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题型研究3 加试计算题 22题 带电粒子在复合场中的运动带电粒子在叠加场中的运动1带电粒子在叠加场中无约束情况下的运动情况分类(1)洛伦兹力、重力并存若重力和洛伦兹力平衡，则带电粒子做匀速直线运动若重力和洛伦兹力不平衡，则带电粒子将做复杂的曲线运动，因洛伦兹力不做功，故机械能守恒，由此可求解问题(2)电场力、洛伦兹力并存(不计重力的微观粒子)若电场力和洛伦兹力平衡，则带电粒子做匀速直线运动若电场力和洛伦兹力不平衡，则带电粒子将做复杂的曲线运动，因洛伦兹力不做功，可用动能定理求解问题(3)电场力、洛伦兹力、重力并存若三力平衡，一定做匀速直线运动若重力与电场力平衡，一定做匀速圆周运动若合力不为零且与速度方向不垂直，将做复杂的曲线运动，因洛伦兹力不做功，可用能量守恒定律或动能定理求解问题2带电粒子在叠加场中有约束情况下的运动带电粒子在叠加场中受轻杆、轻绳、圆环、轨道等约束的情况下，常见的运动形式有直线运动和圆周运动，此时解题要通过受力分析明确变力、恒力做功情况，并注意洛伦兹力不做功的特点，运用动能定理、能量守恒定律结合牛顿运动定律求解例1如图1，在竖直平面内建立直角坐标系xOy，其第一象限存在着正交的匀强电场和匀强磁场，电场强度的方向水平向右，磁感应强度的方向垂直纸面向里一带电荷量为q、质量为m的微粒从原点出发沿与x轴正方向的夹角为45的初速度进入复合场中，正好做直线运动，当微粒运动到A(l，l)时，电场方向突然变为竖直向上(不计电场变化的时间)，粒子继续运动一段时间后，正好垂直于y轴穿出复合场不计一切阻力，求：图1(1)电场强度E的大小；(2)磁感应强度B的大小；(3)微粒在复合场中的运动时间答案(1)(2)(3)(1)解析(1)微粒到达A(l，l)之前做匀速直线运动，对微粒受力分析如图甲：所以，Eqmg，得：E(2)由平衡条件：qvBmg电场方向变化后，微粒所受重力与电场力平衡，微粒在洛伦兹力作用下做匀速圆周运动，轨迹如图乙：qvBm由几何知识可得：rl联立解得：v，B(3)微粒做匀速运动的时间：t1做圆周运动的时间：t2在复合场中的运动时间：tt1t2(1).粒子在叠加场中运动的分析思路变式题组1如图2所示，在足够大的空间范围内，同时存在着竖直向上的匀强电场和垂直纸面向外的匀强磁场，电场强度为E，磁感应强度为B.足够长的斜面固定在水平面上，斜面倾角为45.有一带电的小球P静止于斜面顶端A处，且恰好对斜面无压力若将小球P以初速度v0水平向右抛出(P视为质点)，一段时间后，小球落在斜面上的C点已知小球的运动轨迹在同一竖直平面内，重力加速度为g，求：图2(1)小球P落到斜面上时速度方向与斜面的夹角及由A到C所需的时间t；(2)小球P抛出到落回斜面的位移x的大小答案(1)45(2)解析(1)小球P静止时不受洛伦兹力作用，仅受自身重力和电场力，对斜面无压力，则mgqEP获得水平初速度后由于重力和电场力平衡，将在洛伦兹力作用下做匀速圆周运动，由对称性可得小球P落到斜面上时其速度方向与斜面的夹角为45qv0BmT圆周运动转过的圆心角为90，小球P由A到C所需的时间：t(2)由式可知，P做匀速圆周运动的半径R由几何关系知xR由可解得位移x.2如图3所示，两块水平放置、相距为d的长金属板接在电压可调的电源上两板之间的右侧区域存在方向垂直纸面向里的匀强磁场将喷墨打印机的喷口靠近上板下表面，从喷口连续不断喷出质量均为m、水平速度均为v0、带相等电荷量的墨滴调节电源电压至U，墨滴在电场区域恰能沿水平方向向右做匀速直线运动；进入电场、磁场共存区域后，最终垂直打在下板的M点图3(1)判断墨滴所带电荷的种类，并求其电荷量；(2)求磁感应强度B的值；(3)现保持喷口方向不变，使其竖直下移到两板中间的位置为了使墨滴仍能到达下板M点，应将磁感应强度调至B，则B的大小为多少？答案(1)负电荷(2)(3)解析(1)墨滴在电场区域内做匀速直线运动，有qmg由式得q由于电场方向向下，电荷所受电场力向上，可知墨滴带负电荷(2)墨滴垂直进入电场、磁场共存区域，重力仍与电场力平衡，合力等于洛伦兹力，墨滴做匀速圆周运动，有qv0Bm考虑墨滴进入磁场和撞板时的几何关系，可知墨滴在该区域恰完成四分之一圆周运动，则半径Rd由式得B(3)根据题设，墨滴运动轨迹如图，设圆周运动半径为R，有qv0Bm由图示可得R2d2(R)2得Rd联立式可得B.