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专题2.3 基本初等函数【三年高考】1. 【2016高考新课标1文数】若,则（ ）（A）logaclogbc （B）logcalogcb （C）accb【答案】B【解析】由可知是减函数,又,所以故选B.本题也可以用特殊值代入验证.2【2016高考新课标文数】已知，则（ ）(A) (B) (C) (D) 【答案】A3【2016高考上海文科】已知点在函数的图像上，则.【答案】【解析】将点带入函数的解析式得，所以，用表示得，所以.4【2016高考四川文科】某公司为激励创新，计划逐年加大研发奖金投入.若该公司2015年全年投入研发资金130万元，在此基础上，每年投入的研发资金比上一年增长12，则该公司全年投入的研发资金开始超过200万元的年份是( )(参考数据：lg1.12=0.05，lg1.3=0.11，lg2=0.30) (A)2018年 (B) 2019年 (C)2020年 (D)2021年【答案】B5【2016高考浙江文数】已知a，b0，且a1，b1，若 ，则（ ）A. B. C. D. 【答案】D【解析】，当时，；当时，故选D6. 【2015高考新课标1，文12】设函数的图像与的图像关于直线对称，且，则( )（A） （B） （C） （D）【答案】C【解析】设是函数的图像上任意一点，它关于直线对称为（），由已知知（）在函数的图像上，解得，即，解得，故选C.7. 【2015高考湖北，文7】设，定义符号函数 则（ ）A B C D【答案】.8. 【2015高考安徽，文11】 .【答案】-1【解析】原式9. 【2015高考湖北，文17】a为实数，函数在区间上的最大值记为. 当_时，的值最小.【答案】.【解析】因为函数，所以分以下几种情况对其进行讨论：当时，函数在区间上单调递增，所以；当时，此时，而，所以；当时，在区间上递增，在上递减.当时，取得最大值；当时，在区间上递增，当时，取得最大值，则在上递减，上递增，即当时，的值最小.故应填.10【2014高考福建卷文第8题】若函数的图象如右图所示，则下列函数正确的是 （ ） 【答案】11【2014高考江苏卷第10题】已知函数，若对于任意的都有，则实数的取值范围为 .【答案】【解析】据题意解得12. 【2014高考山东卷文第6题】已知函数为常数，其中的图象如右图，则下列结论成立的是（ ）A. B. C. D.【答案】【三年高考命题回顾】纵观前三年各地高考试题, 对基本初等函数的考查，大部分是以基本初等函数的性质为依托，结合运算推理解决问题，高考中一般以选择题和填空的形式考查.【2017年高考复习建议与高考命题预测】由前三年的高考命题形式 , 幂函数新课标要求较低，只要求掌握幂函数的概念，图像与简单性质，仅限于几个特殊的幂函数，关于幂函数常以5种幂函数为载体，考查幂函数的概念、图象与性质，多以小题形式出现，属容易题二次函数的图象及性质是近几年高考的热点；用三个“二次”间的联系解决问题是重点，也是难点题型以选择题和填空题为主，若与其他知识点交汇，则以解答题的形式出现.指数函数在历年的高考题中占据着重要的地位.对指数函数的考查，大多以基本函数的性质为依托，结合运算推理，能运用它们的性质解决具体问题.为此，我们要熟练掌握指数运算法则，明确算理，能对常见的指数型函数进行变形处理.高考题目形式多以指数函数为载体的复合函数来考察函数的性质.同时它们与其它知识点交汇命题，则难度会加大.对数函数在历年的高考题中占据着重要的地位.从近几年的高考形势来看，对对数函数的考查，大多以基本函数的性质为依托，结合运算推理，能运用它们的性质解决具体问题.为此，我们要熟练掌握对数运算法则，明确算理，能对常见的对数型函数进行变形处理.高考题目形式多以对数函数为载体的复合函数来考察函数的性质.