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第28练椭圆问题中最值得关注的基本题型题型分析高考展望椭圆问题在高考中占有比较重要的地位，并且占的分值也较多分析历年的高考试题，在选择题、填空题、解答题中都有涉及到椭圆的题，所以我们对椭圆知识必须系统的掌握对各种题型，基本的解题方法也要有一定的了解体验高考1(2015广东)已知椭圆1(m0)的左焦点为F1(4,0)，则m等于()A2 B3 C4 D9答案B解析由题意知25m216，解得m29，又m0，所以m3.2(2015福建)已知椭圆E：1(ab0)的右焦点为F，短轴的一个端点为M，直线l：3x4y0交椭圆E于A，B两点若|AF|BF|4，点M到直线l的距离不小于，则椭圆E的离心率的取值范围是()A.B.C.D.答案A解析设左焦点为F0，连接F0A，F0B，则四边形AFBF0为平行四边形|AF|BF|4，|AF|AF0|4，a2.设M(0，b)，则，1b2.离心率e，故选A.3(2016课标全国丙)已知O为坐标原点，F是椭圆C：1(ab0)的左焦点，A，B分别为C的左，右顶点P为椭圆C上一点，且PFx轴过点A的直线l与线段PF交于点M，与y轴交于点E.若直线BM经过OE的中点，则椭圆C的离心率为()A. B. C. D.答案A解析设M(c，m)，则E，OE的中点为D，则D，又B，D，M三点共线，所以，a3c，e.4(2015浙江)已知椭圆y21上两个不同的点A，B关于直线ymx对称(1)求实数m的取值范围；(2)求AOB面积的最大值(O为坐标原点)解(1)由题意知m0，可设直线AB的方程为yxb.由消去y，得x2xb210.因为直线yxb与椭圆y21有两个不同的交点，所以2b220，将线段AB中点M代入直线方程ymx，解得b，由得m或m.(2)令t，则|AB|，且O到直线AB的距离为d.设AOB的面积为S(t)，所以S(t)|AB|d.当且仅当t2时，等号成立故AOB面积的最大值为.5(2016北京)已知椭圆C：1(ab0)的离心率为，A(a,0)，B(0，b)，O(0,0)，OAB的面积为1.(1)求椭圆C的方程；(2)设P是椭圆C上一点，直线PA与y轴交于点M，直线PB与x轴交于点N.求证：|AN|BM|为定值(1)解由已知，ab1.又a2b2c2，解得a2，b1，c.椭圆C的方程为y21.(2)证明由(1)知，A(2,0)，B(0,1)设椭圆上一点P(x0，y0)，则y1.当x00时，直线PA方程为y(x2)，令x0得yM.从而|BM|1yM|.直线PB方程为yx1，令y0得xN.|AN|2xN|.|AN|BM|4.当x00时，y01，|BM|2，|AN|2，|AN|BM|4.故|AN|BM|为定值高考必会题型题型一利用椭圆的几何性质解题例1如图，焦点在x轴上的椭圆1的离心率e，F，A分别是椭圆的一个焦点和顶点，P是椭圆上任意一点，求的最大值和最小值解设P点坐标为(x0，y0)由题意知a2，e，c1，b2a2c23.所求椭圆方程为1.2x02，y0.又F(1,0)，A(2,0)，(1x0，y0)，(2x0，y0)，xx02yxx01(x02)2.当x02时，取得最小值0，当x02时，取得最大值4.点评熟练掌握椭圆的几何性质是解决此类问题的根本，利用离心率和椭圆的范围可以求解范围问题、最值问题，利用a、b、c之间的关系和椭圆的对称性可构造方程变式训练1如图，F1、F2分别是椭圆C：1(ab0)的左、右焦点，A是椭圆C的顶点，B是直线AF2与椭圆C的另一个交点，F1AF260.(1)求椭圆C的离心率；(2)若AF1B的面积为40，求椭圆C的方程解(1)由题意可知，AF1F2为等边三角形，a2c，所以e.(2)方法一a24c2，b23c2，直线AB的方程可为y(xc)，将其代入椭圆方程3x24y212c2，得B(c，c)，所以|AB|c0|c，由SAF1B|AF1|AB|sin F1ABaaa240，解得a10，b5，所以椭圆C的方程为1.方法二设|AB|t，因为|AF2|a，所以|BF2|ta，由椭圆定义|BF1|BF2|2a可知，|BF1|3at，再由余弦定理(3at)2a2t22atcos 60可得，ta，由SAF1B|AF1|AB|sin F1ABaaa240知，a10，b5，所以椭圆C的方程为1.题型二直线与椭圆相交问题例2(2015课标全国)已知椭圆C：1(ab0)的离心率为，点(2，)在C上(1)求椭圆C的方程；(2)直线l不过原点O且不平行于坐标轴，l与C有两个交点A，B，线段AB的中点为M，证明：直线OM的斜率与直线l的斜率的乘积为定值(1)解由题意得，1，解得a28，b24.