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第1讲三角函数的图象与性质1(2016四川)为了得到函数ysin的图象，只需把函数ysin 2x的图象上所有的点()A向左平行移动个单位长度B向右平行移动个单位长度C向左平行移动个单位长度D向右平行移动个单位长度答案D解析由题意可知，ysinsin，则只需把ysin 2x的图象向右平移个单位，故选D.2(2016课标全国甲)若将函数y2sin 2x的图象向左平移个单位长度，则平移后图象的对称轴为()Ax(kZ) Bx(kZ)Cx(kZ) Dx(kZ)答案B解析由题意将函数y2sin 2x的图象向左平移个单位长度后得到函数的解析式为y2sin，由2xk，kZ，得函数的对称轴为x(kZ)，故选B.3(2016课标全国乙)已知函数f(x)sin(x)，x为f(x)的零点，x为yf(x)图象的对称轴，且f(x)在上单调，则的最大值为()A11 B9 C7 D5答案B解析因为x为f(x)的零点，x为f(x)的图象的对称轴，所以kT，即T，所以4k1(kN)，又因为f(x)在上单调，所以，即12，由此得的最大值为9，故选B.4(2016江苏)定义在区间0,3上的函数ysin 2x的图象与ycos x的图象的交点个数是_答案7解析在区间0,3上分别作出ysin 2x和ycos x的简图如下：由图象可得两图象有7个交点1.以图象为载体，考查三角函数的最值、单调性、对称性、周期性.2.考查三角函数式的化简、三角函数的图象和性质、角的求值，重点考查分析、处理问题的能力，是高考的必考点.热点一三角函数的概念、诱导公式及同角关系式1三角函数：设是一个任意角，它的终边与单位圆交于点P(x，y)，则sin y，cos x，tan .各象限角的三角函数值的符号：一全正，二正弦，三正切，四余弦2同角关系：sin2cos21，tan .3诱导公式：在，kZ的诱导公式中“奇变偶不变，符号看象限”例1(1)点P从(1,0)出发，沿单位圆x2y21逆时针方向运动弧长到达Q点，则Q点的坐标为()A(，) B(，)C(，) D(，)(2)(2015四川)已知sin 2cos 0，则2sin cos cos2的值是_答案(1)A(2)1解析(1)设Q点的坐标为(x，y)，则xcos，ysin.Q点的坐标为(，)(2)sin 2cos 0，sin 2cos ，tan 2，又2sin cos cos2，原式1.思维升华(1)涉及与圆及角有关的函数建模问题(如钟表、摩天轮、水车等)，常常借助三角函数的定义求解应用定义时，注意三角函数值仅与终边位置有关，与终边上点的位置无关(2)应用诱导公式时要弄清三角函数在各个象限内的符号；利用同角三角函数的关系化简过程要遵循一定的原则，如切化弦、化异为同、化高为低、化繁为简等跟踪演练1(1)已知点P落在角的终边上，且0,2)，则的值为()A. B. C. D.(2)如图，以Ox为始边作角 (00，cos 0，0，0)的图象如图所示，则f()的值为_答案(1)B(2)1解析(1)ysinsin，要得到ysin的图象，只需将函数ysin 4x的图象向右平移个单位(2)根据图象可知，A2，所以周期T，由2.又函数过点(，2)，所以有sin(2)1，而00，0)的图象求解析式时，常采用待定系数法，由图中的最高点、最低点或特殊点求A；由函数的周期确定；确定常根据“五点法”中的五个点求解，其中一般把第一个零点作为突破口，可以从图象的升降找准第一个零点的位置(2)在图象变换过程中务必分清是先相位变换，还是先周期变换变换只是相对于其中的自变量x而言的，如果x的系数不是1，就要把这个系数提取后再确定变换的单位长度和方向跟踪演练2(1)已知函数f(x)sin(xR，0)的最小正周期为，为了得到函数g(x)cos x的图象，只要将yf(x)的图象()A向左平移个单位长度B向右平移个单位长度C向左平移个单位长度D向右平移个单位长度(2)(2015陕西)如图，某港口一天6时到18时的水深变化曲线近似满足函数y3sink，据此函数可知，这段时间水深(单位：m)的最大值为()A5 B6C8 D10答案(1)A(2)C解析(1)由题意知，函数f(x)的周期T，所以2，即f(x)sin，g(x)cos 2x.把g(x)cos 2x变形得g(x)sinsin2(x)，所以只要将f(x)的图象向左平移个单位长度，即可得到g(x)cos 2x的图象故选A.(2)由题干图易得ymink32，则k5.ymaxk38.热点三三角函数的性质1三角函数的单调区间：ysin x的单调递增区间是2k，2k(kZ)，单调递减区间是2k，2k(kZ)；ycos x的单调递增区间是2k，2k(kZ)，单调递减区间是2k，2k(kZ)；ytan x的递增区间是(k，k)(kZ)2yAsin(x)，当k(kZ)时为奇函数；当k(kZ)时为偶函数；对称轴方程可由xk(kZ)求得yAcos(x)，当k(kZ)时为奇函数；当k(kZ)时为偶函数；对称轴方程可由xk(kZ)求得yAtan(x)，当k(kZ)时为奇函数例3(2015重庆)已知函数f(x)sinsin xcos2x.