同时它们与其它知识点交汇命题，则难度会加大.基本初等函数是考察函数、方程、不等式很好的载体，预测2017年高考继续加强对基本初等函数图象和性质的考察.尤其注意以基本初等函数特别是指对函数为模型的抽象函数的考察，这种题型只给出定义域内满足某些运算性质的法则，往往集定义域、值域、单调性、奇偶性与一身，全面考察学生对函数概念和性质的理解.【2017年高考考点定位】高考对基本初等函数的考查有三种主要形式：一是比较大小；二是基本初等函数的图象和性质；三是基本初等函数的综合应用，其中经常以分段函数为载体考察函数、方程、不等式等知识的相联系.【考点1】指数值、对数值的比较大小【备考知识梳理】指数函数，当时，指数函数在单调递增；当时，指数函数在单调递减.对数函数，当时，对数函数在单调递增；当时，对数函数在单调递减.幂函数图象永远过（1,1），且当时，在时，单调递增；当时，在时，单调递减.【规律方法技巧】指数值和对数值较大小，若指数值有底数相同或指数相同，可以考虑构造指数函数和幂函数和对数函数，通过考虑单调性，进而比较函数值的大小；其次还可以借助函数图象比较大小.若底数和指数不相同时，可考虑选取中间变量，指数值往往和1比较；对数值往往和0、1比较.【考点针对训练】1. 【湖南省长沙市长郡中学2016届高三下学期第六次月考】设，则( )A B C D【答案】D【解析】因为，所以.2. 【2016届海南省华侨中学高三考前模拟】设，则（ ）A B C D【答案】D【考点2】指数函数的图象和性质【备考知识梳理】yaxa10a0时，y1；x0时，0y0时，0y1；x1过定点(0,1)在(，)上是增函数在(，)上是减函数【规律方法技巧】1、 研究指数函数性质时，一定要首先考虑底数的范围，分和两种情况讨论，因为两种情况单调性不同，相应地图象也不同.2、与指数函数有关的函数的图像的研究，往往利用相应指数函数的图像，通过平移、对称变换得到其图像3、一些指数方程、不等式问题的求解，往往利用相应的指数型函数图像数形结合求解【考点针对训练】1. 【湖北2016年3月三校联考】已知定义在上的函数()为偶函数记，则的大小关系为（ ） A B C D【答案】B【解析】函数为偶函数，则有，可求得，即，又所以，故本题的正确选项为B. 2【河北省衡水中学2016届高三一调】已知，则使成立的一个充分不必要条件是（ ）A B C D【答案】A【考点3】对数的运算性质和对数函数的图象和性质【备考知识梳理】1对数的定义如果，那么数叫做以为底的对数，记作其中叫做对数的底数，叫做真数2对数的性质与运算及换底公式(1)对数的性质：；(2)对数的换底公式基本公式 (a，c均大于0且不等于1，b0)(3)对数的运算法则：如果，那么， ()3对数函数的图像与性质a10a1图像定义域(0，)值域R定点过点(1,0)单调性在(0，)上是增函数在(0，)上是减函数函数值当0x1，y1时，y0；正负当0x0当x1时，y0)f(x)ax2bxc(a0)图象定义域(，)(，)值域单调性在x上单调递减；在x上单调递增在x上单调递减在x上单调递增对称性函数的图象关于x对称【规律方法技巧】1、分析二次函数的图象，主要有两个要点：一个是看二次项系数的符号，它确定二次函数图象的开口方向；二是看对称轴和最值，它确定二次函数的具体位置对于函数图象判断类似题要会根据图象上的一些特殊点进行判断，如函数图象与正半轴的交点，函数图象的最高点与最低点等2、抛物线的开口，对称轴位置定义区间三者相互制约，常见的题型中这三者有两定一不定，要注意分类讨论.【考点针对训练】1【2016届湖北省襄阳五中高三5月高考模拟】已知函数是奇函数，当时，若不等式（且）对任意的恒成立，则实数的取值范围是（ ）A B C D【答案】C【解析】因,则,故,即,在同一坐标系下画出函数,结合函数的图象可以看出:当时不等式成立 ,选C2. 