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第30练与抛物线有关的热点问题题型分析高考展望抛物线是三种圆锥曲线之一，应用广泛，是高考的重点考查对象，抛物线方程、几何性质、直线与抛物线结合的问题都是高考热点考查形式有选择题、填空题也有解答题，小题难度一般为低中档层次，解答题难度为中档偏上体验高考1(2015四川)设直线l与抛物线y24x相交于A，B两点，与圆(x5)2y2r2(r0)相切于点M，且M为线段AB的中点，若这样的直线l恰有4条，则r的取值范围是()A(1,3) B(1,4)C(2,3) D(2,4)答案D解析设A(x1，y1)，B(x2，y2)，M(x0，y0)，则相减得(y1y2)(y1y2)4(x1x2)，当直线l的斜率不存在时，符合条件的直线l必有两条；当直线l的斜率k存在时，如图x1x2，则有2，即y0k2，由CMAB得，k1，y0k5x0,25x0，x03，即M必在直线x3上，将x3代入y24x，得y212，2y02，点M在圆上，(x05)2yr2，r2y412416，又y44，4r216，2r4.故选D.2(2015浙江)如图，设抛物线y24x的焦点为F，不经过焦点的直线上有三个不同的点A，B，C，其中点A，B在抛物线上，点C在y轴上，则BCF与ACF的面积之比是()A.B.C.D.答案A解析由图形可知，BCF与ACF有公共的顶点F，且A，B，C三点共线，易知BCF与ACF的面积之比就等于.由抛物线方程知焦点F(1，0)，作准线l，则l的方程为x1.点A，B在抛物线上，过A，B分别作AK，BH与准线垂直，垂足分别为点K，H，且与y轴分别交于点N，M.由抛物线定义，得|BM|BF|1，|AN|AF|1.在CAN中，BMAN，.3(2016四川)设O为坐标原点，P是以F为焦点的抛物线y22px(p0)上任意一点，M是线段PF上的点，且|PM|2|MF|，则直线OM的斜率的最大值为()A. B. C. D1答案C解析如图，由题意可知F，设P点坐标为，显然，当y00时，kOM0时，kOM0，要求kOM的最大值，不妨设y00.则()，kOM，当且仅当y2p2时等号成立故选C.4(2016课标全国乙)以抛物线C的顶点为圆心的圆交C于A，B两点，交C的准线于D，E两点已知|AB|4，|DE|2，则C的焦点到准线的距离为()A2 B4C6 D8答案B解析不妨设抛物线C：y22px(p0)，则圆的方程可设为x2y2r2(r0)，如图，又可设A(x0,2)，D，点A(x0,2)在抛物线y22px上，82px0，点A(x0,2)在圆x2y2r2上，x8r2，点D在圆x2y2r2上，25r2，联立，解得p4，即C的焦点到准线的距离为p4，故选B.5(2015上海)抛物线y22px(p0)上的动点Q到焦点的距离的最小值为1，则p_.答案2解析根据抛物线的性质，我们知道当且仅当动点Q运动到原点的时候，才与抛物线焦点的距离最小，所以有|PQ|min1p2.高考必会题型题型一抛物线的定义及其应用例1已知P为抛物线y26x上一点，点P到直线l：3x4y260的距离为d1.(1)求d1的最小值，并求此时点P的坐标；(2)若点P到抛物线的准线的距离为d2，求d1d2的最小值解(1)设P(，y0)，则d1|(y04)236|，当y04时，(d1)min，此时x0，当P点坐标为(，4)时，(d1)min.(2)设抛物线的焦点为F，则F(，0)，且d2|PF|，d1d2d1|PF|，它的最小值为点F到直线l的距离，(d1d2)min.点评与抛物线有关的最值问题，一般情况下都与抛物线的定义有关由于抛物线的定义在运用上有较大的灵活性，因此此类问题也有一定的难度“看到准线想焦点，看到焦点想准线”，这是解决抛物线焦点弦有关问题的重要途径变式训练1(1)(2016浙江)若抛物线y24x上的点M到焦点的距离为10，则点M到y轴的距离是_(2)已知点P在抛物线y24x上，那么点P到Q(2,1)的距离与点P到抛物线焦点距离之和取得最小值时，点P的坐标为()A(，1) B(，1)C(1,2) D(1，2)答案(1)9(2)B解析(1)抛物线y24x的焦点F(1,0)准线为x1，由M到焦点的距离为10，可知M到准线x1的距离也为10，故M的横坐标满足xM110，解得xM9，所以点M到y轴的距离为9.(2)抛物线y24x焦点为F(1,0)，准线为x1，作PQ垂直于准线，垂足为M，根据抛物线定义，|PQ|PF|PQ|PM|，根据三角形两边之和大于第三边，直角三角形斜边大于直角边知：|PQ|PM|的最小值是点Q到抛物线准线x1的距离所以点P纵坐标为1，则横坐标为，即(，1)题型二抛物线的标准方程及几何性质例2(2015福建)已知点F为抛物线E：y22px(p0)的焦点，点A(2，m)在抛物线E上，且|AF|3.