所以椭圆C的方程为1.(2)证明设直线l：ykxb(k0，b0)，A(x1，y1)，B(x2，y2)，M(xM，yM)将ykxb代入1，得(2k21)x24kbx2b280.故xM，yMkxMb.于是直线OM的斜率kOM，即kOMk.所以直线OM的斜率与直线l的斜率的乘积为定值点评解决直线与椭圆相交问题的一般思路：将直线方程与椭圆方程联立，转化为一元二次方程，由判别式范围或根与系数的关系解决求范围或最值问题，也可考虑求“交点”，由“交点”在椭圆内(外)，得出不等式，解不等式变式训练2椭圆C：1(ab0)的离心率为，且过其右焦点F与长轴垂直的直线被椭圆C截得的弦长为2.(1)求椭圆C的方程；(2)设点P是椭圆C的一个动点，直线l：yx与椭圆C交于A，B两点，求PAB面积的最大值解(1)椭圆C：1(ab0)的离心率为，e，2ca，即4c23a2，又过椭圆右焦点F与长轴垂直的直线被椭圆C截得的弦长为2，1，1，即b24，又a2b2c2，a2b2c24a2，即a216，椭圆C的方程为1.(2)联立直线l：yx与椭圆C的方程，得消去y，整理可得7x212x520，即(7x26)(x2)0，解得x2或x，不妨设A(2，)，B(，)，则|AB|，设过P点且与直线l平行的直线L的方程为yxC，L与l的距离就是P点到AB的距离，即PAB的边AB上的高，只要L与椭圆相切，就有L与边AB的最大距离，即得最大面积将yxC代入1，消元整理可得：7x28Cx16C2640，令判别式(8C)247(16C264)256C228640，解得C .L与AB的最大距离为，PAB面积的最大值为(2)题型三利用“点差法，设而不求思想”解题例3已知椭圆1(ab0)的一个顶点为B(0,4)，离心率e，直线l交椭圆于M，N两点(1)若直线l的方程为yx4，求弦|MN|的长；(2)如果BMN的重心恰好为椭圆的右焦点F，求直线l方程的一般式解(1)由已知得b4，且，即，解得a220，椭圆方程为1.则4x25y280与yx4联立，消去y得9x240x0，x10，x2，所求弦长|MN|x2x1|.(2)如图，椭圆右焦点F的坐标为(2,0)，设线段MN的中点为Q(x0，y0)，由三角形重心的性质知2，又B(0,4)，(2，4)2(x02，y0)，故得x03，y02，即得Q的坐标为(3，2)设M(x1，y1)，N(x2，y2)，则x1x26，y1y24，且1，1，以上两式相减得0，kMN，故直线MN的方程为y2(x3)，即6x5y280.点评当涉及平行弦的中点轨迹，过定点的弦的中点轨迹，过定点且被定点平分的弦所在直线方程时，用“点差法”来求解变式训练3已知椭圆1(ab0)，焦点在直线x2y20上，且离心率为.(1)求椭圆方程；(2)过P(3,1)作直线l与椭圆交于A，B两点，P为线段AB的中点，求直线l的方程解(1)椭圆1(ab0)，焦点在直线x2y20上，令y0，得焦点(2,0)，c2，离心率e，解得a4，b216412，椭圆方程为1.(2)设A(x1，y1)，B(x2，y2)，过P(3,1)作直线l与椭圆交于A，B两点，P为线段AB的中点，由题意，x1x26，y1y22，0，kl，l的方程为y1(x3)，即9x4y310.高考题型精练1(2016课标全国乙)直线l经过椭圆的一个顶点和一个焦点，若椭圆中心到l的距离为其短轴长的，则该椭圆的离心率为()A.B.C.D.答案B解析如图，由题意得，BFa，OFc，OBb，OD2bb.在RtOFB中，|OF|OB|BF|OD|，即cbab，代入解得a24c2，故椭圆离心率e，故选B.2已知椭圆1，F1、F2分别是椭圆的左、右焦点，点A(1,1)为椭圆内一点，点P为椭圆上一点，则|PA|PF1|的最大值是()A6 B62C6D6答案D解析|PA|PF1|PA|2a|PF2|2a|AF2|6，当P，A，F2共线时取最大值，故选D.3已知椭圆1的右焦点为F，P是椭圆上一点，点A(0,2)，当APF的周长最大时，直线AP的方程为()Ayx2Byx2Cyx2Dyx2答案D解析椭圆1中a3，b，c2，由题意，设F是左焦点，则APF周长|AF|AP|PF|AF|AP|2a|PF|46|PA|PF|10|AF|(A，P，F三点共线，且P在AF的延长线上时，取等号)，直线AP的方程为1，即yx2，故选D.4如果椭圆1的弦被点(4,2)平分，则这条弦所在的直线方程是()Ax2y0Bx2y40C2x3y140Dx2y80答案D解析设这条弦的两端点为A(x1，y1)，B(x2，y2)，斜率为k，则两式相减再变形得k0，又弦中点坐标为(4,2)，故k，故这条弦所在的直线方程为y2(x4)，整理得x2y80，故选D.5设F1、F2分别是椭圆C：1(ab0)的左、右焦点，点P在椭圆C上，线段PF1的中点在y轴上，若PF1F230，则椭圆的离心率为()A.B.C.D.