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专题3.1 导数以及运算试题 文【三年高考】1. 【2016高考四川文科】设直线l1，l2分别是函数f(x)= 图象上点P1，P2处的切线，l1与l2垂直相交于点P，且l1，l2分别与y轴相交于点A，B，则PAB的面积的取值范围是( )(A)(0,1) (B) (0,2) (C) (0,+) (D) (1,+ )【答案】A22016高考新课标文数已知为偶函数，当 时，则曲线在处的切线方程式_.【答案】【解析】当时，则又因为为偶函数，所以，所以，则切线斜率为，所以切线方程为，即3【2016高考新课标2文数】已知函数.（I）当时，求曲线在处的切线方程；（）若当时，求的取值范围.4【2016高考北京文数】（本小题13分）设函数（I）求曲线在点处的切线方程；（II）设，若函数有三个不同零点，求c的取值范围；（III）求证：是有三个不同零点的必要而不充分条件.【解析】（I）由，得因为，所以曲线在点处的切线方程为（II）当时，所以令，得，解得或与在区间上的情况如下：所以，当且时，存在，使得由的单调性知，当且仅当时，函数有三个不同零点5【2015高考天津，文11】已知函数 ,其中a为实数,为的导函数,若 ,则a的值为 【答案】3【解析】因为 ,所以.6. 【2015高考新课标1，文14】已知函数的图像在点的处的切线过点，则 .【答案】1【解析】，即切线斜率，又，切点为（1，），切线过（2,7），解得1.7.【2015高考陕西，文15】函数在其极值点处的切线方程为_.【答案】8.【2015高考广东，文21】设为实数，函数（1）若，求的取值范围；（2）讨论的单调性；（3）当时，讨论在区间内的零点个数【解析】（1），因为，所以，当时，显然成立；当，则有，所以.所以.综上所述，的取值范围是.（2）,对于，其对称轴为，开口向上，所以在上单调递增；对于，其对称轴为，开口向上，所以在上单调递减.综上所述，在上单调递增，在上单调递减.（3）由（2）得在上单调递增，在上单调递减，所以. (ii)当时，当时， ，而在上单调递增，当时，.下面比较与的大小,因为,所以结合图象不难得当时，与有两个交点. 综上所述，当时，有一个零点；当时，有两个零点.9.【2015高考重庆，文19】已知函数（）在x=处取得极值.()确定的值，()若，讨论的单调性.【解析】略10. 【2014高考安徽卷文第15题】若直线与曲线满足下列两个条件： 直线在点处与曲线相切；曲线在附近位于直线的两侧，则称直线在点处“切过”曲线.下列命题正确的是_(写出所有正确命题的编号)直线在点处“切过”曲线：直线在点处“切过”曲线：直线在点处“切过”曲线：直线在点处“切过”曲线：直线在点处“切过”曲线：【答案】11. 【2014高考湖南卷文第9题】若，则（ ）A.B.C.D.【答案】C12. 【2014高考重庆文第19题】已知函数，其中，且曲线在点处的切线垂直于. （）求的值； （）求函数的单调区间与极值.【解析】（）对求导得，由在点处切线垂直于直线知解得；【三年高考命题回顾】纵观前三年各地高考试题, 导数及运算是高考的热点，年年都出题，作为导数应用时求导中用到,一般不单独命题,导数的几何意义有时作为选择题,填空题单独命题，有时作为解答题的第一问，难度中档左右【2017年高考复习建议与高考命题预测】由前三年的高考命题形式, 导数重点考查一次函数，二次函数，反比例函数，指数函数，对数函数，与三角函数等的求导公式，导数运算重点是高次多项式函数，分式函数，指数型，对数型函数，以及初等基本函数的和、差、积、商的运算方法，试题的命制往往与导数的应用结合，解决单调性，极值，最值，切线，方程的根，参数的范围等问题，它只作为解题的一部分，难度不大，只需会运用公式求导即可因此在2017年高考备考中应狠下功夫,掌握求导公式,会灵活应用求导法则,理解导数的几何意义即可.