(2)证明因为，所以数列bn是以b1a24为首项，为公比的等比数列所以Sn1()n.10设数列an(n1,2,3，)的前n项和Sn满足Sn2ana1，且a1，a21，a3成等差数列(1)求数列an的通项公式；(2)记数列的前n项和为Tn，求使得|Tn1|成立的n的最小值 (2)由(1)可得，所以Tn1.由|Tn1|，得，即2n1000，因为2951210001024210，所以n10，于是，使|Tn1|成立的n的最小值为10.
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