答案A解析线段PF1的中点在y轴上，设P的横坐标为x，F1(c,0)，cx0，xc，P与F2的横坐标相等，PF2x轴，PF1F230，|PF2|PF1|，|PF2|PF1|2a，|PF2|a，tan PF1F2，e.6过点M(0,1)的直线l交椭圆C：1于A，B两点，F1为椭圆的左焦点，当ABF1周长最大时，直线l的方程为_答案xy10解析设右焦点为F2(1,0)，则|AF1|4|AF2|，|BF1|4|BF2|，所以|AF1|BF1|AB|8|AB|(|AF2|BF2|)，显然|AF2|BF2|AB|，当且仅当A，B，F2共线时等号成立，所以当直线l过点F2时，ABF1的周长取最大值8，此时直线方程为yx1，即xy10.7(2016江苏)如图，在平面直角坐标系xOy中，F是椭圆1(ab0)的右焦点，直线y与椭圆交于B，C两点，且BFC90，则该椭圆的离心率是_答案解析联立方程组解得B、C两点坐标为B，C，又F(c,0)，则，又由BFC90，可得0，代入坐标可得：c2a20，又因为b2a2c2.代入式可化简为，则椭圆离心率为e.8(2016淮北一中高三最后一卷)P为椭圆1上的任意一点，AB为圆C：(x1)2y21的任一条直径，则的取值范围是_答案3,15解析圆心C(1,0)为椭圆的右焦点，()()()()22|21，显然|ac，ac2,4，所以|213,159设椭圆的中心为原点O，焦点在x轴上，上顶点为A(0,2)，离心率为.(1)求该椭圆的标准方程；(2)设B1(2,0)，B2(2,0)，过B1作直线l交椭圆于P，Q两点，使PB2QB2，求直线l的方程解(1)设椭圆的标准方程为1(ab0)，1，即，又b24，a220，椭圆的标准方程为1.(2)由题意知直线l的倾斜角不为0，故可设直线l的方程为：xmy2.代入椭圆方程得(m25)y24my160，设P(x1，y1)，Q(x2，y2)，则y1y2，y1y2，又(x12，y1)，(x22，y2)，所以(x12)(x22)y1y2(my14)(my24)y1y2(m21)y1y24m(y1y2)1616，由PB2QB2得0，即16m2640，解得m2，直线l的方程为x2y2，即x2y20.10(2016课标全国乙)设圆x2y22x150的圆心为A，直线l过点B(1,0)且与x轴不重合，l交圆A于C，D两点，过点B作AC的平行线交AD于点E.(1)证明|EA|EB|为定值，并写出点E的轨迹方程；(2)设点E的轨迹为曲线C1，直线l交C1于M，N两点，过点B且与l垂直的直线与圆A交于P，Q两点，求四边形MPNQ面积的取值范围解(1)因为|AD|AC|，EBAC，故EBDACDADC，所以|EB|ED|，故|EA|EB|EA|ED|AD|.又圆A的标准方程为(x1)2y216，从而|AD|4，所以|EA|EB|4.由题设得A(1,0)，B(1,0)，|AB|2，由椭圆定义可得点E的轨迹方程为：1(y0)(2)当l与x轴不垂直时，设l的方程为yk(x1)(k0)，M(x1，y1)，N(x2，y2)由得(4k23)x28k2x4k2120.则x1x2，x1x2，所以|MN|x1x2|.过点B(1,0)且与l垂直的直线m：y(x1)，点A到m的距离为，所以|PQ|24.故四边形MPNQ的面积S|MN|PQ|12.可得当l与x轴不垂直时，四边形MPNQ面积的取值范围为(12,8)当l与x轴垂直时，其方程为x1，|MN|3，|PQ|8，四边形MPNQ的面积为12.综上，四边形MPNQ面积的取值范围为12,8)11(2015安徽)设椭圆E的方程为1(ab0)，点O为坐标原点，点A的坐标为(a,0)，点B的坐标为(0，b)，点M在线段AB上，满足|BM|2|MA|，直线OM的斜率为.(1)求椭圆E的离心率e；(2)设点C的坐标为(0，b)，N为线段AC的中点，证明：MNAB.(1)解由题设条件知，点M的坐标为，又kOM，从而.进而ab，c2b，故e.(2)证明由N是AC的中点知，点N的坐标为，可得，又(a，b)，从而有a2b2(5b2a2)由(1)的计算结果可知a25b2，所以0，故MNAB.
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