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专题10.4 圆锥曲线的综合应用【三年高考】1. 【2016高考浙江理数】已知椭圆C1：+y2=1(m1)与双曲线C2：y2=1(n0)的焦点重合，e1，e2分别为C1，C2的离心率，则（ ）Amn且e1e21 Bmn且e1e21 Cm1 Dmn且e1e20）的左.右焦点分别为，离心率为：双曲线：的左.右焦点分别为，离心率为.已知=，且.（）求.的的方程；（）过做的不垂直于y轴的弦AB，M为AB的中点，当直线OM与交于P，Q两点时，求四边形APBQ面积的最小值 (2)由(1)可得,因为直线不垂直于轴,所以设直线的方程为,联立直线与椭圆方程可得,则,则,因为在直线上,所以,因为为焦点弦,所以根据焦点弦弦长公式可得,则直线的方程为,联立直线与双曲线可得,则,所以的坐标为,则点到直线的距离为,因为点在直线的两端所以,则四边形面积,因为,所以当时, 四边形面积取得最小值为.【三年高考命题回顾】纵观前三年各地高考试题, 由定义法求曲线的方程、由已知条件直接求曲线的方程、直线与圆锥曲线、圆锥曲线间的综合等是高考的热点，题型大多为解答题，难度为中档题或难题，主要考查求曲线轨迹方程的方法，圆锥曲线的定义与性质应用，各圆锥曲线间的联系，直线与圆锥曲线间的位置关系及弦长问题、最值问题、定点定值的探索问题等，其中直线与椭圆的位置关系、直线与抛物线的位置关系是考查的重点和热点，考查的知识点多，能力要求高，尤其是运算变形能力，分析问题与解决综合问题的能力，是高考中区分度较大的题目.【2017年高考复习建议与高考命题预测】由前三年的高考命题形式,椭圆、双曲线、抛物线的性质综合问题是高考考试的重点，每年必考，一般是两小一大的布局，试题难度往往是有一道基础题，另一道是提高题，难度中等以上，有时作为把关题考查方面离心率是重点，其它利用性质求圆锥曲线方程，求焦点三角形的周长与面积，求弦长，求圆锥曲线中的最值或范围问题，过定点问题，定值问题等从近三年的高考试题来看，小题中双曲线的定义、标准方程及几何性质是高考的热点，题型大多为选择题、填空题，难度为中等偏低，主要考查双曲线的定义及几何性质，考查基本运算能力及等价转化思想，而椭圆、抛物线的性质一般，一道小题，一道解答题，难度中等，有时作为把关题存在，而且三大曲线几乎年年都考，故预测2017求曲线的方程和研究曲线的性质、直线与圆锥曲线、圆锥曲线间的综合等仍是高考的热点，题型大多为解答题，难度为仍中档题或难题，仍主要考查求曲线轨迹方程的方法，圆锥曲线的定义与性质应用，各圆锥曲线间的联系，直线与圆锥曲线间的位置关系及弦长问题、最值问题、定点定值的探索问题等，其中直线与椭圆的位置关系、直线与抛物线的位置关系仍是考查的重点和热点，考查的知识点仍然较多，能力要求高，尤其是运算变形能力，分析问题与解决综合问题的能力，仍是高考中区分度较大的题目，在备考时，熟练掌握求曲线方程的常用方法，掌握直线与圆锥曲线问题的常见题型与解法，加大练习力度，提高运算能力和综合运用知识分析解决问题能力，要特别关注与向量、导数等知识的结合，关注函数思想、数形结合思想及分类讨论思想等数学思想在解题中的应用【2017年高考考点定位】高考对圆锥曲线综合问题的考查有三种主要形式：一是考查求曲线方程；二是考查圆锥曲线间的知识运用；三是直线与圆锥曲线的位置关系，这是高考中考查的重点和难点，主要涉及的题型为中点弦问题、最值与取值范围问题、定点与定值问题、探索性问题，从涉及的知识上讲，常与平面向量、函数与导数、方程、不等式等知识相联系，考查知识点多，运算量大，能力要求高，难度大是这种题型的一大特征.