在2016年高考考查了导数的运算，新课标1卷没有对导数的几何意义进行考查, 预测2017年可能会对导数的几何意义进行考查,对函数与其它函数积与商的导数运算是必考【2017年高考考点定位】高考对导数的运算，导数的几何意义的考查，一般不单独出题，特别是导数的运算，往往和导数的几何意义，导数的应用结合起来，作为第一步求导来进一步研究导数其它应用.考点一、导数的基本运算【备考知识梳理】1常见函数的导出公式（）（C为常数）；（）；（）；（）；（5）；（6）；（7）且；（8）2两个函数的和、差、积的求导法则法则1：两个函数的和(或差)的导数,等于这两个函数的导数的和(或差)，即： (法则2：两个函数的积的导数,等于第一个函数的导数乘以第二个函数,加上第一个函数乘以第二个函数的导数，即：若C为常数,则.即常数与函数的积的导数等于常数乘以函数的导数： 法则3两个函数的商的导数，等于分子的导数与分母的积，减去分母的导数与分子的积，再除以分母的平方：=（v0）3.形如y=f的函数称为复合函数复合函数求导步骤：分解求导回代法则：y|= y| u|【规律方法技巧】(1)求导之前，应利用代数、三角恒等式等变形对函数进行化简，然后求导，这样可以减少运算量，提高运算速度，减少差错；(2)有的函数虽然表面形式为函数的商的形式，但在求导前利用代数或三角恒等变形将函数先化简，然后进行求导，有时可以避免使用商的求导法则，减少运算量；(3)复合函数的求导，要正确分析函数的复合层次，通过设中间变量，确定复合过程，然后求导【考点针对训练】（1）求的导数；（2）求的导数；（3）求的导数；（4）求y=的导数；（5）求y的导数【解析】（1）,（2）先化简,，考点二、导数的几何意义【备考知识梳理】函数y=f（x）在点x处的导数的几何意义是曲线y=f（x）在点p（x，f（x）处的切线的斜率也就是说，曲线y=f（x）在点p（x，f（x）处的切线的斜率是f（x）相应地，切线方程为yy=f/（x）（xx）【规律方法技巧】求曲线切线方程的步骤：（1）求出函数在的导数，即曲线在点处切线的斜率；（2）在已知切点和斜率的条件下，求得切线方程特别地，当曲线在点处的切线平行于轴时（此时导数不存在），可由切线的定义知切线方程为；当切点未知时，可以先设出切点坐标，再求解.【考点针对训练】1. 【2016年河南郑州高三二模】曲线在点处的切线平行于直线，则点的坐标为（ ）A B C和 D【答案】C.【解析】因，令，故或，所以或，经检验，点，均不在直线上，故选C2. 【河南八市2016年4月高三质检卷】.已知曲线与恰好存在两条公切线，则实数的取值范围为_【答案】【应试技巧点拨】1. 利用导数求切线问题中的“在”与“过”在解决曲线的切线问题时，利用导数求切线的斜率是非常重要的一类方法.在求解过程中特别注意：曲线在某点处的切线若有则只有一条，曲线过某点的要切线往往不止一条；切线与曲线的公共点不一定只有一个.因此在审题时应首先判断是“在”还是“过”.若“在”，利用该点出的导数为直线的斜率，便可直接求解；若“过”，解决问题关键是设切点，利用“待定切点法”,即：设点A（x,y）是曲线y=f(x)上的一点，则以A为切点的切线方程为yy=f,再根据题意求出切点.2.函数切线的相关问题的解决，抓住两个关键点：其一，切点是交点；其二，在切点处的导数是切线的斜率因此，解决此类问题，一般要设出切点，建立关系方程(组)其三，求曲线的切线要注意“过点P的切线”与“在点P处的切线”的差异过点P的切线中，点P不一定是切点，点P也不一定在已知曲线上；在点P处的切线，点P是切点二年模拟1. 