资源描述
第32练圆锥曲线中的探索性问题题型分析高考展望本部分主要以解答题形式考查，往往是试卷的压轴题之一，一般以椭圆或抛物线为背景，考查弦长、定点、定值、最值范围问题或探索性问题，试题难度较大体验高考1(2016课标全国乙)在直角坐标系xOy中，直线l：yt(t0)交y轴于点M，交抛物线C：y22px(p0)于点P，M关于点P的对称点为N，连接ON并延长交C于点H.(1)求；(2)除H以外，直线MH与C是否有其他公共点？说明理由解(1)由已知得M(0，t)，P，又N为M关于点P的对称点，故N，ON的方程为yx，代入y22px整理得px22t2x0，解得x10，x2，因此H.所以N为OH的中点，即2.(2)直线MH与C除H以外没有其他公共点，理由如下：直线MH的方程为ytx，即x(yt)代入y22px得y24ty4t20，解得y1y22t，即直线MH与C只有一个公共点，所以除H以外，直线MH与C没有其他公共点2(2016四川)已知椭圆E：1(ab0)的两个焦点与短轴的一个端点是直角三角形的三个顶点，直线l：yx3与椭圆E有且只有一个公共点T.(1)求椭圆E的方程及点T的坐标；(2)设O是坐标原点，直线l平行于OT，与椭圆E交于不同的两点A、B，且与直线l交于点P.证明：存在常数，使得|PT|2|PA|PB|，并求的值解(1)由已知，得ab，则椭圆E的方程为1.由方程组得3x212x(182b2)0.方程的判别式为24(b23)，由0，得b23，此时方程的解为x2，所以椭圆E的方程为1.点T的坐标为(2,1)(2)由已知可设直线l的方程为yxm(m0)，由方程组可得所以P点坐标为，|PT|2m2.设点A，B的坐标分别为A(x1，y1)，B(x2，y2)由方程组可得3x24mx(4m212)0.方程的判别式为16(92m2)，由0，解得mb0)经过点(0，)，离心率为，直线l经过椭圆C的右焦点F交椭圆于A、B两点(1)求椭圆C的方程；(2)若直线l交y轴于点M，且，当直线l的倾斜角变化时，探求的值是否为定值？若是，求出的值；否则，请说明理由解(1)依题意得b，e，a2b2c2，a2，c1，椭圆C的方程为1.(2)直线l与y轴相交于点M，故斜率存在，又F坐标为(1,0)，设直线l方程为yk(x1)，求得l与y轴交于M(0，k)，设l交椭圆A(x1，y1)，B(x2，y2)，由消去y得(34k2)x28k2x4k2120，x1x2，x1x2，又由，(x1，y1k)(1x1，y1)，同理，.当直线l的倾斜角变化时，的值为定值.点评(1)定点问题的求解策略把直线或曲线方程中的变量x，y当作常数看待，把方程一端化为零，既然直线或曲线过定点，那么这个方程就要对任意参数都成立，这时参数的系数就要全部等于零，这样就得到一个关于x，y的方程组，这个方程组的解所确定的点就是直线或曲线所过的定点(2)定值问题的求解策略在解析几何中，有些几何量与参数无关，这就是“定值”问题，解决这类问题常通过取特殊值，先确定“定值”是多少，再进行证明，或者将问题转化为代数式，再证明该式是与变量无关的常数或者由该等式与变量无关，令其系数等于零即可得到定值变式训练1已知抛物线y22px(p0)，过点M(5，2)的动直线l交抛物线于A，B两点，当直线l的斜率为1时，点M恰为AB的中点(1)求抛物线的方程；(2)抛物线上是否存在一个定点P，使得以弦AB为直径的圆恒过点P，若存在，求出点P的坐标，若不存在，请说明理由解(1)当直线l的斜率为1时，直线l的方程为xy30，即x3y，代入y22px(p0)得y22py6p0，p2，p2，所以抛物线的方程为y24x.(2)设直线l的方程为xm(y2)5，代入y24x得y24my8m200，设点A(，y1)，B(，y2)，则y1y24m，y1y28m20，假设存在点P(，y0)总是在以弦AB为直径的圆上，则()()(y1y0)(y2y0)0，当y1y0或y2y0时，等式显然成立；当y1y0或y2y0时，则有(y1y0)(y2y0)16，即4my0y8m2016，(4my02)(y02)0，解得y02，x01，所以存在点P(1,2)满足题意题型二定直线问题例2在平面直角坐标系xOy中，过定点C(0，p)作直线与抛物线x22py(p0)相交于A，B两点(1)若点N是点C关于坐标原点O的对称点，求ANB面积的最小值；(2)是否存在垂直于y轴的直线l，使得l被以AC为直径的圆截得的弦长恒为定值？若存在，求出l的方程；若不存在，请说明理由解方法一(1)依题意，点N的坐标为(0，p)，可设A(x1，y1)，B(x2，y2)，直线AB的方程为ykxp，与x22py联立得消去y得x22pkx2p20.由根与系数的关系得x1x22pk，x1x22p2.于是SABNSBCNSACN2p|x1x2|p|x1x2|pp2p2，当k0时，(SABN)min2p2.