【考点1】求轨迹方程【备考知识梳理】1曲线与方程在平面直角坐标系中，如果某曲线C(看作满足某种条件的点的集合或轨迹)上的点与一个二元方程的实数解建立了如下的关系：(1)曲线上点的坐标都是这个方程的解；(2)以这个方程的解为坐标的点都在曲线上那么，这个方程叫做这条曲线的方程；这条曲线叫做这个方程的曲线.2直接法求动点的轨迹方程的一般步骤(1)建系建立适当的坐标系(2)设点设轨迹上的任一点P(x，y)(3)列式列出动点P所满足的关系式(4)代换依条件式的特点，选用距离公式、斜率公式等将其转化为x，y的方程式，并化简(5)证明证明所求方程即为符合条件的动点轨迹方程【规律方法技巧】1. 求轨迹方程的常用方法一般分为两大类，一类是已知所求曲线的类型，求曲线方程先根据条件设出所求曲线的方程，再由条件确定其待定系数待定系数法；另一类是不知曲线类型常用的方法有：(1)直接法：直接利用条件建立x，y之间的关系F(x，y)0；(2)定义法：先根据条件得出动点的轨迹是某种已知曲线，再由曲线的定义直接写出动点的轨迹方程；(3)代入法(相关点法)：动点P(x，y)依赖于另一动点Q(x0，y0)的变化而变化，并且Q(x0，y0)又在某已知曲线上，则可先用x，y的代数式表示x0，y0，再将x0，y0代入已知曲线得要求的轨迹方程；(4)参数法：当动点P(x，y)坐标之间的关系不易直接找到，也没有相关动点可用时，可考虑将x，y均用一中间变量(参数)表示，得参数方程，再消去参数得普通方程2. 求点的轨迹与求轨迹方程是不同的要求，求轨迹时，应先求轨迹方程，然后根据方程说明轨迹的形状、位置、大小等【考点针对训练】1. 【2016江省衢州市高三4月教学质量检测】设点是曲线上任意一点，其坐标均满足，则取值范围为（ ） A. B. C. D.【答案】D2. 【2016江西省高安中学高三命题中心押题】在平面直角坐标系中，两点的坐标分别为、，动点满足:直线与直线的斜率之积为（1）求动点的轨迹方程；（2）设为动点的轨迹的左右顶点，为直线上的一动点（点不在x轴上），连交的轨迹于点，连并延长交的轨迹于点，试问直线是否过定点？若成立，请求出该定点坐标，若不成立，请说明理由【解析】（1）已知，设动点的坐标，所以直线的斜率，直线的斜率（），又，所以，即（2）设，又，则，故直线的方程为：，代入椭圆方程并整理得：。由韦达定理：即，同理可解得：故直线的方程为，即，故直线恒过定点【考点2】圆锥曲线间的综合【备考知识梳理】1.要熟记椭圆的定义、标准方程与几何性质.2.要熟练掌握双曲线的定义、标准方程与几何性质.3.要熟练掌握抛物线的定义、标准方程与几何性质.【规律方法技巧】1. 解圆锥曲线间的综合问题时，要结合图像进行分析，理清所涉及到圆锥曲线间基本量之间的关系，实现不同曲线间基本量的转化.2.熟练掌握椭圆、双曲线、抛物线的定义、标准方程、简单几何性质是解题的关键.【考点针对训练】1. 【2016江西省高安中学高三命题中心模拟】已知抛物线的焦点与双曲线的一焦点重合，则该双曲线的离心率为（ ）A B C D【答案】A2. 【2016届宁夏六盘山高中高三四模】椭圆的右焦点为，双曲线的一条渐近线与椭圆交于两点，且，则椭圆的离心率为 _.【答案】【考点3】直线与圆锥曲线位置关系的综合问题【备考知识梳理】1.将直线方程与圆锥曲线方程联立，消去y得到关于x的方程.(1) 若0，当0时，直线与圆锥曲线有两个交点.当=0时，直线与圆锥曲线有且只有一个公共点，此时直线与双曲线相切. 当0时，直线与圆锥曲线无公共点.（2）当=0时，若圆锥曲线为双曲线，则直线与双曲线只有一个交点，此时直线与双曲线的渐近线平行；若圆锥曲线为抛物线，则直线与抛物线只有一个交点，此时直线与抛物线的对称轴平行.（3）设直线与圆锥曲线的交点A（，），B（，），则，.2. 