【2016届海南省农垦中学高三考前押题】曲线在点处的切线的倾斜角为（ ）A B C D【答案】A【解析】由已知得在点处的斜率，则倾斜角为,故选A.2. 【2016届吉林大学附中高三第二次模拟】已知为正实数，直线与曲线相切，则的取值范围（ ）（A） （B） （C） （D）【答案】A3. 【2016年河南省商丘市高三第三模】 曲线与曲线有公共点，且在公共点处的切线相同，则的值为（ ）A B C D【答案】D【解析】设公共切点横坐标为,依题意有,两式相除得,故4. 【2016届重庆一中高三5月模拟考试】设曲线在点(3,2)处的切线与直线有相同的方向向量,则a等于（ ）A- B C. -2 D2【答案】B【解析】因为，在点处的切线与直线有相同的方向向量，所以，故选B.5. 【2016届重庆一中高三5月模拟考试】设函数有两个极值点，若点为坐标原点，点在圆上运动时，则函数图象的切线斜率的最大值为（ ）A. B. C. D. 【答案】D6. 【2016届海南省华侨中学高三考前模拟】已知函数在定义域上表示的曲线过原点，且在处的切线斜率均为有以下命题：是奇函数；若在内递减，则的最大值为；若的最大值为，最小值为，则；若对，恒成立，则的最大值为其中正确命题的个数为（ ）A个 B个 C个 D个【答案】B【解析】由题意得函数过原点，则又则必有，解得，所以令得则函数在上的最小值是负数由此得函数图象大致如图：得出结论是：正确；错误故选B7. 【2016江西师大附中高三上学期期末】已知函数的图象在点处的切线方程是，则 【答案】【解析】由函数在某点的导数等于函数在该点的切线的斜率可知，有点必在切线上，代入切线方程，可得，所以有8. 【2016届重庆一中高三下高考适应性考试】一条斜率为的直线与曲线：和曲线：分别相切于不同两点，则这两点间的距离等于 【答案】9.【2016届辽宁省大连师大附中高三模拟】已知函数，且函数的导函数为，若曲线和曲线都过点A（0,2），且在点A处有相同的切线（1）求的值；（2）若时，求实数的取值范围.10. 【2016届贵州省贵阳六中高三5月高考模拟】已知函数.（1）求曲线在点处的切线方程；（2）求证函数在区间上存在唯一的极值点，并利用二分法求函数取得极值时相应的近似值（误差不超过0.2）；（参考数据）.【解析】（1） ，则，曲线在点处的切线方程为，即：.（2），令，则在上单调递增，在上存在唯一零点，在上存在唯一的极值点.取区间作为起始区间，用二分法逐次计算如下由上表可知区间的长度为0.3，所以该区间的中点，到区间端点的距离小于0.2，因此可作为误差不超过0.2一个极值点的相应的值，函数取得极值时，相应.11. 【河南省开封市2015届高三上学期定位考试】函数存在与直线平行的切线，则实数的取值范围是（ ）A B C D【答案】B12. 【湖北省重点中学2015届高三上学期第三次月考试题】已知函数的导数为，且满足关系式，则的值等于（ ）A. B.2 C. D. 【答案】C.【解析】因为，所以，所以，解之得.故应选C.13.【河南许昌平顶山新乡三市2015届10月高三第一次调研】设是定义在上的奇函数，且，当时，有恒成立，则不等式的解集是 A、 B、 C、 D、【答案】D14.【2015届山东省青岛市高三下学期第二次模拟】已知函数（为实数）（）当时，求函数的图象在点处的切线方程；（）设函数（其中为常数），若函数在区间上不存在极值，且存在满足，求的取值范围【解析】（）当时，则，函数的图象在点的切线方程为：，即 ；（），由，由于函数在区间上不存在极值，所以或 ，由于存在满足，所以，对于函数，对称轴，当或，即或时，由，结合或可得：或，当，即时，由，结合可知：不存在； 当，即时，；由，结合可知： ，综上可知： 或 15.