(2)假设满足条件的直线l存在，其方程为ya，AC的中点为O，l与以AC为直径的圆相交于点P，Q，PQ的中点为H，则OHPQ，O点的坐标为(，)|OP|AC|，|OH|2ay1p|，|PH|2|OP|2|OH|2(yp2)(2ay1p)2(a)y1a(pa)，|PQ|2(2|PH|)24(a)y1a(pa)令a0，得a，此时|PQ|p为定值，故满足条件的直线l存在，其方程为y，即抛物线的通径所在的直线方法二(1)前同方法一，再由弦长公式得|AB|x1x2|2p，又由点到直线的距离公式得d.从而SABNd|AB|2p 2p2.当k0时，(SABN)min2p2.(2)假设满足条件的直线l存在，其方程为ya，则以AC为直径的圆的方程为(x0)(xx1)(yp)(yy1)0，将直线方程ya代入得x2x1x(ap)(ay1)0，则x4(ap)(ay1)4(a)y1a(pa)设直线l与以AC为直径的圆的交点为P(x3，y3)，Q(x4，y4)，则有|PQ|x3x4|2 .令a0，得a，此时|PQ|p为定值，故满足条件的直线l存在，其方程为y，即抛物线的通径所在的直线点评(1)定直线由斜率、截距、定点等因素确定(2)定直线一般为特殊直线xx0，yy0等变式训练2椭圆C的方程为1(ab0)，F1、F2分别是它的左、右焦点，已知椭圆C过点(0,1)，且离心率e.(1)求椭圆C的方程；(2)如图，设椭圆的左、右顶点分别为A、B，直线l的方程为x4，P是椭圆上异于A、B的任意一点，直线PA、PB分别交直线l于D、E两点，求的值；(3)过点Q(1,0)任意作直线m(与x轴不垂直)与椭圆C交于M、N两点，与l交于R点，x，y，求证：4x4y50.(1)解由题意可得b1，a3，椭圆C的方程为y21.(2)解设P(x0，y0)，则直线PA、PB的方程分别为y(x3)，y(x3)，将x4分别代入可求得D，E两点的坐标分别为D(4，)，E(4，)由(1)知，F1(2，0)，F2(2，0)，(42，)(42，)8，又点P(x0，y0)在椭圆C上，y1，.(3)证明设M(x1，y1)，N(x2，y2)，R(4，t)，由x得(x14，y1t)x(1x1，y1)，(x1)，代入椭圆方程得(4x)29t29(1x)2，同理由y得(4y)29t29(1y)2，消去t，得xy，4x4y50.题型三存在性问题例3(1)已知直线ya交抛物线yx2于A，B两点若该抛物线上存在点C，使得ACB为直角，则a的取值范围为_答案1，)解析以AB为直径的圆的方程为x2(ya)2a，由得y2(12a)ya2a0.即(ya)y(a1)0，由已知解得a1.(2)如图，已知椭圆C：1(ab0)的离心率为，以椭圆的左顶点T为圆心作圆T：(x2)2y2r2 (r0)，设圆T与椭圆C交于点M，N.求椭圆C的方程；求的最小值，并求此时圆T的方程；设点P是椭圆C上异于M，N的任意一点，且直线MP，NP分别与x轴交于点R，S，O为坐标原点试问：是否存在使SPOSSPOR最大的点P？若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由解由题意知解之，得a2，c，由c2a2b2，得b1，故椭圆C的方程为y21.点M与点N关于x轴对称，设M(x1，y1)，N(x1，y1)，不妨设y10，由于点M在椭圆C上，y1.由已知T(2,0)，则(x12，y1)，(x12，y1)，(x12，y1)(x12，y1)(x12)2y(x12)22.由于2xb0)的右焦点为F(1,0)，且点P(1，)在椭圆C上，O为坐标原点(1)求椭圆C的标准方程；(2)设过定点T(0,2)的直线l与椭圆C交于不同的两点A，B，且AOB为锐角，求直线l的斜率k的取值范围；(3)过椭圆C1：1上异于其顶点的任一点P，作圆O：x2y2的两条切线，切点分别为M，N(M，N不在坐标轴上)，若直线MN在x轴，y轴上的截距分别为m，n，证明：为定值(1)解由题意得c1，所以a2b21，又因为点P(1，)在椭圆C上，所以1，可解得a24，b23，所以椭圆C的标准方程为1.(2)解设直线l方程为ykx2，设A(x1，y1)，B(x2，y2)，由得(4k23)x216kx40，因为12k230，所以k2，又x1x2，x1x2，因为AOB为锐角，所以0，即x1x2y1y20，所以x1x2(kx12)(kx22)0，所以(1k2)x1x22k(x1x2)40，所以(1k2)2k40，即0，所以k2，所以k2，解得k或kb0)的右焦点为F(1,0)，短轴的一个端点B到F的距离等于焦距(1)求椭圆C的方程；(2)过点F的直线l与椭圆C交于不同的两点M，N，是否存在直线l，使得BFM与BFN的面积比值为2？若存在，求出直线l的方程；若不存在，请说明理由解(1)由已知得c1，a2c2，b2a2c23，所以椭圆C的方程为1.(2)2等价于2，当直线l斜率不存在时，1，不符合题意，舍去；当直线l斜率存在时，设直线l的方程为yk(x1)，由消去x并整理得，(34k2)y26ky9k20，设M(x1，y1)，N(x2，y2)，则y1y2，y1y2，由2得y12y2，由解得k，因此存在直线l：y(x1)使得BFM与BFN的面积比值为2.
展开阅读全文