直线ykxb(k0)与椭圆相交于A(x1，y1)，B(x2，y2)两点，则弦长|AB| |x1x2| |y1y2|.【规律方法技巧】1.在处理直线与圆锥曲线的位置关系问题时，常用设而不求法，即常将圆锥曲线与直线联立，消去（或）化为关于（或）的一元二次方程，设出直线与圆锥曲线的交点坐标，则交点的横（纵）坐标即为上述一元二次方程的解，利用根与系数关系，将，表示出来，注意判别式大于零不能丢，然后根据问题，再通过配凑将其化为关于与的式子，将，代入再用有关方法取处理，注意用向量法处理共线问题、垂直问题及平行问题.2.再处理直线与圆锥曲线位置关系问题时，首先确定直线的斜率，若不能确定，则需要分成直线斜率存在与不存在两种情况讨论，也可以将直线方程设为，避免分类讨论.3.定点与定值问题处理方法有两种：（1）从特殊入手，求出定点（定值），再证明这个定点（定值）与变量无关.(2)直接推理、计算，并在计算过程中消去变量，从而得到定点（定值）.4.最值问题常见解法有两种：（1）几何法：若题中的条件与结论有明显的几何特征和意义，则考虑利用图形的几何性质来解决，如三角不等式、圆锥曲线的定义等.(2)代数法：利用相关知识和方法结合题中的条件，建立目标函数，利用函数的性质、不等式或导数知识求出这个函数的最值.5.参数范围问题常见解法有两种：（1）不等式法：利用题意结合图形列出所讨论参数满足的不等式（组），通过解不等式（组）解出参数的范围，注意判别式大于0不能遗漏.(2)函数最值法：利用题中条件和相关知识，将所讨论参数表示为某个变量的函数，通过讨论这个函数的值域求出该参数的范围.6.对探索性问题，先假设存在，依此为基础推理，若推出矛盾，则不存在，求出值，则存在.7. 直线与圆锥曲线位置关系中的中点弦问题常用点差法和参数法.【考点针对训练】1.【2016届邯郸市一中高三十研】已知椭圆过点，离心率为，点分别为其左右焦点（1）求椭圆的标准方程；（2）若上存在两个点，椭圆上有两个点满足三点共线，三点共线，且，求四边形面积的最小值2.【2016年河南八市重点高中联考】已知椭圆的右焦点为，过作互相垂直的两条直线分别与相交于和四点.（1）四边形能否成为平行四边形，请说明理由；（2）求的最小值.【解析】设点()若四边形为平行四边形，则四边形为菱形，与在点处互相平分，又F的坐标为,由椭圆的对称性知垂直于轴，则垂直于轴，显然这时不是平行四边形四边形不可能成为平行四边形.【应试技巧点拨】 求圆锥曲线方程的方法求曲线方程的常见方法：(1)直接法：直接法是将动点满足的几何条件或者等量关系，直接坐标化，列出等式化简即得动点轨迹方程 (2)定义法：若动点轨迹的条件符合某一基本轨迹的定义(如椭圆、双曲线、抛物线、圆等)，可用定义直接探求 (3)相关点法：即利用动点是定曲线上的动点，另一动点依赖于它，那么可寻求它们坐标之间的关系，然后代入定曲线的方程进行求解根据相关点所满足的方程，通过转换而求动点的轨迹方程 (4)参数法：若动点的坐标()中的分别随另一变量的变化而变化，我们可以以这个变量为参数，建立轨迹的参数方程.根据题中给定的轨迹条件，用一个参数来分别动点的坐标，间接地把坐标联系起来，得到用参数表示的方程.如果消去参数，就可以得到轨迹的普通方程.注意：(1)求曲线的轨迹与求曲线的轨迹方程的区别：求曲线的轨迹是在求出曲线轨迹方程后，再进一步说明轨迹是什么样的曲线.(2)求轨迹方程，一定要注意轨迹的纯粹性和完备性.