【2015届北京市东城区5月综合练习】已知函数 ,，（，为常数）（）若在处的切线过点，求的值；（）设函数的导函数为，若关于的方程有唯一解，求实数的取值范围；（）令，若函数存在极值，且所有极值之和大于，求实数的取值范围（）所以因为存在极值，所以在上有根，即方程在上有根，则有显然当时，无极值，不合题意；所以方程必有两个不等正根记方程的两根为，则 ,解得，满足又，即，故所求的取值范围是拓展试题以及解析1. 已知函数，为的导函数，则的图象是（ ）【答案】A【入选理由】本题主要考查诱导公式、基本初等函数的求导法则、函数的图象等知识，意在考查学生的识图能力、逻辑思维能力.此题难度不大，出题角度较新，故选此题2函数存在与直线平行的切线，则实数的取值范围是（ ）A. B. C. D. 【答案】D【解析】因为，直线的的斜率为，由题意知方程（）有解，因为，所以，故选D【入选理由】本题考查导数的几何意义、基本不等式等基础知识，意在考查转化与化归的思想和基本运算能力本题导数的几何意义巧妙地与基本不等式结合起来，出题方式新颖，试题难度不大，同时对导数运算的深层次考查，体现灵活运用导数知识解决问题能力；故选此题.3.已知函数，若方程有且仅有一解，则实数的取值范围为【答案】【入选理由】本题考查函数图象，函数单调性，利用导数求切线等基础知识，意在考查分析问题的能力、基本运算能力及推理能力本题比较综合，出题方式新颖，试题难度不大，故选此题.4.已知函数，若在点的切线为，则 .【答案】0【解析】切点代入切线得，故，求得b=1，求导得，切线斜率,.【入选理由】本题考查导数与函数、切线方程，结合转化思想和和函数思想求切线方程问题,意在考查分析问题的能力、基本运算能力及推理能力本题比较常规，是高考经常考的题型,故选此题.5.已知函数，则曲线在点处的切线方程为_【答案】【解析】易得，则，又因为，所以切线方程为，即【入选理由】本题考查导数的几何意义等基础知识，意在考查基本运算能力.本题比较常规，是高考经常考的题型,故选此题.6.已知函数，若在处的切线平行于直线，且.()求函数的解析式；()若对任意的，恒成立，求实数的取值范围.【入选理由】本题考查利用导数研究曲线上在某点处的切线方程,函数解析式的求解及常用方法,利用导数研究函数的最大值、最小值问题等基础知识，意在考查综合分析问题、解决问题的能力和基本运算能力本题比较综合，特别是第二问恒成立问题是高考常考题型，故选此题.7. 已知函数() 若函数在处的切线过点，求的值；（）若，求证：；（）若恰有三个不同的零点，求的取值范围【解析】()因为，所以，又，所以 （）因为，所以令，则因为，所以，从而，即. 【入选理由】本题考查导数几何意义、利用导数证明不等式、利用导数研究函数零点等基础知识，意在考查学生转化与化归能力、综合分析问题和解决问题的能力以及运算求解能力本题比较综合，特别是第二问证明不等式问题是高考常考题型，故选此题.8.已知函数，（1）若，则，满足什么条件时，曲线与在处总有相同的切线？（2）当时，求函数的单调减区间；（3）当时，若对任意的恒成立，求的取值的集合.【解析】（1），又，在处的切线方程为，又，又，在处的切线方程为， 所以当且时，曲线与在处总有相同的切线. （2）由，由，得，当时，函数的减区间为，；当时，函数的减区间为；当时，函数的减区间为，. 【入选理由】本小题主要考查利用导数求切线方程，利用导数求单调区间及最值，不等式恒成立等基础知识，考查学生转化与化归能力、综合分析问题和解决问题的能力以及运算求解能力本题比较综合，本题比较综合，出题方式新颖，故选此题.
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