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专题10.3 抛物线试题 文【三年高考】1. 【2016高考四川文科】抛物线的焦点坐标是( )(A)(0,2) (B) (0,1) (C) (2,0) (D) (1,0)【答案】D【解析】由题意，的焦点坐标为，故选D.2. 【2016高考新课标2文数】设F为抛物线C：y2=4x的焦点，曲线y=（k0）与C交于点P，PFx轴，则k=（ ）（A） （B）1 （C） （D）2【答案】D3. 【2016高考新课标1文数】在直角坐标系中,直线l:y=t(t0)交y轴于点M,交抛物线C：于点P,M关于点P的对称点为N,连结ON并延长交C于点H.（I）求；（II）除H以外,直线MH与C是否有其它公共点？说明理由.4. 【2016高考浙江文数】如图，设抛物线的焦点为F，抛物线上的点A到y轴的距离等于|AF|-1.（I）求p的值；（II）若直线AF交抛物线于另一点B，过B与x轴平行的直线和过F与AB垂直的直线交于点N，AN与x轴交于点M.求M的横坐标的取值范围.【解析】()由题意可得抛物线上点A到焦点F的距离等于点A到直线x=-1的距离.由抛物线的定义得，即p=2.()由()得抛物线的方程为，可设.因为AF不垂直于y轴，可设直线AF:x=sy+1, ,由 消去x得，故，所以.又直线AB的斜率为，故直线FN的斜率为，从而的直线FN:，直线BN:，所以，设M(m,0),由A,M,N三点共线得： ，于是，经检验，m2满足题意.综上，点M的横坐标的取值范围是.5. 【2016高考新课标文数】已知抛物线：的焦点为，平行于轴的两条直线分别交于两点，交的准线于两点（I）若在线段上，是的中点，证明；（II）若的面积是的面积的两倍，求中点的轨迹方程.6. 【2015高考陕西，文3】已知抛物线的准线经过点，则抛物线焦点坐标为（ ）A B C D【答案】【解析】由抛物线得准线，因为准线经过点，所以，所以抛物线焦点坐标为，故答案选7. 【2015高考上海，文7】抛物线上的动点到焦点的距离的最小值为1，则 .【答案】2【解析】依题意，点为坐标原点，所以，即.8. 【2015高考浙江，文19】如图，已知抛物线，圆，过点作不过原点O的直线PA，PB分别与抛物线和圆相切，A，B为切点.（1）求点A，B的坐标；（2）求的面积.注：直线与抛物线有且只有一个公共点，且与抛物线的对称轴不平行，则该直线与抛物线相切，称该公共点为切点.9. 【2015高考湖南，文20】已知抛物线的焦点F也是椭圆的一个焦点，与的公共弦长为，过点F的直线与相交于两点，与相交于两点，且与同向.（I） 求的方程；（II）若，求直线的斜率.10.【2014新课标1，文10】已知抛物线C：的焦点为,是C上一点，=，则=（ ）A. 4 B. 2 C. 1 D. 8【答案】C.【解析】由题知=，由抛物线焦半径公式知，=，解得=1，故选C.11.【2014新课标2，文10】设F为抛物线的焦点，过F且倾斜角为的直线交于C于两点，则=A B.6 C.12 D.【答案】C.12.【2014江西，文20】如图，已知抛物线，过点M(0,2)任作一直线与相交于两点，过点作轴的平行线与直线相交于点（为坐标原点）.（1） 证明：动点在定直线上；（2） 作的任意一条切线（不含轴）与直线相交于点，与（1）中的定直线相交于点，证明：为定值，并求此定值.