(1)求抛物线E的方程；(2)已知点G(1,0)，延长AF交抛物线E于点B，证明：以点F为圆心且与直线GA相切的圆，必与直线GB相切方法一(1)解由抛物线的定义得|AF|2.因为|AF|3，即23，解得p2，所以抛物线E的方程为y24x.(2)证明因为点A(2，m)在抛物线E：y24x上，所以m2，由抛物线的对称性，不妨设A(2,2)由A(2,2)，F(1,0)可得直线AF的方程为y2(x1)由得2x25x20，解得x2或x，从而B.又G(1,0)，所以kGA，kGB.所以kGAkGB0，从而AGFBGF，这表明点F到直线GA，GB的距离相等，故以F为圆心且与直线GA相切的圆必与直线GB相切方法二(1)解同方法一(2)证明设以点F为圆心且与直线GA相切的圆的半径为r.因为点A(2，m)在抛物线E：y24x上，所以m2，由抛物线的对称性，不妨设A(2,2)由A(2,2)，F(1,0)可得直线AF的方程为y2(x1)由得2x25x20.解得x2或x，从而B.又G(1,0)，故直线GA的方程为2x3y20.从而r.又直线GB的方程为2x3y20.所以点F到直线GB的距离dr.这表明以点F为圆心且与直线GA相切的圆必与直线GB相切点评(1)由抛物线的标准方程，可以首先确定抛物线的开口方向、焦点的位置及p的值，再进一步确定抛物线的焦点坐标和准线方程(2)求抛物线标准方程的常用方法是待定系数法，其关键是判断焦点位置、开口方向，在方程的类型已经确定的前提下，由于标准方程只有一个参数p，只需一个条件就可以确定抛物线的标准方程变式训练2已知抛物线C的顶点在坐标原点O，其图象关于y轴对称且经过点M(2,1)(1)求抛物线C的方程；(2)若一个等边三角形的一个顶点位于坐标原点，另两个顶点在抛物线上，求该等边三角形的面积；(3)过点M作抛物线C的两条弦MA，MB，设MA，MB所在直线的斜率分别为k1，k2，当k1k22时，试证明直线AB的斜率为定值，并求出该定值解(1)设抛物线C的方程为x22py(p0)，由点M(2,1)在抛物线C上，得42p，则p2，抛物线C的方程为x24y.(2)设该等边三角形OPQ的顶点P，Q在抛物线上，且P(xP，yP)，Q(xQ，yQ)，则x4yP，x4yQ，由|OP|OQ|，得xyxy，即(yPyQ)(yPyQ4)0.又yP0，yQ0，则yPyQ，|xP|xQ|，即线段PQ关于y轴对称POy30，yPxP，代入x4yP，得xP4，该等边三角形边长为8，SPOQ48.(3)设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则x4y1，x4y2，k1k2(x12x22)2.x1x212，kAB(x1x2)3.题型三直线和抛物线的位置关系例3已知抛物线C：ymx2(m0)，焦点为F，直线2xy20交抛物线C于A，B两点，P是线段AB的中点，过P作x轴的垂线交抛物线C于点Q.(1)求抛物线C的焦点坐标；(2)若抛物线C上有一点R(xR,2)到焦点F的距离为3，求此时m的值；(3)是否存在实数m，使ABQ是以Q为直角顶点的直角三角形？若存在，求出m的值；若不存在，说明理由解(1)抛物线C：x2y，它的焦点F(0，)(2)|RF|yR，23，得m.(3)存在，联立方程消去y得mx22x20，依题意，有(2)24m(2)0m.设A(x1，mx)，B(x2，mx)，则(*)P是线段AB的中点，P(，)，即P(，yP)，Q(，)得(x1，mx)，(x2，mx)，若存在实数m，使ABQ是以Q为直角顶点的直角三角形，则0，即(x1)(x2)(mx)(mx)0，结合(*)化简得40，即2m23m20，m2或m，而2(，)，(，)存在实数m2，使ABQ是以Q为直角顶点的直角三角形点评(1)直线与抛物线的位置关系和直线与椭圆、双曲线的位置关系类似，一般要用到根与系数的关系；(2)有关直线与抛物线的弦长问题，要注意直线是否过抛物线的焦点，若过抛物线的焦点，可直接使用公式|AB|x1x2p，若不过焦点，则必须用一般弦长公式(3)涉及抛物线的弦长、中点、距离等相关问题时，一般利用根与系数的关系采用“设而不求”“整体代入”等解法提醒：涉及弦的中点、斜率时一般用“点差法”求解变式训练3(2015课标全国)在直角坐标系xOy中，曲线C：y与直线l：ykxa(a0)交于M，N两点，(1)当k0时，分别求C在点M和N处的切线方程；(2)y轴上是否存在点P，使得当k变动时，总有OPMOPN？说明理由解(1)由题设可得M(2，a)，N(2，a)，或M(2，a)，N(2，a)又y，故y在x2处的导数值为，C在点(2，a)处的切线方程为ya(x2)，即xya0.y在x2处的导数值为，C在点(2，a)处的切线方程为ya(x2)，即xya0.