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专题02 不等式与线性规划1. 【2016高考新课标1卷】若,则( )（A） （B） （C） （D）【答案】C2.【2016高考天津理数】设变量x，y满足约束条件则目标函数的最小值为（ ）（A）（B）6（C）10（D）17【答案】B【解析】可行域为一个三角形ABC及其内部，其中，直线过点B时取最小值6，选B.3.【2016高考山东理数】若变量x，y满足则的最大值是（ ）（A）4 （B）9 （C）10 （D）12【答案】C【解析】不等式组表示的可行域是以A(0,-3),B(0,2),C(3,-1)为顶点的三角形区域,表示点（x,y）到原点距离的平方,最大值必在顶点处取到,经验证最大值为,故选C.4.【2016高考浙江理数】在平面上，过点P作直线l的垂线所得的垂足称为点P在直线l上的投影由区域 中的点在直线x+y2=0上的投影构成的线段记为AB，则AB=（ ）A2 B4 C3 D【答案】C5.【2016年高考北京理数】若，满足，则的最大值为（ ）A.0 B.3 C.4 D.5【答案】C【解析】作出如图可行域，则当经过点时，取最大值，而，所求最大值为4，故选C. 6.【2016年高考四川理数】设p：实数x，y满足，q：实数x，y满足 则p是q的( )（A）必要不充分条件 （B）充分不必要条件 （C）充要条件 （D）既不充分也不必要条件【答案】A【解析】画出可行域（如图所示），可知命题中不等式组表示的平面区域在命题中不等式表示的圆盘内，故选A.7.【2016高考新课标3理数】若满足约束条件 则的最大值为_.【答案】8.【2016高考新课标1卷】某高科技企业生产产品A和产品B需要甲、乙两种新型材料生产一件产品A需要甲材料1.5kg,乙材料1kg,用5个工时；生产一件产品B需要甲材料0.5kg,乙材料0.3kg,用3个工时生产一件产品A的利润为2100元,生产一件产品B的利润为900元该企业现有甲材料150kg,乙材料90kg,则在不超过600个工时的条件下,生产产品A、产品B的利润之和的最大值为 元【答案】【解析】设生产产品、产品分别为、件,利润之和为元,那么目标函数.二元一次不等式组等价于作出二元一次不等式组表示的平面区域（如图）,即可行域.将变形,得,平行直线,当直线经过点时, 取得最大值.解方程组,得的坐标.所以当,时,.故生产产品、产品的利润之和的最大值为元.9.【2016高考江苏卷】 已知实数满足 ，则的取值范围是 .【答案】【解析】由图知原点到直线距离平方为最小值，为，原点到点距离平方为最大值，为，因此取值范围为易错起源1、不等式的解法例1、(1)已知函数f(x)x2axb (a，bR)的值域为0，)，若关于x的不等式f(x)c的解集为(m，m6)，则实数c的值为_(2)已知一元二次不等式f(x)0的解集为()Ax|xlg2Bx|1xlg2Dx|xlg2答案(1)9(2)D【变式探究】(1)关于x的不等式x22ax8a20)的解集为(x1，x2)，且x2x115，则a_.(2)不等式24的解集为_答案(1)(2)(1,2)解析(1)由x22ax8a20，得(x2a)(x4a)0，所以不等式的解集为(2a,4a)，即x24a，x12a，由x2x115，得4a(2a)15，解得a.(2)2422，x2x2，即x2x20，解得1x0(a0)，再求相应一元二次方程ax2bxc0(a0)的根，最后根据相应二次函数图象与x轴的位置关系，确定一元二次不等式的解集2简单分式不等式的解法(1)0(0(0，n0，b0)对称，则的最小值为_答案(1)(2)16解析(1)正数a，b满足ab1，222，当且仅当ab时取等号，的最大值为.(2)圆(x2)2(y2)29的圆心坐标为(2,2)，由已知得直线axby20必经过圆心(2,2)，即ab1.所以()(ab)1010216(当且仅当，即a，b时等号成立)，所以的最小值为16.