【三年高考命题回顾】纵观前三年各地高考试题, 一方面以选择题、填空题的形式考查抛物线的定义、标准方程及简单几何性质等基础知识，另一方面以解答题的形式考查抛物线的概念和性质、直线与抛物线的位置关系的综合问题，着力于数学思想方法及数学语言的考查，题目的运算量一般不是很大，属于中档题，分值为5-12分【2017年高考复习建议与高考命题预测】由前三年的高考命题形式可以看出，抛物线的的定义、标准方程及简单几何性质是高考考试的重点，每年必考，考查方面其它利用性质求抛物线方程，求弦长，求抛物线的最值或范围问题，过定点问题，定值问题等预测2017年高考，对本节内容的考查仍将以求抛物线的方程和研究抛物线的性质为主，仍以选择题、填空、解答题的第一小题的形式考查抛物线的定义、标准方程及抛物线的几何性质，难度仍为容易题或中档题，以解答题的第二问的形式考查直线与抛物线的位置关系，难度仍难题，分值保持在5-12分.在备战2017年高考中，要熟记抛物线的定义，会根据题中的条件用待定系数法、定义法等方法求抛物线的标准方程，会根据条件研究抛物线的几何性质，会用设而不求思想处理直线与抛物线的位置关系，重点掌握与抛物线有关的最值问题、定点与定值问题、范围问题的处理方法，注意题中向量条件的转化与向量方法应用.【2017年高考考点定位】高考对抛物线的考查有三种主要形式：一是考查抛物线的定义；二是考查抛物线的标准方程与几何性质；三是考查直线与抛物线的位置关系，从涉及的知识上讲，常平面向量、函数、方程、不等式等知识相联系，试题多为容易题和中档题.【考点1】抛物线的定义【备考知识梳理】1.抛物线定义：平面内与一个定点F和一条定直线l(定点F不在定直线l上)的距离的比等于1的点的轨迹叫做抛物线，点F叫做抛物线的焦点，直线l叫做抛物线的准线.【规律方法技巧】1. 抛物线的定义的实质可归结为“一动三定”：一个动点M；一个定点F(抛物线的焦点)；一条定直线l(抛物线的准线)；一个定值1(点M与定点F的距离和它到定直线l的距离之比等于1)2. 常常利用抛物线的定义将抛物线上一点到焦点的焦半径问题与焦点到准线的距离问题互相转化.【考点针对训练】1. 【2016届湖北省八校高三二联】已知是抛物线的焦点，为抛物线上的动点，且的坐标为，则的最小值是（ ） A. B. C. D. 【答案】C【解析】抛物线的准线为，过点作于，则，且点在准线上，如下图所示，所以，当直线与抛物线相切时，有最小值，由得，设切点为，则，解得，此时，所以，故选C2. 【2016届河南省郑州一中高三考前冲刺三】如图所示，直线y=x-2与圆及抛物线依次交于A，B，C，D四点，则=（ ）A13 B14 C15 D16【答案】B【考点2】抛物线的标准方程与几何性质【备考知识梳理】1. 抛物线的标准方程与几何性质焦点在正半轴上焦点在负半轴上焦点在正半轴上焦点在正半轴上标准方程（）（）（）（）图形性质顶点（0,0）对称轴轴轴焦点（，0）（-，0）（0，）（0，-）准线=-=-=范围0，R0，R0，R0，R离心率=1【规律方法技巧】1.的几何意义：是焦点到准线的距离，故恒为正.2.焦点在轴上的抛物线的标准方程可以统一写成；焦点在轴上的抛物线的标准方程可以统一写成.3.焦点的非零坐标是一次项系数的，准线方程中的常数为一次项系数的-.4.求抛物线的标准方程（1）定义法：若某曲线（或轨迹）上任意一点到定点的距离与到定直线的距离相等，符合抛物线的定义，该曲线是以定点为焦点，定直线为准线的抛物线，从而求出定点到定直线的距离即为，写出抛物线的标准方程，（2）待定系数法，用待定系数法求抛物线标准方程分三步：判定是否在原点；确定焦点在哪个半轴上，确定标准方程类型；根据条件列出关于的方程，解出值，即可写出标准方程.5.抛物线（）上点的坐标可设为（），在计算时，可以降低计算量.【考点针对训练】1. 【2016届陕西洛南永丰中学高三考前最后一卷】已知点是抛物线上一点，为坐标原点，若是以点为圆心，的长为半径的圆与抛物线的两个公共点，且为等边三角形，则的值是（ ）A B C D【答案】C2. 