要注意区别“轨迹”与“轨迹方程”是两个不同的概念. (5)待定系数法：顶点在原点，对称轴为坐标轴的抛物线，可设为或()，避开对焦点在哪个半轴上的分类讨论，此时不具有的几何意义中心在坐标原点，焦点在坐标轴上，椭圆方程可设为 ()，双曲线方程可设为 ()这样可以避免繁琐的计算利用以上设法，根据所给圆锥曲线的性质求出参数，即得方程2最值或范围问题的解决方法解析几何中的最值问题涉及的知识面较广，解法灵活多样，但最常用的方法有以下几种：(1)利用函数，尤其是二次函数求最值；(2)利用三角函数，尤其是正、余弦函数的有界性求最值；(3)利用不等式，尤其是基本不等式求最值；(4)利用判别式求最值；(5)利用数形结合，尤其是切线的性质求最值3求定值问题的方法定值问题是解析几何中的一种常见问题，基本的求解方法是：先用变量表示所需证明的不变量，然后通过推导和已知条件，消去变量，得到定值，即解决定值问题首先是求解非定值问题，即变量问题，最后才是定值问题4 有关弦的问题(1)有关弦长问题，应注意运用弦长公式及根与系数的关系，“设而不求”；有关焦点弦长问题，要重视圆锥曲线定义的运用，以简化运算斜率为的直线与圆锥曲线交于两点，则所得弦长或，其中求与时通常使用根与系数的关系，即作如下变形：，.当斜率不存在时，可求出交点坐标，直接运算(利用两点间距离公式)(2)弦的中点问题有关弦的中点问题，应灵活运用“点差法”，“设而不求法”来简化运算5.圆锥曲线的定义反映了它们的基本特征，理解定义是掌握其性质的基础.因此，对于圆锥曲线的定义不仅要熟记，还要深入理解细节部分：比如椭圆的定义中要求，双曲线的定义中要求.6.解决直线与圆锥曲线位置关系问题的步骤：(1)设方程及点的坐标；(2)联立直线方程与曲线方程得方程组，消元得方程(注意二次项系数是否为零)；(3)应用根与系数的关系及判别式；(4)结合已知条件、中点坐标公式、斜率公式及弦长公式求解7.解析几何解题的基本方法解决圆锥曲线综合题，关键是熟练掌握每一种圆锥曲线的定义、标准方程、图形与几何性质，注意挖掘知识的内在联系及其规律，通过对知识的重新组合，以达到巩固知识、提高能力的目的.综合题中常常离不开直线与圆锥曲线的位置，因此，要树立将直线与圆锥曲线方程联立，应用判别式、韦达定理的意识.解析几何应用问题的解题关键是建立适当的坐标系，合理建立曲线模型，然后转化为相应的代数问题作出定量或定性的分析与判断.常用的方法：数形结合法，以形助数，用数定形. 在与圆锥曲线相关的综合题中，常借助于“平面几何性质”数形结合(如角平分线的双重身份对称性、利用到角公式)、“方程与函数性质”化解析几何问题为代数问题、“分类讨论思想”化整为零分化处理、“求值构造等式、求变量范围构造不等关系”等等.8.避免繁复运算的基本方法可以概括为：回避，选择，寻求.所谓回避，就是根据题设的几何特征，灵活运用曲线的有关定义、性质等，从而避免化简方程、求交点、解方程等繁复的运算.所谓选择，就是选择合适的公式，合适的参变量，合适的坐标系等，一般以直接性和间接性为基本原则.因为对普通方程运算复杂的问题，用参数方程可能会简单；在某一直角坐标系下运算复杂的问题，通过移轴可能会简单；在直角坐标系下运算复杂的问题，在极坐标系下可能会简单“所谓寻求”.9. 解析几何与向量综合时可能出现的向量内容：（1）给出直线的方向向量或；（2）给出与相交,等于已知过的中点;（3）给出,等于已知是的中点;（4）给出,等于已知与的中点三点共线;（5） 给出以下情形之一：；存在实数；若存在实数,等于已知三点共线；（6） 给出，等于已知是的定比分点，为定比，即；（7） 给出,等于已知,即是直角,给出,等于已知是钝角, 