【2016届安徽省淮北一中高三最后一卷】定义：如果函数在上存在满足，则称函数是上的“双中值函数”，已知函数是上“双中值函数”，则实数的取值范围是（ ）A B C D【答案】B【考点5】幂函数的图象和性质【备考知识梳理】(1)定义：形如yx(R)的函数称为幂函数，其中x是自变量，是常数(2)幂函数的图象比较(3)幂函数的性质比较特征 函数性质yxyx2yx3定义域RRR0，)x|xR且x0值域R0，)R0，)y|yR且y0奇偶性奇函数偶函数奇函数非奇非偶函数奇函数单调性增x0，)时，增；x(，0时，减增增x(0，) 时，减；x(，0)时，减【规律方法技巧】1幂函数，其中为常数，其本质特征是以幂的底为自变量，指数为常数，这是判断一个函数是否是幂函数的重要依据和唯一标准2在上，幂函数中指数越大，函数图象越靠近x轴(简记为“指大图低”)，在(1，)上，幂函数中指数越大，函数图象越远离x轴幂函数的图象一定会出现在第一象限内，一定不会出现在第四象限内，至于是否出现在第二、三象限内，要看函数的奇偶性；幂函数的图象最多只能同时出现在两个象限内；如果幂函数的图象与坐标轴相交，则交点一定是原点【考点针对训练】1. 【2016届宁夏银川二中高三三模拟】已知幂函数的图象过点，则（ ）A B C D与大小无法判定【答案】A【解析】设，则，即，在上是减函数，所以故选A2. 【湖南省衡阳市第八中学2016届高三第三次月考】函数满足，那么函数的图象大致为【答案】C【应试技巧点拨】1.指数运算的实质是指数式的积、商、幂的运算，对于指数式的和、差应充分运用恒等变形和乘法公式；对数运算的实质是把积、商、幂的对数转化为对数的和、差、倍2指数函数且与对数函数且互为反函数，应从概念、图象和性质三个方面理解它们之间的联系与区别3明确函数图象的位置和形状要通过研究函数的性质,要记忆函数的性质可借助于函数的图象因此要掌握指数函数和对数函数的性质首先要熟记指数函数和对数函数的图象4.求解与指数函数有关的复合函数问题时，首先要熟知指数函数的定义域、值域、单调性等相关性质，其次要明确复合函数的构成，涉及值域、单调区间、最值等问题时，都要借助“同增异减”这一性质分析判断，最终将问题归纳为与内层函数相关的问题加以解决5.指数函数且的图象和性质与的取值有关，要特别注意区分与来研究6对可化为或形式的方程或不等式，常借助换元法解决,但应注意换元后“新元”的范围7指数式且与对数式且的关系以及这两种形式的互化是对数运算法则的关键8在运算性质 且时，要特别注意条件，在无的条件下应为 (，且为偶数)9.幂函数的图象一定会出现在第一象限，一定不会出现在第四象限，至于是否出现在第二、三象限，要看函数的奇偶性；幂函数的图象最多只能同时出现在两个象限内；如果幂函数图象与坐标轴相交，则交点一定是原点二年模拟1. 【2016届湖北省武汉市武昌区高三5月调研】设，则（ ）A B C D【答案】C2. 【2016届山东省济宁市高三下学期3月模拟】定义在上的奇函数满足，且在上，则（ ）A B C D【答案】B【解析】 由题意可得，即函数是周期为4的周期函数，又是上的奇函数，在上，故3. 【2016届浙江省杭州市高三第二次质检】若直线与函数的图象及轴分别交于三点，若，则（ ）A或 B或 C或 D【答案】C【解析】由题意可知，,或， 或，或.故选C.4. 【河北省冀州市中学2016届高三一轮复习检测一】若变量满足，则关于的函数图象大致是（ ）【答案】.5. 【2016届山东省枣庄市高三12月】2若函数的图象如右图所示，则下列函数正确的是（ ）A B C D【答案】B6. 【2016届辽宁省大连市八中高三月考】已知函数，若，则实数的取值范围是 【答案】【解析】时，当时，综上所述的取值范围是7. 