【2016届福建省泉州市高三5月质检】已知抛物线,若等边三角形中,在上,在的准线上,为的焦点, 则（ ）A B C D【答案】B【解析】设,则,由可得,故,即,所以，故应选B.【考点3】直线与抛物线的位置关系【备考知识梳理】设双曲线的方程为（），直线，将直线方程与抛物线方程联立，消去y得到关于x的方程.(1) 若0，当0时，直线与抛物线有两个交点.当=0时，直线与抛物线有且只有一个公共点，此时直线与抛物线相切. 当0时，直线与抛物线无公共点.（2）当=0时，直线与抛物线只有一个交点，此时直线与抛物线的对称轴平行.【规律方法技巧】1.已知抛物线y22px(p0)，过其焦点的直线交抛物线于A、B两点(如右图所示)，设A(x1，y1)，B(x2，y2)则有以下结论：(1)|AB|x1x2p，或|AB|(为AB所在直线的倾斜角)；(2)x1x2；(3)y1y2p2.（4）以AB为直径的圆与抛物线的准线相切.2.过抛物线焦点且与对称轴垂直的弦称为抛物线的通径，抛物线的通径长为2p. 3. 直线方程与椭圆方程联立，消元后得到一元二次方程，则一元二次方程的根是直线和椭圆交点的横坐标或纵坐标，常设出交点坐标，用根与系数关系将横坐标之和与之积表示出来，这是进一步解题的基础4直线ykxb(k0)与圆锥曲线相交于A(x1，y1)，B(x2，y2)两点，则弦长|AB| |x1x2| |y1y2|.5对中点弦问题常用点差法和参数法.【考点针对训练】1. 【2016福建省厦门一中高三周测】已知抛物线与直线相交于两点，为的焦点，若，则（ ）A B C D【答案】B【解析】设抛物线的准线为直线恒过定点，如图过分别作于，于，由，则点为的中点、连接，则点的横坐标为1，点的坐标为 2. 【2016届辽宁大连八中、二十四中高三模拟】过抛物线的焦点的直线交抛物线于、两点，分别过、两点作准线的垂线，垂足分别为，两点，以线段为直径的圆过点，则圆的方程为（ ）A B C D【答案】B【应试技巧点拨】1.如何利用抛物线的定义解题（1）求轨迹问题：主要抓住到定点的距离和到定直线距离的几何特征，并验证其满足抛物线的定义，然后直接利用定义便可确定抛物线的方程；（2）求最值问题：主要把握两个转化：一是把抛物线上的点到焦点的距离可以转化为到准线的距离；二是把点到抛物线的距离转化为到焦点的距离.在解题时要准确把握题设的条件，进行有效的转化，探求最值问题.2.线和抛物线若有一个公共点，并不能说明直线和抛物线相切，还有可能直线与抛物线的对称轴平行3有关弦的问题(1)有关弦长问题，应注意运用弦长公式及根与系数的关系，“设而不求”；有关焦点弦长问题，要重视抛物线定义的运用，以简化运算斜率为的直线与圆锥曲线交于两点，则所得弦长或，其中求与时通常使用根与系数的关系，即作如下变形：，.当斜率不存在时，可求出交点坐标，直接运算(利用两点间距离公式)(2)弦的中点问题有关弦的中点问题，应灵活运用“点差法”，“设而不求法”来简化运算4解抛物线中的最值问题要注意定义的灵活运用，即抛物线上的点到焦点的距离与该点到准线的距离相等，解该题的关键就是利用此定义将问题转化为求解圆上的点到定点距离的最值问题二年模拟1. 【2016届江西师大附中、鹰潭一中联考】 已知抛物线的顶点在坐标原点，准线方程为，直线与抛物线相交于两点若线段的中点为，则直线l的方程为( )A B C D【答案】A【解析】易知抛物线的方程为.设则,两式相减得：,所以的斜率,从而直线的方程为,即.故A正确.2. 【2016届河北省石家庄市高三二模】已知实数，直线与抛物线和圆从上到下的交点依次为，则的值为（ ）A B C D【答案】C3. 