给出,等于已知是锐角；（8）给出,等于已知是的平分线；（9）在平行四边形中，给出，等于已知是菱形;（10）在平行四边形中，给出，等于已知是矩形;（11）在中，给出，等于已知是的外心（三角形外接圆的圆心，三角形的外心是三角形三边垂直平分线的交点）；（12）在中，给出，等于已知是的重心（三角形的重心是三角形三条中线的交点）；（13）在中，给出，等于已知是的垂心（三角形的垂心是三角形三条高的交点）；（14）在中，给出等于已知通过的内心；（15）在中，给出等于已知是的内心（三角形内切圆的圆心，三角形的内心是三角形三条角平分线的交点）；（16）在中，给出,等于已知是中边的中线.10定点、定值问题必然是在变化中所表现出来的不变的量，那么就可以用变化的量表示问题的直线方程、数量积、比例关系等，这些直线方程、数量积、比例关系不受变化的量所影响的一个点、一个值，就是要求的定点、定值化解这类问题难点的关键就是引进变的参数表示直线方程、数量积、比例关系等，根据等式的恒成立、数式变换等寻找不受参数影响的量11解决圆锥曲线中最值、范围问题的基本思想是建立目标函数和建立不等关系，根据目标函数和不等式求最值、范围，因此这类问题的难点，就是如何建立目标函数和不等关系建立目标函数或不等关系的关键是选用一个合适变量，其原则是这个变量能够表达要解决的问题，这个变量可以是直线的斜率、直线的截距、点的坐标等，要根据问题的实际情况灵活处理.二年模拟1. 【山西省榆林市高三第二次模拟】已知抛物线的准线与双曲线交于、两点，点为抛物线的焦点，若为直角三角形，则双曲线离心率为（ ）A B C D【答案】C【解析】由题意得：而，选C.2. 【2016年山西四校高三第三次联考】已知双曲线的左、右两个焦点分别为为其左、右顶点，以线段为直径的圆与双曲线的渐近线在第一象限的交点为，且,则双曲线的离心率为（ ）A. B. C. D. 【答案】B3. 【2016年山西省四校高三联考】已知双曲线的两顶点为，虚轴两端点为，两焦点为，. 若以为直径的圆内切于菱形，则双曲线的离心率为（ ）A. B. C. D. 【答案】C4. 【2016届湖北省武汉市武昌区高三5月调研考试】已知椭圆的离心率为，过右焦点且斜率为的直线与相交于两点，若，则（ ）A1 B C D2【答案】B【解析】因为，所以，所以，则椭圆方程1变为设，又3，所以，所以，即因为在椭圆上，所以 ， 由9，得，所以，所以，所以，从而，所以，故，故选B5. 【2016届安徽六安一中高三下学期第三次模拟】如图所示，椭圆的左，右顶点分别为，线段是垂直于椭圆长轴的弦，连接相交于点，则点的轨迹方程为_【答案】6.【2016届天津市和平区高三第四次模拟】已知双曲线的渐近线上的一点到其右焦点的距离等于2，抛物线过点，则该抛物线的方程为（ ）A B C D【答案】B7. 【2016届湖北省黄冈中学高三5月一模】已知点是抛物线与圆在第一象限的公共点，且点到抛物线焦点的距离等于，若抛物线上一动点到其准线与到点的距离之和的最小值为，为坐标原点，则直线被圆所截得的弦长为（ ）A2 B C D【答案】C【解析】因圆的圆心为,半径为,由题意,又动点到准线的距离与动点到的距离之和即为动点到焦点与动点到的距离之和.若这两个距离之和最小为,当且仅当这三点共线且为的中点时最小.因,由此可得,代入可得,则很容易用抛物线的定义求得,这时,故,圆心到的距离为,故弦长,应选C.8. 【2016届广西柳州市高三下4月模拟理】在平面直角坐标系中，动点到点的距离与它到直线的距离之比为.（1）求动点的轨迹的方程；（2）设直线与曲线交于两点，与轴、轴分别交于两点（且在之间或同时在之外）. 问：是否存在定值，对于满足条件的任意实数，都有的面积与的面积相等，若存在，求的值；若不存在，说明理由.9. 【2016届陕西省安康市高三第三次联考理】如图, 在平面直角坐标系中, 抛物线的准线与轴交于点,过点的直线与抛物线交于两点, 设到准线的距离.（1）若,求抛物线的标准方程；（2）若,求证：直线的斜率的平方为定值.【解析】（1）,设抛物线的焦点为,即轴, 即,得,所以抛物线的方程为.10.