带电粒子在组合场中的运动“电偏转”和“磁偏转”的比较垂直电场线进入匀强电场(不计重力)垂直磁感线进入匀强磁场(不计重力)受力情况电场力FqE，其大小、方向不变，与速度v无关，F是恒力洛伦兹力F洛qvB，其大小不变，方向随v而改变，F洛是变力轨迹抛物线圆或圆的一部分运动轨迹求解方法利用类平抛运动的规律求解：vxv0，xv0tvyt，yt2偏转角：tan 半径：r周期：T偏移距离y和偏转角要结合圆的几何关系利用圆周运动规律讨论求解运动时间ttT动能变化不变例2(2015浙江10月选考)如图4是水平放置的小型粒子加速器的原理示意图，区域和存在方向垂直纸面向里的匀强磁场B1和B2，长L1.0 m的区域存在场强大小E5.0104 V/m、方向水平向右的匀强电场区域中间上方有一离子源S，水平向左发射动能Ek04.0104 eV的氘核，氘核最终从区域下方的P点水平射出S、P两点间的高度差h0.10 m(氘核质量m21.671027 kg、电荷量q1.601019 C,1 eV1.601019 J, 1104)图4(1)求氘核经过两次加速后从P点射出时的动能Ek2.(2)若B11.0 T，要使氘核经过两次加速后从P点射出，求区域的最小宽度d.(3)若B11.0 T，要使氘核经过两次加速后从P点射出，求区域的磁感应强度B2.答案(1)2.241014 J(2)0.06 m(3)1.2 T解析(1)由动能定理WEk2Ek0电场力做功WqE2L得Ek2Ek0qE2L1.4105 eV2.241014 J(2)洛伦兹力提供向心力：qvBm第一次进入B1区域，半径R00.04 m第二次进入B1区域，mvEk0qELR20.06 m，故最小宽度dR20.06 m(3)氘核运动轨迹如图所示由图中几何关系可知2R2h(2R12R0)解得R10.05 m由R1，得B21.2 T.带电粒子在组合场中运动的分析思路及技巧1基本思路：2解题关键：抓住联系两个场的纽带速度变式题组3(2016浙江4月选考22)如图5为离子探测装置示意图区域、区域长均为L0.10 m，高均为H0.06 m区域可加方向竖直向下、电场强度为E的匀强电场；区域可加方向垂直纸面向里、磁感应强度为B的匀强磁场，区域的右端紧贴着可探测带电粒子位置的竖直屏质子束沿两板正中间以速度v1.0105 m/s水平射入，质子荷质比近似为1.0108 C/kg.(忽略边界效应，不计重力)图5(1)当区域加电场、区域不加磁场时，求能在屏上探测到质子束的外加电场的最大值Emax；(2)当区域不加电场、区域加磁场时，求能在屏上探测到质子束的外加磁场的最大值Bmax；(3)当区域加电场E小于(1)中的Emax，质子束进入区域和离开区域的位置等高，求区域中的磁场B与区域中的电场E之间的关系式答案(1)200 V/m(2)5.5103 T(3)B解析(1)质子在电场中做类平抛运动vyattan 质子到达区域右下端时，有tan 得E200 V/m.(2)质子在磁场中运动有qvBm，即R根据几何关系有R2(R)2L2得B5.5103 T.(3)质子运动轨迹如图所示设质子进入磁场时的速率为v，sin 由几何关系知sin 得B.4(2016浙江10月学考23)如图6所示，在x轴的上方存在垂直纸面向里，磁感应强度大小为B0的匀强磁场，位于x轴下方离子源C发射质量为m、电荷量为q的一束负离子，其初速度大小范围为0v0.这束离子经电势差为U的电场加速后，从小孔O(坐标原点)垂直x轴并垂直磁场射入磁场区域，最后打到x轴上在x轴上2a3a区间水平固定放置一探测板(a)假设每秒射入磁场的离子总数为N0，打到x轴上的离子数均匀分布(离子重力不计)图6(1)求离子束从小孔O射入磁场后打到x轴的区间；(2)调整磁感应强度的大小，可使速度最大的离子恰好打在探测板的右端，求此时的磁感应强度大小B1；(3)保持磁感应强度B1不变，求每秒打在探测板上的离子数N；若打在板上的离子80%被板吸收，20%被反向弹回，弹回速度大小为打板前速度大小的0.6倍，求探测板受到的作用力大小答案见解析解析(1)对于初速度为0的粒子：qUmvr1a恰好打在x2a的位置对于初速度为v0的粒子qUmvm(v0)2r22a，恰好打在x4a的位置打在x轴上的区间为2a,4a(2)由动能定理qUmvm(v0)2r3r3a解得B1B0(3)对速度为0的粒子qUmvr4a2r41.5a粒子打在x轴上的区间为1.5a,3aNN0N0由动量定理Ft0.8Nmv00.2N(0.6mv0mv0)解得F0.75N0mv01如图1所示的坐标系，x轴沿水平方向，y轴沿竖直方向第一、第二和第四象限内，既无电场也无磁场，在第三象限，存在沿y轴正方向的匀强电场和垂直坐标平面向里的匀强磁场一质量为m、电荷量为q的带电质点，从y轴上y1h处的P1点，以一定的水平初速度沿x轴负方向进入第二象限；然后经过x轴上x2h处的P2点进入第三象限，带电质点恰好做匀速圆周运动，经y轴上y32h的P3点离开电磁场，重力加速度为g.