【2016届河南省禹州市名校高三三模】过抛物线的焦点的直线交该抛物线于在第一象限) 两点,为坐标原点, 若的面积为,则的值为（ ）A B C D【答案】B【解析】设，直线的方程为，则，由，得，解得，当时，由解得.此时.同理当时， 4. 【2016届邯郸市一中高三十研】已知直线与抛物线交于两点，点，若，则（ ）A B C D0【答案】B 5. 【2016年安庆市高三二模】 已知抛物线的焦点为,动点在上,圆的半径为,过点的直线与圆切于点,则的最小值为 【答案】 3【解析】. 由抛物线的定义知：为点到准线的距离,易知,抛物线的顶点到准线的距离最短,. 6. 【2016年河南省八市重点高中质检】为抛物线上一点，过点作垂直该抛物线的准线于点为抛物线的焦点，为坐标原点，若四边形的四个顶点在同一个圆上，则该圆的面积为_.【答案】【解析】由题可知抛物线的准线方程为，设，则，设过四点的圆的圆心在线段和的垂直平分线上，因为，线段的垂直平分线方程为，则线段的中点的横坐标也为1，故，则圆心到和的距离线段，即 7. 【2016年湖北安庆一中高三二模】若抛物线的准线被圆心为的圆截得的弦长等于,则该圆的半径为 【答案】 1【解析】抛物线的准线,圆心到其距离等于.又弦长等于,所以则该圆的半径为. 8. 【2016届陕西省黄陵中学高三下第六次模拟】已知是抛物线的焦点，过作一直线交抛物线于两点，若，则直线与坐标轴围成的三角形的面积为_【答案】 9.【2016年湖北四市高三联合测试】已知顶点为原点O，焦点在轴上的抛物线，其内接的重心是焦点F，若直线BC的方程为。（1）求抛物线方程；（2）过抛物线上一动点M作抛物线切线，又且交抛物线于另一点N，ME(E在M的右侧)平行于轴，若，求的值。 10. 【2016届上海市华师二附中高三6月模拟】已知是抛物线的焦点，为抛物线的顶点，准线与轴的交点为，点 在抛物线上（1）求直线的斜率的取值范围，记，求的取值范围；（2）过点的抛物线的切线交轴于点，则是否为定值？（3）在给定的抛物线上过已知定点，给出用圆规与直尺作过点的切线的作法【解析】（1）直线，联立得，解得，（2）设切线方程为，联立得，即，即（3）过做轴垂线，交轴于点，在轴负半轴上截取，联结，即为切线11.【2015届甘肃省天水市一中高三第五次高考模拟】已知是抛物线上的一个动点,是圆上的一个动点,是一个定点,则的最小值为（ ）A3 B4 C5 D【答案】A【解析】设圆心为点，则的最小值可以记为的最小值，结合抛物线的定义，可知其为点到准线的距离即为的最小值，所以最值为，故选A12.【2015届上海市普陀区高三三模调研】已知抛物线的焦点为，准线为，过抛物线上一点作于，若直线的一个方向向量为，则_【答案】413.【2015届吉林省吉林市高三第三次模拟考试】已知直线与抛物线交于A，B两点，点P为抛物线C上一动点，且在直线l下方，则PAB的面积的最大值为 .【答案】【解析】由题意知：当抛物线过点的切线与直线平行时，的面积最大，设点，由得：，所以，解得：，所以，所以，点到直线的距离，由，消去，得：，设，则，所以，所以的面积的最大值是，所以答案应填：14.【2015届浙江省余姚市高三第三次模拟考试】如图，过抛物线的焦点的直线交于两点，且（）求的值；（）是上的两动点，的纵坐标之和为1，的垂直平分线交轴于点，求的面积的最小值15.【2015届黑龙江省哈尔滨市三中高三第四次模拟】过抛物线对称轴上任一点作直线与抛物线交于两点，点是点P关于原点的对称点（1）当直线方程为时，过A,B两点的圆与抛物线在点A处有共同的切线，求圆的方程；（2）设, 证明：拓展试题以及解析1.