(1)求f(x)的最小正周期和最大值；(2)讨论f(x)在上的单调性解(1)f(x)sinsin xcos2xcos xsin x(1cos 2x)sin 2xcos 2xsin，因此f(x)的最小正周期为，最大值为.(2)当x时，02x，从而当02x，即x时，f(x)单调递增，当2x，即x时，f(x)单调递减综上可知，f(x)在上单调递增；在上单调递减思维升华函数yAsin(x)的性质及应用的求解思路第一步：先借助三角恒等变换及相应三角函数公式把待求函数化成yAsin(x)B的形式；第二步：把“x”视为一个整体，借助复合函数性质求yAsin(x)B的单调性及奇偶性、最值、对称性等问题跟踪演练3设函数f(x)2cos2xsin 2xa(aR)(1)求函数f(x)的最小正周期和单调递增区间；(2)当x0，时，f(x)的最大值为2，求a的值，并求出yf(x)(xR)的对称轴方程解(1)f(x)2cos2xsin 2xa1cos 2xsin 2xasin(2x)1a，则f(x)的最小正周期T，且当2k2x2k(kZ)，即kxk(kZ)时，f(x)单调递增所以k，k(kZ)为f(x)的单调递增区间(2)当x0，时2x，当2x，即x时，sin(2x)1.所以f(x)max1a2a1.由2xk(kZ)，得x(kZ)，故yf(x)的对称轴方程为x，kZ.1已知函数f(x)sin(xR，0)图象的相邻两条对称轴之间的距离为.为了得到函数g(x)cos x的图象，只要将yf(x)的图象()A向左平移个单位长度B向右平移个单位长度C向左平移个单位长度D向右平移个单位长度押题依据本题结合函数图象的性质确定函数解析式，然后考查图象的平移，很有代表性，考生应熟练掌握图象平移规则，防止出错答案A解析先求出周期确定，求出两个函数解析式，然后结合平移法则求解由于函数f(x)图象的相邻两条对称轴之间的距离为，则其最小正周期T，所以2，即f(x)sin，g(x)cos 2x.把g(x)cos 2x变形得g(x)sinsin2(x)，所以要得到函数g(x)的图象，只要将f(x)的图象向左平移个单位长度故选A.2如图，函数f(x)Asin(x)(其中A0，0，|)与坐标轴的三个交点P、Q、R满足P(2,0)，PQR，M为QR的中点，PM2，则A的值为()A. B.C8 D16押题依据由三角函数的图象求解析式是高考的热点，本题结合平面几何知识求A，考查了数形结合思想答案B解析由题意设Q(a,0)，R(0，a)(a0)则M(，)，由两点间距离公式得，PM2，解得a18，a24(舍去)，由此得，826，即T12，故，由P(2,0)得，代入f(x)Asin(x)得，f(x)Asin(x)，从而f(0)Asin()8，得A.3已知函数f(x)2asin xcos x2cos2x (a0，0)的最大值为2，x1，x2是集合MxR|f(x)0中的任意两个元素，且|x1x2|的最小值为6.(1)求函数f(x)的解析式及其图象的对称轴方程；(2)将函数yf(x)的图象向右平移2个单位后得到函数yg(x)的图象，当x(1,2时，求函数h(x)f(x)g(x)的值域押题依据三角函数解答题的第(1)问的常见形式是求周期、求单调区间及求对称轴方程(或对称中心)等，这些都可以由三角函数解析式直接得到，因此此类命题的基本方式是利用三角恒等变换得到函数的解析式第(2)问的常见形式是求解函数的值域(或最值)，特别是指定区间上的值域(或最值)，是高考考查三角函数图象与性质命题的基本模式解(1)f(x)2asin xcos x2cos2xasin 2xcos 2x.由题意知f(x)的最小正周期为12，则12，得.由f(x)的最大值为2，得2，又a0，所以a1.于是所求函数的解析式为f(x)sin xcos x2sin，令xk(kZ)，解得x16k(kZ)，即函数f(x)图象的对称轴方程为x16k(kZ)(2)由题意可得g(x)2sin(x2)2sin x，所以h(x)f(x)g(x)4sinsin x2sin2x2sin xcos x1cos xsin x12sin.当x(1,2时，x(，所以sin(1,1，即12sin(1,3，于是函数h(x)的值域为(1,3A组专题通关1若0sin ，且2，0，则的取值范围是()A.B.(kZ)C.D.(kZ)答案A解析根据题意并结合正弦线可知，满足(kZ)，2，0，的取值范围是.故选A.2函数f(x)cos的图象向左平移个单位长度后得到的图象对应的函数为()Aycos BysinCycos Dysin答案C解析函数f(x)cos的图象向左平移个单位长度后所得图象的解析式为ycos3(x)cos(3x)，故选C.3已知tan 3，则的值为()A B3C. D3答案A解析.4已知角的终边经过点A(，a)，若点A在抛物线yx2的准线上，则sin 等于()A B.C D.