【2016届山东省临沂十八中高三三模理】已知已知点是直线上的动点，过作直线，点，线段的垂直平分线与交于点（）求点的轨迹的方程；（）若点，是直线上两个不同的点，且的内切圆方程为，直线的斜率为，若，求实数的取值范围【解析】（）依题意，点到点的距离等于它到直线的距离，点的轨迹是以点为焦点，直线为准线的抛物线曲线的方程为（）设点，点，点，直线方程为：，化简，得的内切圆方程为，圆心到直线的距离为，即故易知，上式化简得，同理，有,，是关于的方程的两根， ，直线的斜率，则函数在上单调递增，11.【2015届陕西省西安市第一中学高三下学期自主命题二】已知抛物线y28x的焦点F到双曲线C：渐近线的距离为，点P是抛物线y2 8x上的一动点，P到双曲线C的上焦点F1（0，c）的距离与到直线x=-2 的距离之和的最小值为3，则该双曲线的方程为 A B C D【答案】C12.【2015届吉林省吉林市高三第三次模拟考试】已知直线与抛物线交于A，B两点，点P为直线l上一动点，M，N是抛物线C上两个动点，若， 则PMN的面积的最大值为 .【答案】【解析】由题意知：当直线过原点时，的面积最大，所以直线的方程是，点到直线的距离，由得：或，所以，所以，所以的面积的最大值是，所以答案应填：13.【2015届吉林省东北师大附中高三第四次模拟】我们把焦点相同，且离心率互为倒数的椭圆和双曲线称为一对“相关曲线”已知是一对相关曲线的焦点，是椭圆和双曲线在第一象限的交点，当时，这一对相关曲线中椭圆的离心率为（ ）（A） （B） （C） （D）【答案】A14.【2015届浙江省桐乡一中高三下学期联盟学校高考仿真测试】已知椭圆 的右焦点为，离心率为设A，B为椭圆上关于原点对称的两点，的中点为M，的中点为N，原点在以线段为直径的圆上设直线AB的斜率为k，若，则的取值范围为 【答案】【解析】设，代入得：，那么，代入根与系数的关系，得：，代入整理得：，解得，解得，所以，所以离心率15.【2015届辽宁省师大附中高三模拟】已知抛物线上一点到其焦点的距离为4；椭圆的离心率，且过抛物线的焦点（1）求抛物线和椭圆的标准方程；（2）过点的直线交抛物线于、两不同点，交轴于点，已知，求证：为定值（3）直线交椭圆于，两不同点，在轴的射影分别为，若点S满足：，证明：点S在椭圆上（）直线的斜率必存在，设为，设直线与椭圆交于，则直线的方程为， ，联立方程组: 所以，所以 （*） 由得: 得: ，所以将（*）代入上式，得 拓展试题以及解析1. 已知椭圆的离心率，半焦距为，抛物线的准线方程为，则椭圆的标准方程为（ ）A. B. C. D.【答案】B【解析】 抛物线的准线方程为，即，.，椭圆的标准方程为，选B.【入选理由】本题主要考查椭圆的方程及几何性质, 抛物线的方程及几何性质等基础知识，意在考查学生分析问题、解决问题的能力、基本运算能力及推理能力，转化与化归能力，本题是椭圆与 抛物线结合，体现学科内综合,故选此题.2.已知双曲线一焦点与抛物线的焦点F相同，若抛物线的焦点到双曲线的渐近线的距离为1，P为双曲线左支上一动点，Q（1,3），则|PF|+|PQ|的最小值为 （ ）A. B. C.4 D.【答案】D【入选理由】本题主要考查双曲线的方程及几何性质, 抛物线的方程及几何性质等基础知识，意在考查学生分析问题、解决问题的能力、基本运算能力及推理能力，转化与化归能力，数形结合思想和转化思想,本题是双曲线与抛物线结合，体现学科内综合,故选此题.3已知抛物线C的顶点为原点，对称轴为x轴，与椭圆交于M，N两点，M，N两点关于x轴对称，其中M（1,2），过抛物线C焦点的直线与交于在轴上方）两点，且则的面积为（ ）A. B. C. D.3【答案】A【入选理由】本题主要考查椭圆的方程及几何性质, 抛物线的方程及几何性质，三角形面积，解直角三角形等基础知识，意在考查学生分析问题、解决问题的能力、基本运算能力及推理能力，转化与化归能力，本题是椭圆与抛物线结合，体现学科内综合,故选此题.4.