已知过抛物线的焦点的直线交抛物线于两点，交其准线于点,已知=,则线段的中点到准线的距离为( ).A B3 C D 6【答案】B【入选理由】本题主要考查抛物线的方程及其几何性质，直线与抛物线的位置关系,向量的性质等基础知识, 意在考查分析问题、解决问题的能力、基本运算能力及推理能力，转化与化归能力，此题向量与抛物线结合，体现学科知识综合，故选此题.2.已知抛物线的焦点为,点为该抛物线上的动点，若点,则的最大值是（ ）A.1B. C. D.2 【答案】B【解析】由题意得，焦点，当时，；当时，（当且仅当时取等号）. 所以，所以的最大值是.【入选理由】本题主要考查抛物线的方程及其几何性质, 焦半径,基本不等式求最值等基础知识, 意在考查学生分类讨论的思想,分析问题、解决问题的能力、基本运算能力及推理能力，转化与化归能力，此题是抛物线性质的灵活应用，故选此题.3.已知离心率等于的双曲线的一个焦点与抛物线的焦点重合，则该双曲线的方程为 .【答案】【入选理由】本题主要考查抛物线的方程及其几何性质, 双曲线的标准方程和几何性质等基础知识, 意在考查学生分析问题、解决问题的能力、基本运算能力及推理能力，转化与化归能力，此题是一个基础题，故选此题.4.已知圆的方程为，是曲线上一点，过点作圆的两条切线，切点为，则的取值范围是（ ）A B C D【答案】D【解析】如图所示，设，设，则，所以设，由已知得，又，故，所以故选D.【入选理由】本题主要考查抛物线的方程及其几何性质, 圆的标准方程和几何性质,向量的数量积,解直角三角形,倍角公式等基础知识, 意在考查学生分析问题、解决问题的能力、基本运算能力及推理能力，转化与化归能力，此题向量与抛物线结合，具有一定的综合性，故选此题.5.过抛物线的焦点作斜率为的直线，该直线与双曲线的 两条渐近线的交点分别为、，若是与的等比中项，则双曲线的离心率等于（ ）A. B. C. D. 【答案】D【入选理由】本题主要考查抛物线的方程及其几何性质, 双曲线的标准方程和几何性质,等比中项等基础知识, 意在考查学生分析问题、解决问题的能力、基本运算能力及推理能力，转化与化归能力，此题双曲线与抛物线结合，具有一定的综合性，故选此题.6.已知圆过定点且圆心在抛物线上运动，若轴截圆所得的弦为，则弦长等于（ ）A2 B3 C4 D与点位置有关的值【答案】A【解析】过作垂直于轴于，设，则，在中，为圆的半径，为的一半，因此又点在抛物线上，.【入选理由】本题主要考查抛物线的方程及其几何性质, 圆的标准方程和几何性质,勾股定理等基础知识, 意在考查学生分析问题、解决问题的能力、基本运算能力及推理能力，转化与化归能力，此题是一个常规题,具有一定的解题技巧，故选此题.7.已知抛物线的焦点为，是抛物线上一点，线段的延长线交抛物线的准线于点， 若，则=_. 【答案】 【入选理由】本题主要考查抛物线的方程及其几何性质，直线与抛物线的位置关系,向量的性质等基础知识, 意在考查学生分析问题、解决问题的能力、基本运算能力及推理能力，转化与化归能力，此题是一个常规题,具有一定的解题技巧，故选此题.8.已知抛物线C：，过抛物线第一象限上的一点作抛物线C的切线，一直线过抛物线的焦点交抛物线于A、B两点 ，抛物线准线为.（）求抛物线C的方程；（）若与轴的交点为M,求的面积S的范围；（）若与相交于点P，设，求证：+为定值【入选理由】本题主要考查抛物线的方程及其几何性质, 抛物线的切线, 函数的导数,直线与抛物线的位置关系,三角形面积等基础知识, 意在考查学生分析问题、解决问题的能力、基本运算能力及推理能力，转化与化归能力，此题是一个常规题,具有一定的解题技巧，故选此题.
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