故所求切线方程为xya0和xya0.(2)存在符合题意的点，证明如下：设P(0，b)为符合题意的点，M(x1，y1)，N(x2，y2)，直线PM，PN的斜率分别为k1，k2.将ykxa代入C的方程得x24kx4a0.故x1x24k，x1x24a.从而k1k2.当ba时，有k1k20，则直线PM的倾斜角与直线PN的倾斜角互补，故OPMOPN，所以点P(0，a)符合题意高考题型精练1如图所示，过抛物线y22px(p0)的焦点F的直线l交抛物线于点A、B，交其准线l于点C，若|BC|2|BF|，且|AF|3，则此抛物线的方程为()Ay29xBy26xCy23xDy2x答案C解析如图，分别过点A，B作准线的垂线，分别交准线于点E，D，设|BF|a，则由已知得：|BC|2a，由定义得：|BD|a，故BCD30.在直角三角形ACE中，|AF|3，|AE|3，|AC|33a，2|AE|AC|，33a6，从而得a1，BDFG，求得p，因此抛物线方程为y23x，故选C.2已知抛物线关于x轴对称，它的顶点在坐标原点O，并且经过点M(2，y0)若点M到该抛物线焦点的距离为3，则|OM|等于()A2B2C4 D2答案B解析设抛物线方程为y22px，则点M(2，2)焦点，点M到该抛物线焦点的距离为3，24p9，解得p2(负值舍去)，故M(2，2)|OM|2.3已知抛物线C：y2x的焦点为F，A(x0，y0)是C上一点，|AF|x0，则x0等于()A1 B2C4 D8答案A解析由题意知抛物线的准线为x.因为|AF|x0，根据抛物线的定义可得x0|AF|x0，解得x01.4已知抛物线C：y28x的焦点为F，点M(2,2)，过点F且斜率为k的直线与C交于A，B两点，若AMB90，则k等于()A.B.C.D2答案D解析抛物线C：y28x的焦点为F(2,0)，由题意可知直线AB的斜率一定存在，所以设直线方程为yk(x2)，代入抛物线方程可得k2x2(4k28)x4k20，设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则x1x24，x1x24，所以y1y2，y1y216，因为AMB90，所以(x12，y12)(x22，y22)40，解得k2，故选D.5已知点A(2,3)在抛物线C：y22px的准线上，过点A的直线与C在第一象限相切于点B，记C的焦点为F，则直线BF的斜率为()A.B.C.D.答案D解析抛物线y22px的准线为直线x，而点A(2,3)在准线上，所以2，即p4，从而C：y28x，焦点为F(2,0)设切线方程为y3k(x2)，代入y28x得y2y2k30(k0)，由于14(2k3)0，所以k2或k.因为切点在第一象限，所以k.将k代入中，得y8，再代入y28x中得x8，所以点B的坐标为(8,8)，所以直线BF的斜率为.6已知A(x1，y1)是抛物线y28x的一个动点，B(x2，y2)是圆(x2)2y216上的一个动点，定点N(2,0)，若ABx轴，且x10)和E2：y22p2x(p20)，过原点O的两条直线l1和l2，l1与E1，E2分别交于A1，A2两点，l2与E1，E2分别交于B1，B2两点(1)证明：A1B1A2B2；(2)过O作直线l(异于l1，l2)与E1，E2分别交于C1，C2两点记A1B1C1与A2B2C2的面积分别为S1与S2，求的值(1)证明设直线l1，l2的方程分别为yk1x，yk2x(k1，k20)，由得A1，由得A2.同理可得B1，B2.所以2p1.(，)2p2(，)故，所以A1B1A2B2.(2)解由(1)知A1B1A2B2，同理可得B1C1B2C2，C1A1C2A2，所以A1B1C1A2B2C2.因此2.又由(1)中的知，故.12已知抛物线y22px(p0)的焦点为F，A(x1，y1)，B(x2，y2)是过F的直线与抛物线的两个交点，求证：(1)y1y2p2，x1x2；(2)为定值；(3)以AB为直径的圆与抛物线的准线相切证明(1)由已知得抛物线焦点坐标为(，0)由题意可设直线方程为xmy，代入y22px，得y22p，即y22pmyp20.(*)则y1，y2是方程(*)的两个实数根，所以y1y2p2.因为y2px1，y2px2，所以yy4p2x1x2，所以x1x2.(2).因为x1x2，x1x2|AB|p，代入上式，得(定值)(3)设AB的中点为M(x0，y0)，分别过A，B作准线的垂线，垂足为C，D，过M作准线的垂线，垂足为N，则|MN|(|AC|BD|)(|AF|BF|)|AB|.所以以AB为直径的圆与抛物线的准线相切
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