求：图1(1)粒子到达P2点时速度的大小和方向；(2)第三象限内电场强度的大小；(3)第三象限内磁感应强度的大小答案(1)2方向与x轴负方向成45角(2)(3) 解析(1)带电质点运动轨迹如图带电质点从P1到P2点，由平抛运动规律得：hgt2v0vygttan 解得：v2方向与x轴负方向成45角(2)带电质点从P2到P3，重力与电场力平衡，得：Eqmg解得：E.(3)第三象限，洛伦兹力提供带电质点做圆周运动的向心力，由牛顿第二定律得：qvB由几何关系得：(2R)2(2h)2(2h)2联立式得：B .2如图2，区域内有与水平方向成45角的匀强电场E1，区域宽度为d1，区域内有正交的有界匀强磁场B和匀强电场E2，区域宽度为d2，磁场方向垂直纸面向里，电场方向竖直向下一质量为m、电量大小为q的微粒在区域左边界的P点，由静止释放后水平向右做直线运动，进入区域后做匀速圆周运动，从区域右边界上的Q点穿出，其速度方向改变了30，重力加速度为g，求：图2(1)区域和区域内匀强电场的电场强度E1、E2的大小(2)区域内匀强磁场的磁感应强度B的大小(3)微粒从P运动到Q的时间答案(1)(2)(3)解析(1)根据题意：E1qsin 45mg，求得：E1E2qmg，求得：E2(2)设粒子进入磁场区域时的速度大小为v，则：E1qd1cos 45mv2Bqv解得：v根据几何关系，分析可知：R2d2整理得：B(3)微粒从P到Q的时间包括在区域内的运动时间t1和在区域内的运动时间t2，并满足：a1td1mgtan 45ma1t2经整理得：tt1t2.3如图3所示，在以坐标原点O为圆心、半径为R的半圆形区域内，有相互垂直的匀强电场和匀强磁场，磁感应强度为B，磁场方向垂直于xOy平面向里一带正电的粒子(不计重力)从O点沿y轴正方向以某一速度射入，带电粒子恰好做匀速直线运动，经t0时间从P点射出图3(1)求电场强度的大小和方向；(2)若仅撤去磁场，带电粒子仍从O点以相同的速度射入，经时间恰从半圆形区域的边界射出求粒子运动的加速度大小；(3)若仅撤去电场，带电粒子仍从O点射入，且速度变为原来的4倍，求粒子在磁场中运动的时间答案(1)沿x轴正方向(2)(3)t0解析(1)设带正电粒子的质量为m，电荷量为q，初速度大小为v，电场强度为E.可判断出粒子受到的洛伦兹力沿x轴负方向，于是可知电场强度沿x轴正方向且有qEqvB又Rvt0则E(2)仅有电场时，带电粒子在匀强电场中做类平抛运动在y方向位移为yv由式得y设在水平方向位移为x，因射出位置在半圆形区域边界上，于是xR又由xa()2得a(3)仅有磁场时，入射速度v4v，带电粒子在匀强磁场中做匀速圆周运动，设轨道半径为r，由牛顿第二定律有qvBm又(2)中qEma由式得r由几何知识sin 即sin ，带电粒子在磁场中的运动周期T则带电粒子在磁场中的运动时间tBT所以tBt0.4如图4所示，在空间中存垂直纸面向里的匀强磁场，其竖直边界AB、CD的宽度为d，在边界AB左侧是竖直向下、场强为E的匀强电场，现有质量为m、带电荷量为q的粒子(不计重力)从P点以大小为v0的水平初速度射入电场，随后与边界AB成45角射入磁场若粒子能垂直CD边界飞出磁场，穿过小孔进入如图所示两竖直平行金属板间的匀强电场中减速至零且碰不到正极板图4(1)请画出粒子在上述过程中的运动轨迹，并求出粒子进入磁场时的速度大小v；(2)求匀强磁场的磁感应强度B的大小；(3)求金属板间的电压U的最小值答案(1)轨迹见解析图v0(2)(3)解析(1)轨迹如图所示vv0(2)粒子在匀强磁场中做匀速圆周运动，设其轨道半径为R，由几何关系可知Rd，qvBm解得B(3)粒子进入板间电场至速度减为零且恰不与正极板相碰时，板间电压U最小，由动能定理有qU0mv2解得U.
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