已知椭圆C的一焦点与的焦点重合，点在椭圆C上直线过点，且与椭圆C交于，两点（1）求椭圆C的方程；（2）点满足,点为坐标原点，延长线段与椭圆C交于点，四边形能否为平行四边形？若能，求出此时直线的方程，若不能，说明理由【解析】（1）抛物线的焦点为，故得，解得.所以椭圆的方程为 （2）四边形能为平行四边形，点M为线段AB的中点法一：（1）当直线与轴垂直时，直线的方程为满足题意；（2）当直线与轴不垂直时，设直线，显然.，将代入得，故，于是直线的斜率，即由直线，过点，得，因此的方程为设点的横坐标为由得，即四边形为平行四边形当且仅当线段与线段互相平分，即于是由，得满足所以直线的方程为时，四边形为平行四边形综上所述：直线的方程为或 . 【入选理由】本题主要考查椭圆的标准方程及几何性质，抛物线的方程及几何性质，直线方程，直线与椭圆的位置关系，探索性命题等基础知识，意在考查学生分析问题、解决问题的能力、基本运算能力及推理能力，转化与化归能力，本题是综合性较强，体现压柱题作用，故选此题.5.已知双曲线:的渐近线方程为，抛物线的顶点为坐标原点，焦点在轴上，点为双曲线与抛物线的一个公共点.（）求双曲线与抛物线的方程； () 过抛物线的焦点作两条相互垂直的直线，与抛物线分别交于点、，、. ()若直线与直线的倾斜角互补（点，不同于点），求直线的斜率； ()是否存在常数，使得？若存在，试求出的值；若不存在，请说明理由.6.已知抛物线的焦点为，直线与轴的交点为，与抛物线的交点为，且已知椭圆的右焦点与抛物线的焦点重合，且离心率为()求抛物线和椭圆的标准方程；()若椭圆的长轴的两端点为，点为椭圆上异于，的动点，定直线与直线，分别交于，两点.请问以为直径的圆是否经过轴上的定点，若存在，求出定点坐标；若不存在，请说明理由.【解析】()设，代入，得，.又，即， 抛物线的标准方程为在椭圆中，椭圆的标准方程为 ()如图，设，的斜率分别为，则，. ，由：，知，由：，知，的中点，以为直径的圆的方程为： .令得，即，解得或，存在定点，在以为直径的圆上. 【入选理由】本题主要考查椭圆的标准方程及几何性质，抛物线的方程及几何性质，直线方程，直线与椭圆的位置关系，圆的方程等基础知识，意在考查学生分析问题、解决问题的能力、基本运算能力及推理能力，转化与化归能力，本题是综合性较强，体现压柱题作用，故选此题.7.已知是椭圆左右焦点，过的直线交椭圆于两点，的周长为8，椭圆的离心率为.（）求椭圆的方程；（）若直线与椭圆交于且，求证原点到直线的距离为定值（）当存在时，设， ，【入选理由】本题主要考查椭圆的定义，标准方程及几何性质，直线方程，直线与椭圆的位置关系，向量垂直的充要条件等基础知识，意在考查学生分析问题、解决问题的能力、基本运算能力及推理能力，转化与化归能力，本题是综合性较强，体现压柱题作用，故选此题.8已知椭圆：的一个焦点与抛物线的焦点相同，为椭圆的左、右焦点，为椭圆上任意一点，面积的最大值为1.(1)求椭圆的标准方程；(2)设不过原点的直线：与椭圆交于两点若直线与的斜率分别为，且，求证：直线过定点，并求出该定点的坐标；若直线的斜率是直线斜率的等比中项，求面积的取值范围.【解析】（1）由抛物线的方程为得其焦点坐标为，所以可得椭圆中， 当点位于椭圆的短轴端点时的面积最大，此时，所以，又由得，所以椭圆的标准方程为. 【入选理由】本题主要考查椭圆的标准方程，抛物线的方程，直线方程，直线与椭圆的位置关系，三角形面积，等比中项等基础知识，意在考查学生分析问题、解决问题的能力、基本运算能力及推理能力，转化与化归能力，本题是综合性较强，体现压柱题作用，故选此题.
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