【名师点睛】在利用基本不等式求最值时，要特别注意“拆、拼、凑”等技巧，使其满足基本不等式中“正”(即条件要求字母为正数)、“定”(不等式的另一边必须为定值)、“等”(等号取得的条件)的条件才能应用，否则会出现错误【锦囊妙计，战胜自我】利用基本不等式求最大值、最小值，其基本法则是：(1)如果x0，y0，xyp(定值)，当xy时，xy有最小值2(简记为：积定，和有最小值)；(2)如果x0，y0，xys(定值)，当xy时，xy有最大值s2(简记为：和定，积有最大值)易错起源3、简单的线性规划问题例3、(1)已知实数x，y满足约束条件则zx2y的最大值与最小值之和为()A2B14C6D2(2)若变量x，y满足约束条件且目标函数zkxy当且仅当时取得最小值，则实数k的取值范围是_答案(1)A(2)解析(1)根据x，y的约束条件画出可行域，如图阴影部分所示，其中A，B(6,0)，C(0,4)由zx2y可知，当直线yx过点A时，z取最小值，即zmin210；当直线yx过点C时，z取最大值，即zmax0248，zminzmax2.故选A.(2)由题意知不等式组所表示的可行域为如图所示的ABC及其内部，其中A(3,1)，B(4,2)，C(1,2)将目标函数变形得ykxz，当z取得最小值时，直线的纵截距最小由于直线当且仅当经过点(3,1)时纵截距最小，结合动直线ykxz绕定点A旋转进行分析，知kb，则下列不等式中恒成立的是()AlnalnbB.abDa2b22ab答案D解析只有当ab0时A成立；只有当a，b同号时B成立；只有当a0时C成立；因为ab，所以D恒成立，故选D.2若函数f(x)则“0x1”是“f(x)0时，由log3x1可得x3，当x0时，由()x1可得x0，不等式f(x)1的解集为(，03，)8要制作一个容积为4m3，高为1m的无盖长方体容器已知该容器的底面造价是每平方米20元，侧面造价是每平方米10元，则该容器的最低总造价是_元答案1609已知x0，y0，若m22m恒成立，则实数m的取值范围是_答案(4,2)解析由题意可得m22m应小于的最小值，所以由基本不等式可得28，所以m22m84m2.10定义运算“”：xy(x，yR，xy0)，当x0，y0时，xy(2y)x的最小值为_答案解析由题意，得xy(2y)x，当且仅当xy时取等号11设点P(x，y)满足条件点Q(a，b) (a0，b0)满足1恒成立，其中O是坐标原点，则Q点的轨迹所围成图形的面积是_答案解析1，axby1，点P(x，y)满足条件的区域，如图阴影部分所示，1，即axby1，且点Q(a，b)满足1恒成立，只需点P(x，y)在可行域内的交点处：A(1,0)，B(0,2)，axby1成立即可，即它表示一个长为1宽为的矩形，其面积为，故答案为.12设0a0，BxR|2x23(1a)x6a0，DAB，求集合D.(用区间表示)解令g(x)2x23(1a)x6a，其对称轴方程为x(1a)，9(1a)248a9a230a93(3a1)(a3)当00，g(0)6a0，方程g(x)0的两个根分别为0x1x2，DAB；当a1时，0恒成立，所以DAB(0，)综上所述，当0a时，D；当a1时，D(0，)13运货卡车以每小时x千米的速度匀速行驶130千米(按交通法规限制50x100)(单位：千米/小时)假设汽油的价格是每升2元，而汽车每小时耗油(2)升，司机的工资是每小时14元(1)求这次行车总费用y关于x的表达式；(2)当x为何值时，这次行车的总费用最低，并求出最低费用的值14提高过江大桥的车辆通行能力可改善整个城市的交通状况在一般情况下，大桥上的车流速度v(单位：千米/小时)是车流密度x(单位：辆/千米)的函数当桥上的车流密度达到200辆/千米时，造成堵塞，此时车流速度为0千米/小时；当车流密度不超过20辆/千米时，车流速度为60千米/小时，研究表明：当20x200时，车流速度v是车流密度x的一次函数(1)当0x200时，求函数v(x)的表达式；(2)当车流密度x为多大时，车流量(单位时间内通过桥上某观测点的车辆数，单位：辆/小时)f(x)xv(x)可以达到最大，并求出最大值(精确到1辆/小时)解(1)由题意：当0x20时，v(x)60；当20x200时，设v(x)axb，显然v(x)axb在20,200上是减函数，由已知得解得故函数v(x)的表达式为v(x)(2)依题意并由(1)可得f(x)当0x20时，f(x)为增函数，故当x20时，其最大值为60201200；当20x200时，f(x)x(200x)2，当且仅当x200x，即x100时，等号成立，所以，当x100时，f(x)在区间20,200上取得最大值.综上，当x100时，f(x)在区间0,200上取得最大值3333，即当车流密度为100辆/千米时，车流量可以达到最大，最大值约3 333辆/小时
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