答案D解析由条件，得抛物线的准线方程为y1，因为点A(，a)在抛物线yx2的准线上，所以a1，所以点A(，1)，所以sin .5.函数f(x)Asin x(A0，0)的部分图象如图所示，则f(1)f(2)f(3)f(2 015)的值为()A0 B3C6 D答案A解析由图可得，A2，T8，8，f(x)2sin x，f(1)，f(2)2，f(3)，f(4)0，f(5)，f(6)2，f(7)，f(8)0，而2 01582517，f(1)f(2)f(2 015)0.6函数y2sin()(0x9)的最大值与最小值之差为_答案2解析因为0x9，所以，因此当时，函数y2sin()取得最大值，即ymax212.当时，函数y2sin()取得最小值，即ymin2sin()，因此y2sin()(0x9)的最大值与最小值之差为2.7已知函数f(x)3sin(x)(0)和g(x)3cos(2x)的图象的对称中心完全相同，若x0，则f(x)的取值范围是_答案，3解析由两个三角函数图象的对称中心完全相同，可知两函数的周期相同，故2，所以f(x)3sin(2x)，那么当x0，时，2x，所以sin(2x)1，故f(x)，38已知是三角形的内角，若sin cos ，则tan _.答案解析方法一由解得或因为(0，)，所以sin 0，所以所以tan .方法二由已知得(sin cos )2，化简得2sin cos ，则可知角是第二象限角，且(sin cos )212sin cos ，由于sin cos 0，所以sin cos ，将该式与sin cos 联立，解得所以tan .9已知函数f(x)cos.(1)若f()，其中，求sin的值；(2)设g(x)f(x)f，求函数g(x)在区间上的最大值和最小值解(1)因为f()cos，且00，函数f(x)2asin2ab，当x时，5f(x)1.(1)求常数a，b的值；(2)设g(x)f且lg g(x)0，求g(x)的单调区间解(1)x，2x.sin，2asin2a，af(x)b,3ab，又5f(x)1，b5,3ab1，因此a2，b5.(2)由(1)得，f(x)4sin1，g(x)f4sin14sin1，又由lg g(x)0，得g(x)1，4sin11，sin，2k2x2k，kZ，其中当2k2x2k，kZ时，g(x)单调递增，即kxk，kZ，g(x)的单调增区间为，kZ.又当2k2x2k，kZ时，g(x)单调递减，即kxk，kZ.g(x)的单调减区间为，kZ.B组能力提高11已知函数f(x)2sin，把函数f(x)的图象沿x轴向左平移个单位，得到函数g(x)的图象关于函数g(x)，下列说法正确的是()A在上是增函数B其图象关于直线x对称C函数g(x)是奇函数D当x时，函数g(x)的值域是2,1答案D解析因为f(x)2sin，把函数f(x)的图象沿x轴向左平移个单位，得g(x)f2sin2(x)2sin(2x)2cos 2x.画出g(x)的部分图象，如图所示由图可知，函数g(x)在上是减函数，A错误；其图象的一个对称中心为(，0)，B错误；函数g(x)为偶函数，C错误；又g2cos1，g2cos1，g2cos2，所以当x时，函数g(x)的值域是2,1，D正确故选D.12(2015课标全国)函数f(x)cos(x)的部分图象如图所示，则f(x)的单调递减区间为()A.，kZB.，kZC.，kZD.，kZ答案D解析由图象知，周期T22，2，.由2k，kZ，不妨取，f(x)cos.由2kx2k，kZ，得2kx0)的部分图象如图所示，点A，B是最高点，点C是最低点，若ABC是直角三角形，则f()_.答案解析由已知得ABC是等腰直角三角形，且ACB90，所以|AB|f(x)maxf(x)min1(1)2，即|AB|4，而T|AB|4，解得.所以f(x)sin，所以f()sin.14已知函数f(x)Asin(x)(A0，0)，g(x)tan x，它们的最小正周期之积为22，f(x)的最大值为2g()(1)求f(x)的单调递增区间；(2)设h(x)f2(x)2cos2x.当xa，)时，h(x)有最小值为3，求a的值解(1)由题意，得22，所以1.又A2g()2tan 2tan 2，所以f(x)2sin(x)令2kx2k(kZ)，得2kx2k(kZ)故f(x)的单调递增区间为2k，2k(kZ)(2)因为h(x)f2(x)2cos2x4sin2(x)2cos2x3(sin xcos x)22cos2x33sin 2x(cos 2x1)32sin(2x)，又h(x)有最小值为3，所以有32sin(2x)3，即sin(2x).因为xa，)，所以2x2a，)，所以2a，即a.
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