【2016届海南省海口一中高三高考模拟三】 已知，则不等式的解集为（ ）A B C D【答案】C【解析】因为，所以，是偶函数，又因为在上递减，在递增，所以，即的解集为，故选C.8. 【2016届四川南充高中高三4月模拟三】已知函数，若不等式对任意实数恒成立，则实数的取值范围是 . 【答案】9. 【2016届陕西西藏民族学院附中高三三模】已知，其中，若是递增的等比数列，又为一完全平方数，则_.【答案】【解析】，所以.，因为为一完全平方数，所以.10. 【2016届山东省济宁市高三下学期3月模拟】若函数图象上不同两点关于原点对称，则称点对是函数的一对“和谐点对”（点对与看作同一对“和谐点对”），已知函数，则此函数的“和谐点对”有（ ）A3对 B2对 C1对 D0对【答案】【解析】由题意知函数关于原点对称的图象为，即作出两个函数的图象如图，由图象可知两个函数在上的交点个数只有2个，所以函数的“和谐点对”有2个，故选B11. 【河南省信阳市2015届高中毕业班第二次调研】已知，则的大小关系是（ ）(A). (B) (C) (D) 【答案】D12.【2015届甘肃省天水市一中高三第五次模拟】已知函数，若,则实数的取值范围是( )A(-,-1)(2,+) B(-,-2)(1,+) C(-1,2) D(-2,1)【答案】D【解析】根据函数的解析式可知，函数是定义域上的增函数，所以的等价条件是，解得，故选D13.【2015届江西省临川一中高三5月模拟试题】已知函数的值域为,则实数的取值范围是A B C D 【答案】B【解析】当时,所以要使的的值域为,需满足在时的值域中包含所有负数,所以 ,解得,故选B.14.【2015届江西省鹰潭市高三第一次模拟考试】设函数，若对任意给定的，都存在唯一的，满足，则正实数的最小值是 （ ）A B C D 【答案】B15.【2015届河南省南阳市一中高三下学期第三次模拟】函数，为奇函数，当时，若 ，则a，b，c的大小顺序为（ ）Aabc Bcba Ccab Dcab【答案】D【解析】函数，为奇函数，即，函数在上为减函数，而函数为偶函数，函数在上为增函数，只需比较的大小，拓展试题以及解析1. 已知函数，若，则的值等于（ ）A. 或 B. C. D. 【答案】A.【入选理由】本题考查考查分段函数,对数函数,二次函数,方程的根等基础知识，意在考查运用转化与化归思想以及运算求解，逻辑思维和推理的能力.此题难度不大,考查基础，故选此题.2.设函数，则函数的零点个数为（ ）A.0 B.1C.2D.3【答案】D【解析】分段函数的图象如右图所示，由图象可知，函数有3个零点.故选D.【入选理由】本题主要考查一元一次函数、一元二次函数的图象及函数的零点问题等，考查数形结合的思想.此题难度不大，即考查了初等函数,又考查函数的零点，体现高考小题综合化的特点，故选此题.3.设，若，则_.【答案】4或-1【解析】当时，解得 ；当时，可得，解得，所以4或-1.【入选理由】本题考查分段函数、指数式与对数式的求值等，结合分类讨论思想和方程思想解决分段函数求值问题.此题难度不大，符合高考考试题型，故选此题.4. 已知定义在上的函数满足，当时，设在上的最大值为，且的前项和为，则= 【答案】【入选理由】本题主要考查指数函数与对数函数的图象与性质、分段函数的最值、等比数列的前n项和公式，重点考查学生的分析和解决问题的能力.此题难度不大，综合性较强，体现高考小题综合化的特点，故选此题.5. 若函数的图像经过定点，则函数的最大值等于.【答案】【入选理由】本题考查对数函数的最值，指数函数的图象和性质，考查学生运用数形结合思想的能力和逻辑思维和推理的能力.本题综合考查了对数函,指数函数的性质，出题角度新，故选此题.
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